Wiskundemeisjes

Vorig jaar kreeg ik van Job van de Groep een mooi ingepakt exemplaar van zijn boekje Gegoochel met getallen. Hij zei lachend dat een recensie hiervan niet mocht ontbreken op de wiskundemeisjes en hij had gelijk!

Job van de Groep was lange tijd wiskundeleraar en hij is nog langer een amateurgoochelaar. Hij verenigt zijn beide passies in trucs met getallen. In Gegoochel met getallen staat een verzameling van zulke trucs. Van de Groep legt niet alleen uit hoe de trucs werken, maar ook hoe je ze moet uitvoeren (nóóit direct na afloop zomaar de truc verklappen) en hoe je ze als wiskundeleraar in de klas kunt gebruiken.

Er zit veel variatie in de trucs, bij sommige ligt de nadruk op het goochelen (verwissel snel het papier), bij andere meer op het rekenen. Ik vroeg aan de auteur of ik een truc mocht noemen en zoja, of hij een voorkeur had. Als antwoord kreeg ik een hele lijst: `die is iets voor een feestje' of `dit is een zusje van een bekende truc waarover ook iets wiskundigs valt op te merken'. Ik koos uiteindelijk een truc die Van de Groep aanraadt omdat hij zo leuk aansluit op de driehoek van Pascal.

De topkaart van de piramide
Een toeschouwer pakt willekeurig 5 kaarten uit een spel met speelkaarten en legt die op een rij open op tafel. Deze kaarten vormen de basis van een piramide die gebouwd gaat worden.De goochelaar pakt meteen daarop uit het spel ook een (bepaalde) kaart en legt die blind op de plek waar de top ongeveer zal gaan komen. De toeschouwer legt vervolgens een 2^de rij van 4 kaarten, half verschoven, boven de eerste 5 en wel zó dat de waarde op de kaart gelijk is aan de digitale wortel van de som van de getallen op de twee kaarten schuin links en rechts onder die kaart (Aas =1, enz).

De digitale wortel van een getal is de som van de cijfers van dat getal en eventueel daarvan weer de som, als het om meer dan twee cijfers gaat. Voorbeeld: stel dat kaart 1 schoppenheer is (= 13) en de tweede kaart harten 10, dan moet een kaart uit het spel worden gezocht met waarde 5. Immers 13+10 =23, 2+3 = 5 (of: 1 + 3 + 1 + 0 = 5). Op dezelfde manier worden de andere drie kaarten van de 2^de rij uit het spel opgezocht en neergelegd. [...] Ook de 3 kaarten van de 3^de rij en de 2 kaarten van de 4^de rij worden zo opgezocht en neergelegd. Dan draait de goochelaar de blinde topkaart om. Die blijkt de piramide kloppend te maken...

Wie wil weten hoe deze truc werkt, of wie dat al snapt maar graag meer van dit soort trucs wil leren, kan het boekje voor 9 euro (inclusief verzendkosten) bestellen bij Job van de Groep (jobini@planet.nl). Hij is zelf de uitgever van de tweede druk.

Heb je Escher in het Paleis al wel eens bezocht? Zo nee, doen! Want in het voormalige paleis van koningin Emma in Den Haag zijn al sinds 2002 een heleboel prenten van Escher te zien. En dat niet alleen: er is ook van alles te beleven.

Nu heeft het museum een Escher-wiskundeprijsvraag uitgeroepen voor scholieren. Het thema van de prijsvraag is vlakvullingen: het is de bedoeling dat je een bepaald soort Escher-achtige vlakvulling maakt. Wat precies de opdracht is hangt af van je schooltype, er zijn verschillende opdrachten voor leerlingen van vmbo, havo en vwo. Hier kun je alle informatie vinden, en ook wat korte uitleg over vlakvullingen en tips voor hoe je kunt beginnen. Je hoeft trouwens niet naar het museum te gaan om mee te kunnen doen.

De deadline is 1 juni, dus je hebt nog even tijd om je kunstwerk te maken!

Mocht je al te oud zijn voor deze prijsvraag en wel enthousiast photoshopper, dan kun je nog meedoen met een Escher-prijsvraag op cracked: Everyday Objects as Designed by MC Escher. De deadline is dinsdag. Wij vinden deze inzending al erg mooi!

