Wiskundemeisjes

Haren

Deze column verscheen in de Volkskrant van 17 januari 2009.

In de kerstvakantie las ik, zoals dat hoort, elke dag een hoofdstuk van De Avonden. Bij verscheidene ontmoetingen begroet Frits van Egters zijn vrienden of broer met een opmerking over hun steeds dunner wordende haar: ‘Je bent alweer kaler geworden,’ zei Frits, ‘je wordt ontzettend kaal.’ Ik vroeg me opeens af: hoeveel haren heeft een mens eigenlijk op zijn hoofd? Even zoeken op internet leverde snel een antwoord op. Het hangt een beetje af van je haarkleur, maar gemiddeld ligt het aantal haren op een hoofd rond de 100 duizend. Roodharigen hebben de minste haren, ongeveer 90 duizend, en blonde mensen de meeste, ongeveer 150 duizend.

Dat betekent dat in een stad als Amsterdam, waar iets meer dan 750 duizend mensen wonen, in ieder geval twee mensen wonen met precies evenveel haren op hun hoofd! Dat kun je laten zien met een wiskundig principe dat het ladenprincipe heet. Het ladenprincipe zegt het volgende. Als je tien laden hebt en je stopt elf balletjes in die laden, dan is er altijd minstens één la waarin meer dan één balletje zit, hoe je de balletjes ook over de laden verdeelt. In het algemeen: als je n laden hebt, en je verdeelt n+1 of meer balletjes over die n laden, dan is er minstens één la met meer dan één balletje. Dat klinkt tamelijk voor de hand liggend, en dat is het ook, maar toch is het soms nuttig als je voor de laden en de balletjes handige vertalingen kiest.

Laten we aannemen dat het maximale aantal haren op een hoofd 200 duizend is, wat een beetje aan de hoge kant is, maar dat geeft niet. Dus de mogelijke aantallen haren die een mens kan hebben zijn 0, 1, 2, …, 200 duizend. Nu bekijken we de iets meer dan 750 duizend inwoners van Amsterdam. Die kunnen we verdelen over deze mogelijke aantallen haren: elke inwoner wordt gekoppeld aan het aantal haren op zijn hoofd. Oftewel: de inwoners van Amsterdam corresponderen met de balletjes, en de mogelijke aantallen haren die een mens kan hebben corresponderen met de laden. Omdat er meer inwoners zijn dan mogelijke aantallen haren, zijn er minstens twee inwoners met precies evenveel haren op hun hoofd. En het leuke is: we hoeven nooit een Amsterdammer gezien te hebben om deze conclusie te kunnen trekken. In dit geval zijn er trouwens zoveel meer balletjes dan laden dat we zelfs kunnen concluderen dat er minstens drie inwoners zijn met evenveel haren op hun hoofd.

Hieruit volgt natuurlijk niet dat er in Amsterdam zeker iemand woont met evenveel haren op zijn hoofd als u! En ook zijn het niet per se steeds dezelfde mensen die evenveel haren op hun hoofd hebben: het aantal haren op een hoofd verandert als er haren uitvallen. Maar wel weten we zeker dat er op elk moment drie Amsterdammers zijn met precies evenveel haren, al weten we niet wie dat zijn. Tenzij u toevallig drie helemaal kale Amsterdammers kent.