Wiskundemeisjes

Deze column verscheen gisteren in de Volkskrant.

In onze wiskundekantine zei een professor van een niet nader te noemen ander vakgebied eens verbaasd: “Wat zijn de mensen hier aardig tegen elkaar!” Dat klopt: wiskundigen maken niet zo vaak ruzie met elkaar. Niet om inhoudelijke kwesties, in ieder geval. Als iemand iets beweert wat niet klopt, kan een ander daar namelijk een sluitend argument tegen inbrengen. En de een accepteert dat dan, neemt zijn verlies, en is in het beste geval zelfs blij dat hij iets geleerd heeft. Er is geen richtingenstrijd, de onenigheden gaan hoogstens over welke soorten vragen en argumenten het mooist of interessantst zijn.

Maar over erkenning en prioriteit zijn in de geschiedenis van de wiskunde wel ruzies uitgevochten. Een mooi verhaal is dat van de ontdekking van de formule voor de oplossingen van de derdegraads vergelijking in het Italië van de zestiende eeuw.

U kent de abc-formule wel: de oplossingen van de algemene kwadratische vergelijking worden gegeven door . Het is een voor de hand liggende vraag of zo’n formule ook bestaat voor de derdegraads vergelijking , en het antwoord is ja. Wat die formule precies is, is nu niet belangrijk, hij ziet er nogal ingewikkeld uit.

De eerste die één type derdegraads vergelijking algemeen kon oplossen was Scipione del Ferro, rond 1515. Zo’n ontdekking ga je natuurlijk van de daken schreeuwen! Nee. Ook toen speelden economische motieven een rol: je moest geld verdienen, bijvoorbeeld door een mecenas te vinden. Dat lukte beter als jij iets kon dat niemand anders kon, en dat wilde je dan graag zo houden. Om te bewijzen dat je iets bijzonders kon, daagde je iemand uit met een set problemen die je zelf had opgelost, in de hoop dat de ander dat niet zou kunnen. En als tegenactie gaf die persoon jou ook problemen op. Een wiskundeduel, zeg maar.

Del Ferro deed dat niet, maar hij gaf de oplossing voor zijn dood wel door aan onder andere zijn leerling Fiore. Die hoorde op een bepaald moment dat Niccolò Tartaglia (dit was zijn bijnaam, “tartaglia” betekent “stotteraar”) opschepte dat hij derdegraads vergelijkingen kon oplossen. Fiore daagde hem natuurlijk uit. Fiore kon echter maar één type vergelijking oplossen, en Tartaglia slaagde erin dat type ook te kraken. Hij kon Fiore vervolgens uitdagingen terugsturen die die niet kon oplossen. Dus Tartaglia won.

Ronde twee. Gerolamo Cardano hoorde van deze wedstrijd en probeerde Tartaglia over te halen zijn oplossing te delen. Tartaglia weigerde natuurlijk. Maar nadat Cardano eeuwige geheimhouding beloofd had, naast verleidelijke uitnodigingen voor introducties bij het Milanese hof, ging hij overstag!

Cardano breidde de oplossing uit, en zijn leerling Ferrari vond zelfs de formule voor de vierdegraads vergelijking. En Tartaglia publiceerde maar niets. Toen Cardano er achter kwam dat Del Ferro ook al een gedeeltelijke oplossing had gehad, voelde hij zich niet meer verplicht tot geheimhouding en in 1545 publiceerde hij de oplossing (waarbij hij Tartaglia wel noemde). Tartaglia was woedend en een strijd vol beledigingen en uitdagingen volgde. Hij daagde Ferrari uit, en… verloor. De formule staat nu bekend als de “formule van Cardano”. Dus zijn eedbreuk heeft hem wel mooi eeuwige roem bezorgd.

Deze column verscheen afgelopen zaterdag in de Volkskrant.

Wiskunde tegenkomen in oude, verdwenen culturen is fascinerend. De wiskunde van de Babyloniërs in het oude Mesopotamië, bijvoorbeeld, is heel interessant. Mesopotamië lag ongeveer in het huidige Irak, en onder “Babyloniërs” verstaan we een hele serie volkeren in dat gebied, zo tussen 3000 en 500 voor Christus.