Deze recensie verscheen in de Vector van januari 2009.

Uitgeverij Bert Bakker geeft een brede serie informatieve boeken uit: "(bijna) Alles wat je altijd wilde weten - X in een notendop". X staat voor een onderwerp, bijvoorbeeld de bezetting, Boeddhisme, fysica, popmuziek, noem maar op, of een persoon (sinds kort is er zelfs een over Barack Obama). Maar ook de wiskunde kwam aan de beurt: Martin Kindt en Ed de Moor schreven "Wiskunde in een notendop".

Het is een hele klus om de wiskunde samen te vatten in een notendop, oftewel een boek van 202 pagina's. Zoals de auteurs zelf schrijven in de inleiding: "De hele wiskunde past niet in een notendop, maar er schuilt - naar wij hopen - in dit kleine dopje toch heel wat lees- en studieplezier." Kindt en De Moor zijn er wonderwel in geslaagd een heleboel wiskundige onderwerpen te behandelen en daarbij onderlinge verbanden te laten zien, de historische ontwikkelingen aan te geven en ook nog te benadrukken dat de wiskunde een menselijke activiteit is. De uitleg en de voorbeelden zijn goed en duidelijk, de bewijzen (jawel!) ook. De samenhang tussen stukjes wiskunde wordt benadrukt.

Een van de mooiste stukjes in het boek vind ik de heldere uitleg van de parabool. De parabool wordt geïntroduceerd als kegelsnede, maar direct wordt het verband met een functie gelegd en bewezen. Daarna zien we de parabool ook nog als "de verzameling van alle punten met gelijke afstanden tot een vast punt en een vaste lijn". Zo wordt duidelijk dat je sommige dingen op verschillende manieren wiskundig kunt beschrijven, en dat de ene manier in sommige contexten handiger is dan de andere, maar ook dat je echt kunt bewijzen dat de verschillende manieren equivalent zijn.

Er is niet zo veel voorkennis nodig: iemand die de middelbare school met wiskunde heeft afgerond zou het boek moeten kunnen lezen. Maar de lezer moet wel welwillend zijn zich echt in de stof te verdiepen: als je er snel overheen leest zonder je af te vragen of je echt snapt wat er staat, mis je een essentieel deel van de inhoud. Maar dat is een kenmerk van wiskundige teksten in het algemeen en dus representatief.

De onderwerpen die aan de orde komen zijn erg divers: cijfers en getallen, rekenen met letters, veeltermen, combinatoriek, kans en verwachting, priemgetallen, aanschouwelijke meetkunde, regelmatige patronen in het vlak en in de ruimte, axioma's, analytische meetkunde, irrationale getallen, kettingbreuken, rijen, differentieren en integreren, logaritmen en spiralen. En in het allerlaatste hoofdstuk geven de auteurs een meer filosofische indruk van hoe zij het vakgebied wiskunde zien, waarbij ze aandacht geven aan de vraag of wiskunde ontdekt wordt of uitgevonden, aan de rol van logica en van intuïtie en aan de vraag of wiskunde altijd een nuttigheidsaspect moet hebben in onderwijs en onderzoek.

Samenvattend kunnen we zeggen dat het boek "Wiskunde in een notendop" verschilt van veel andere populair-wiskundige boeken in de zin dat het echt een wiskundeboek is: het gaat de diepte in. Dat legt natuurlijk meteen een beperking op de onderwerpen die behandeld kunnen worden, meer moderne onderwerpen als groepentheorie liggen buiten de doelstelling en haalbaarheid van dit boek. Maar dat is niet erg. Het boek is niet hip, het taalgebruik is soms een beetje ouderwets en er staan geen flitsende kleurenplaten in. Maar het geeft een goede indruk van wat wiskunde is door echt wiskunde te doen, op een leuke, aansprekende en inzichtgevende manier, en het is dus de moeite van het lezen zeker waard.