Het fijne aan de Babyloniërs is dat ze schreven op duurzaam materiaal: kleitabletten. Die kunnen we lezen, als we de taal en het spijkerschrift snappen, tenminste. Maar Babylonische getallen zijn zelfs voor een leek makkelijk te ontcijferen.

Op het plaatje staat een transcriptie van een kleitablet. In de middelste kolom staat een rij symbolen: één spijkertje op de eerste regel, twee spijkertjes op de tweede, enzovoorts. In die kolom staan inderdaad de getallen 1, 2, 3, 4, 5, …. Na de negen verschijnt een nieuw symbool, een soort winkelhaakje, dat blijkbaar voor de tien staat.

Wat staat er in de derde kolom? Naast de 1 staat 5, en naast de 2 staat 10. Naast de 3 staan een 10 en een 5, dat zal dan wel 15 betekenen. Deze regelmaat vervolgt zich, en het is duidelijk wat hier staat: de tafel van vijf. Dat clustertje tekens vooraan elke regel betekent “keer”.

Bij vijf keer twaalf gebeurt er iets geks: de uitkomst is 1 spijker, wat, zagen we al, één betekent. Maar vijf keer twaalf is zestig! Blijkbaar betekent een spijker behalve één ook zestig. Wat onhandig, denk u misschien. Aan de andere kant: wij gebruiken een 1 ook op verschillende manieren, in het getal 123 betekent de 1 dat er één honderdtal is.

Net als wij kenden de Babyloniërs een zogenaamd positiestelsel. De plaats van een cijfer in een getal bepaalt hoeveel het cijfer waard is. De Babyloniërs gebruikten als grondtal zestig, waar wij tien gebruiken. Als zij met hun spijkerschrift 2; 15; 51 opschreven, bedoelden ze 2 keer 3600 (want 60 × 60 = 3600), 15 keer zestig en 51 keer één.

Of misschien wel 2 zestigen, 15 enen en 51 zestigsten! Want er is een belangrijk verschil: ze hadden geen komma en heel lang ook geen symbool voor een lege plaats. Wij zien door nullen, die eigenlijk lege plekken aangeven, makkelijk het verschil tussen 100 en 1. En dat we met 0,1 een tiende bedoelen, zien we aan de komma. De Babyloniërs niet. Meestal was dat niet zo’n probleem, want uit de context bleek vaak wel wat er bedoeld werd.

Een voordeel van een positiestelsel is dat je er makkelijk in kan rekenen door getallen onder elkaar te zetten. De Babyloniërs konden overigens veel meer dan rekenen alleen, zo kenden ze de stelling van Pythagoras en losten ze bepaalde kwadratische vergelijkingen op.

Een Babylonisch kleitablet met een goede benadering van erop.

Het getalstelsel van de Babyloniërs is helaas in onbruik geraakt en er doken veel onhandigere getalstelsels op, zoals de Romeinse cijfers. Probeer die maar eens onder elkaar te vermenigvuldigen… Pas in de dertiende eeuw kwam een Indiaas positiestelsel via de Arabische wereld onze kant op, en werd het rekenen hier makkelijk. Wat we wèl overgehouden hebben aan de Babyloniërs, is onze zestigtallige tijdrekening.

Deze column verscheen zaterdag in de Volkskrant.

“Een ruzie met familie of je partner zit je nogal dwars.” Aldus mijn horoscoop uit een damesblad van vorige week. Ik lees hem pas nu en heb de hele week geen ruzie gehad, noch zat me anderszins iets dwars in mijn relatie met familie dan wel vriend.

Tijdschrifthoroscopen sla ik altijd over. Waarom zou iedereen die toevallig ook tussen 21 april en 20 mei geboren is de komende week hetzelfde gaan meemaken als ik?

Toch bestaat er een belangrijk, wellicht verrassend, historisch verband tussen wiskunde en astrologie. Astrologie was namelijk lange tijd een serieuze, dankbare toepassing van de wiskunde, in een tijd dat toepassingen waarvan iedereen het nut nu inziet (GPS, beveiligd internetbankieren, computers, modellen om het weer te voorspellen enzovoort enzovoort) nog verre toekomstmuziek waren.

Ontkennen dat hemellichamen invloed hebben op het leven hier op aarde kan natuurlijk niet: al het leven bestaat dankzij de energie van de zon, wanneer de zon aan de hemel staat gaan we aan het werk en als de zon onder is slapen we, en de positie van de maan beïnvloedt duidelijk hoe hoog het water staat. Maar dat de relatieve positie van planeten, zoals we die vanaf de aarde zien, kan beïnvloeden hoe ons leven verloopt, hoe ons karakter is of bepaalt welke beslissing je het beste kan nemen… Nee, daar laten de meeste mensen zich tegenwoordig niet door leiden.

Maar dat is dus niet altijd zo geweest: in de middeleeuwse islamitische wiskunde (die zeer hoog ontwikkeld was, terwijl West-Europa zich in de donkere middeleeuwen bevond) waren horoscopen een belangrijke aanleiding voor onderzoek. Islamitische theologen hadden wel bezwaar tegen astrologie, maar omdat het ook nuttig was de richting van Mekka of precieze gebedstijden te kunnen berekenen, kwamen de wetenschappers daar vaak wel mee weg.

Een astroloog moest in staat zijn de precieze stand van de hemellichamen op elk gegeven moment te kunnen uitrekenen, want hoe beter hij dat kon, hoe beter de voorspelling en hoe hoger zijn status. Zo’n horoscoop werd trouwens meestal berekend voor het precieze geboortemoment van één persoon, dit in tegenstelling tot de damesbladhoroscoop van hierboven.

Voor die berekeningen waren astronomische tabellen nodig met een heleboel gegevens. Als die tabellen na verloop van tijd niet meer helemaal klopten met de waarnemingen, moesten ze worden aangepast, waar ingewikkelde meetkunde bij nodig was. Een goede astroloog was dan ook geschoold in geavanceerde wiskunde, bijvoorbeeld die uit de Griekse oudheid. Veel wiskunde uit de Griekse oudheid is dankzij de islamitische wereld bewaard gebleven.

De astrologie gaf wiskunde en astronomie dus maatschappelijke relevantie, zorgde voor behoefte aan wiskundeonderwijs, en bovendien was deze toepasbaarheid goed voor het imago van de wiskunde (net als nu eigenlijk, al zijn de toepassingen heel anders).

Ook beroemde Europese wetenschappers als Tycho Brahe en Galileo Galilei werkten aan astrologie. Omdat dat zó niet past bij ons ideaalbeeld van de rationele wetenschap, vergeten we dit soort historische feiten misschien liever. Maar het is interessant om te zien hoe anders mensen, en dus ook wetenschappers, vroeger naar het universum keken.

Op Futility Closet vond ik deze anekdote:

One day in 1939, Berkeley doctoral candidate George Dantzig arrived late for a statistics class taught by Jerzy Neyman. He copied down the two problems on the blackboard and turned them in a few days later, apologizing for the delay — he’d found them unusually difficult. Distracted, Neyman told him to leave his homework on the desk.

On a Sunday morning six weeks later, Neyman banged on Dantzig’s door. The problems that Dantzig had assumed were homework were actually unproved statistical theorems that Neyman had been discussing with the class — and Dantzig had proved both of them. Both were eventually published, with Dantzig as coauthor.

“When I began to worry about a thesis topic,” he recalled later, “Neyman just shrugged and told me to wrap the two problems in a binder and he would accept them as my thesis.”

Ongelooflijk. George Dantzig (1914 - 2005) heeft het simplexalgoritme ontwikkeld en was een pionier in lineair programmeren. Bovenstaande anekdote schijnt een inspiratiebron voor Good Will Hunting te zijn geweest.