Een tijd terug maakte ik een lange treinreis met Matthijs Coster. Matthijs besteedde bijna de hele reis aan het bouwen van een kunstige kubus van louter lucifers. De hele coupé keek vol bewondering toe hoe hij de lucifers zorgvuldig in elkaar schoof. Matthijs bleek vroeger bekend te staan om zijn knappe bouwwerken. Kijk maar eens naar deze foto van een jeugdige Matthijs.

Ik kreeg de prachtige kubus van Matthijs mee en verheugde me er al op om thuis flink indruk te maken met dit kunstwerk dat zonder lijm of touwtjes in elkaar bleef. Ik deed de kubus voorzichtig in mijn tas, maar bij thuiskomst was de kubus uit elkaar geschoven en had ik alleen een heleboel losse lucifers. Later mailde Matthijs nog dat hij mensen normaal altijd adviseerde om de kubus goed in te pakken in een vel papier voor ze hem in een tas deden...

Ik probeer nu de moed te verzamelen om zelf een kubus te bouwen. Onderstaand YouTube-filmpje laat zien hoe het moet. Al deed Matthijs het stiekem nog net iets mooier, met de kopjes om en om.

Deze column verscheen in de Volkskrant van 17 januari 2009.

In de kerstvakantie las ik, zoals dat hoort, elke dag een hoofdstuk van De Avonden. Bij verscheidene ontmoetingen begroet Frits van Egters zijn vrienden of broer met een opmerking over hun steeds dunner wordende haar: ‘Je bent alweer kaler geworden,’ zei Frits, ‘je wordt ontzettend kaal.’ Ik vroeg me opeens af: hoeveel haren heeft een mens eigenlijk op zijn hoofd? Even zoeken op internet leverde snel een antwoord op. Het hangt een beetje af van je haarkleur, maar gemiddeld ligt het aantal haren op een hoofd rond de 100 duizend. Roodharigen hebben de minste haren, ongeveer 90 duizend, en blonde mensen de meeste, ongeveer 150 duizend.

Dat betekent dat in een stad als Amsterdam, waar iets meer dan 750 duizend mensen wonen, in ieder geval twee mensen wonen met precies evenveel haren op hun hoofd! Dat kun je laten zien met een wiskundig principe dat het ladenprincipe heet. Het ladenprincipe zegt het volgende. Als je tien laden hebt en je stopt elf balletjes in die laden, dan is er altijd minstens één la waarin meer dan één balletje zit, hoe je de balletjes ook over de laden verdeelt. In het algemeen: als je n laden hebt, en je verdeelt n+1 of meer balletjes over die n laden, dan is er minstens één la met meer dan één balletje. Dat klinkt tamelijk voor de hand liggend, en dat is het ook, maar toch is het soms nuttig als je voor de laden en de balletjes handige vertalingen kiest.

Laten we aannemen dat het maximale aantal haren op een hoofd 200 duizend is, wat een beetje aan de hoge kant is, maar dat geeft niet. Dus de mogelijke aantallen haren die een mens kan hebben zijn 0, 1, 2, …, 200 duizend. Nu bekijken we de iets meer dan 750 duizend inwoners van Amsterdam. Die kunnen we verdelen over deze mogelijke aantallen haren: elke inwoner wordt gekoppeld aan het aantal haren op zijn hoofd. Oftewel: de inwoners van Amsterdam corresponderen met de balletjes, en de mogelijke aantallen haren die een mens kan hebben corresponderen met de laden. Omdat er meer inwoners zijn dan mogelijke aantallen haren, zijn er minstens twee inwoners met precies evenveel haren op hun hoofd. En het leuke is: we hoeven nooit een Amsterdammer gezien te hebben om deze conclusie te kunnen trekken. In dit geval zijn er trouwens zoveel meer balletjes dan laden dat we zelfs kunnen concluderen dat er minstens drie inwoners zijn met evenveel haren op hun hoofd.

Hieruit volgt natuurlijk niet dat er in Amsterdam zeker iemand woont met evenveel haren op zijn hoofd als u! En ook zijn het niet per se steeds dezelfde mensen die evenveel haren op hun hoofd hebben: het aantal haren op een hoofd verandert als er haren uitvallen. Maar wel weten we zeker dat er op elk moment drie Amsterdammers zijn met precies evenveel haren, al weten we niet wie dat zijn. Tenzij u toevallig drie helemaal kale Amsterdammers kent.