Op zoek naar teksten die wetenschap op de een of andere manier goed uitleggen, stuitte ik op het curieuze The First Six Books of Euclid with coloured diagrams uit 1847 (via het zeker aan te raden Envisioning Information van Edward Tufte).

Wiskundige Olivier Byrne dacht dat de bewijzen van Euclides voor veel mensen duidelijker waren als je plaatjes gebruikte en zo min mogelijk tekst. Opvallend is hoe modern zijn platen eruit zien. De onderstaande plaat geeft Byrnes bewijs van Propositie I.15

Als twee rechte lijnen elkaar snijden, dan zijn de overstaande hoeken daarbij gelijk aan elkaar.

Het oorspronkelijke bewijs van Euclides gaat ongeveer zo.

Laat de rechte lijnen AB en CD elkaar snijden in het punt E. Ik zeg dat de hoek CEA gelijk is aan de hoek DEB, en dat de hoek BEC gelijk is aan de hoek AED. Omdat de rechte lijn AE met de rechte lijn CD de hoeken CEA en AED maakt, moet de som van de hoeken CEA en AED gelijk zijn aan twee rechte hoeken. Ook moet de som van de hoeken AED en DEB gelijk zijn aan twee rechte hoeken, omdat de rechte lijn DE bij het snijden van de rechte lijn AB deze twee hoeken maakt. Maar de som van de hoeken CEA en AED is ook gelijk aan twee rechte hoeken, dus de som van de hoeken CEA en AED is gelijk aan de som van de hoeken AED en DEB. Trek van allebei de hoek AED af. Dan is de overgebleven hoek CEA gelijk aan de overgebleven hoek DEB. Op dezelfde manier kan bewezen worden dat de hoeken BEC en AED ook gelijk zijn.

De boeken van Byrne zijn dankzij de University of British Colombia compleet online te bewonderen. Vergelijk de plaatjesbewijzen vooral met de oorspronkelijke bewijzen. Wat vinden jullie ervan?

Wat zouden de grote geesten van lang geleden geschreven hebben in de 140 karakters die twitter toestaat? In de Scientific American gaat Steve Mirsky los bij het beantwoorden van deze hypothetische vraag.

Euclidmenot Working on something (book series called Elements) to drive 10th graders nuts 4 thousands of years. Conic section alone will make them cry.

Aristophanesridiculous @Euclidmenot Conic section? I thought you said COMIC section. HaHA, I still got it! Hey, frogs are funny, yes?

Arkymeets Note to self: take more baths. Do some of my best thinking in the tub.

Enzovoorts.

De anachronismen zijn niet van de lucht, uiteraard. Vooral grappig voor wie iets van wetenschapsgeschiedenis weet. En wie zelf betere tweets van oude grootheden kan bedenken kan natuurlijk zijn gang gaan in de comments.

Een tip voor de historisch geïnteresseerden onder jullie: uitgeverij Nieuwezijds biedt het boek Een cultuurgeschiedenis van de wiskunde gratis aan als e-book, in pdf-formaat!

De bijdragen in het boek zijn van Machiel Keestra, Albert Grootendorst, Jan Hogendijk, Henk Bos, Jan van Maanen, Danny Beckers, Teun Koetsier en Tom Koornwinder. Elk hoofdstuk gaat over een bepaald tijdvak en de wiskunde daarin. Het boek laat zien dat er wel degelijk verbanden bestaan tussen culturele ontwikkelingen en wiskunde.

Klik hier voor meer informatie over het boek en een link naar de file. Ook enkele andere boeken van Nieuwezijds zijn nu gratis te downloaden, zie hier.

Deze keer in onze niet zo regelmatige serie over wiskundigen die op opvallende wijze aan hun eind gekomen zijn één van de beroemdste wiskundigen ooit: René Descartes (31 maart 1596 – 11 februari 1650).

René Descartes, geschilderd door Frans Hals (1648)

Descartes kwam uit een redelijk vooraanstaande familie, verscheidene familieleden bekleedden hoge ambtelijke functies. Zijn vader was advocaat en magistraat. René Descartes kreeg een algemene opleiding aan het Jezuïetencollege van La Flèche en studeerde een tijdje aan de universiteit van Poitiers.

In 1618 vertrok Descartes naar Nederland, waar hij in het leger van Prins Maurits militaire ervaring wilde opdoen, en daarna reisde hij door naar Duitsland en Bohemen, waar hij als officier vocht in het leger van de katholieke Maximiliaan I van Beieren. Descartes verbleef nog een tijd in Parijs, maar in 1628 keerde Descartes terug naar Nederland en daar bleef hij tot 1649. In Nederland stond hij in contact met verscheidene wiskundigen: hij studeerde bij Adriaan Metius in Franeker en hij kende Constantijn Huygens, bijvoorbeeld.

In 1637 publiceerde Descartes zijn werk Discours de la Méthode in Leiden, dat als een van de appendices la Géométrie bevatte. Dit is Descartes' meest invloedrijke wiskundige werk. In de jaren die volgden verschenen nog allerlei werken, vooral over filosofie.

De Géométrie was bijzonder omdat Descartes hierin een eerste opzet maakt voor de analytische meetkunde. Op wiskonst.nl (een site gemaakt door studenten voor een seminarium geschiedenis van de wiskunde) kun je meer lezen over Descartes en de Géométrie (klik op "Commentaren" en dan op "René Descartes - ...").

In 1650 overleed Descartes in Stockholm, waar hij op verzoek van koningin Christina van Zweden heengegaan was om haar les te geven. Het verhaal gaat dat Descartes een longontsteking opliep: hij was gewend om lang in bed te blijven, maar moest de koningin vroeg in de ochtend lesgeven, wat zijn weerstand om zeep hielp. Anderen geloven dat hij de ziekte opliep toen hij een vriend behandelde die die ziekte had.

En zeer recent is er een nieuwe hypothese opgedoken: de Duitse filosooof Theodor Ebert beweert dat Descartes niet door een natuurlijke oorzaak overleden is, maar door een communie-hostie met arsenicum erin! Als schuldige wijst hij priester Jacques Viogué aan, die bang zou zijn dat Descartes een bekering van koningin Christina tot het katholicisme in de weg zou staan. Lees hier het artikel daarover in the Guardian.

Na de kijktip van gisteren nu een luistertip! Op de site van de BBC kun je het deze week uitgezonden Unintended Consequences of Mathematics terugluisteren. Melvyn Bragg praat met gasten John Barrow, Colva Roney-Dougal en Marcus du Sautoy over onverwachte/onbedoelde/oneigenlijke gevolgen van wiskunde. Bijvoorbeeld hoe derdegraadsvergelijkingen uiteindelijk leidden tot wisselstroom - en de elektische stoel. Ik ga snel luisteren, voor de aflevering weer offline gaat!

Kijk voor meer oneigenlijk gebruik trouwens ook eens bij het fijne Museum of Unintended Use.

De oude Egyptenaren deden praktische wiskunde. Veel van wat we van hun rekenkunst weten, weten we uit de papyrus Rhind, genoemd naar meneer Rhind die de papyrus kocht in Luxor en zorgde dat die in het British Museum terechtkwam.

De papyrus laat zien hoe de Egyptenaren rekenden. Ze konden rekenen met bepaalde breuken, al schreven ze die heel anders op dan wij. Ze gebruikten de stambreuken (dat zijn de breuken die wij aanduiden met waarbij een geheel getal is, zoals en ) en de breuk die wij schrijven als . De papyrus bevat vooral oplossingen voor praktische problemen, en was misschien bedoeld voor het onderwijs aan de zogenaamde schrijvers, die waarschijnlijk een hele laag van de bureaucratie vormden.

Op BBC radio 4 was deze week in de serie A History of the World in 100 Objects een item over de Rhind papyrus te horen. De directeur van het British Museum vertelt over deze papyrus, die stamt uit ongeveer 1550 v. Chr. Hier kun je de uitzending beluisteren en beter naar een stuk van de papyrus kijken!