Toen de wiskundemeisjes vorig jaar in Kortrijk waren, vertelde gastheer Luc Gheysens ons over Peter Raedschelders. Het verbaasde hem namelijk dat deze Vlaamse kunstenaar nog niet enorm beroemd was. Luc maakte ons erg benieuwd naar de Escherachtige werken van Raedschelders en we zochten snel zijn homepage op. Hier zie je een van de daar te vinden handgetekende platen.

Er is goed nieuws voor onze lezers uit het Zuiden, want Raedschelders presenteert vanaf vrijdag in Sint Niklaas zijn eerste solotentoonstelling van Wiskundige prenten en Wit-zwart schilderijen. Alle wiskundeliefhebbers zijn welkom bij de vernissage van deze tentoonstelling op vrijdag 23 januari om 20 uur. De lokatie is: UNIZO, Knaptandstraat 204, Sint Niklaas, België.

Meer werk van Raedschelders is te vinden op zijn homepage of blog. De tentoonstelling is tot 4 maart te zien in UNIZO tijdens kantooruren (maandag tot en met vrijdag, van 8.15 uur tot 16.45 uur ).

Een tijd geleden zag ik op de onvolprezen 360 blog een fragment uit Friends waar Joey acteerles geeft. Zijn laatste tip: “Let’s say I’ve just gotten bad news. Well all I do there is try and divide 232 by 13.” Kijk maar even hoe moeilijk dat is voor Joey...

Ik herinnerde me vorige week ineens een andere scène waarin Joey nogal veel moeite heeft met rekenen. TwoPi en Ξ van 360 blog waren zo aardig om ook dat fragment te editen en op YouTube te zetten. Als het goed is verschijnt onderstaand filmpje precies tegelijk met dit bericht op hun site, het is een heuse internationale samenwerking!

De grote vraag is natuurlijk: met welke methode zou Joey hebben leren rekenen?

Stichting Vierkant voor Wiskunde organiseert elk jaar wiskundige zomerkampen voor kinderen en jongeren, die, kan ik uit eigen ervaring verklappen, bijzonder leuk en gezellig zijn. De kampen worden begeleid door een enthousiast team van vrijwilligers. De vrijwilligers begeleiden niet alleen de kampen, ze bereiden ook het hele kamp voor, zowel de wiskundige onderdelen als de andere dingen (denk aan speurtocht, disco, zwemmen, sport en spelletjes). De kampen zijn bedoeld voor scholieren die wiskunde leuk vinden, het zijn dus geen bijspijkerkampen. Alle verdere informatie, zoals foto's en verslagen van eerdere jaren, kun je hier vinden.

Voor dit jaar zoekt Vierkant nieuwe begeleiders!

Waaraan moet je voldoen om geschikt te zijn als begeleider?

Je vindt het leuk om mensen enthousiast te maken voor wiskunde.
Je bent sociaal en kan goed omgaan met kinderen of jongeren.
Je hebt genoeg wiskundige achtergrond (bijvoorbeeld doordat je wiskunde of iets gerelateerds studeert of gestudeerd hebt op hbo of universiteit).
Je kan goed samenwerken.
Je hebt in de zomervakantie een week tijd om plezier te maken in een jeugdherberg in Lunteren!

Heb je zin om mee te gaan? Stuur dan een mailtje met je gegevens en een korte motivatie naar Birgit van Dalen.

Vincent mailde ons een tijd geleden: "als er ooit een dag komt dat jullie niks weten te schrijven heb ik hier nog een leuke wiskundecartoon". Vandaag is zo'n dag, maar wees gerust. Nu de dooi is ingevallen zal ik weer wat meer tijd achter mijn laptop doorbrengen en langere stukjes schrijven!

De cartoon is afkomstig van Saturday Morning Breakfast Cereal.

Dierenliefhebber Bart attenteerde ons op deze zeer wiskundig verantwoorde knuffel.

De beer heet Mandelbrot (Benoît voor vrienden) en komt van Buttons for mouse.