Wiskundemeisjes

In de Wall Street Journal van afgelopen maandag staat het artikel Doing the Math to Find the Good Jobs. Daarin wordt een ranglijst gepresenteerd van de beste en de slechtste banen die er zijn in de VS. Er zijn 200 beroepen beoordeeld op vijf criteria: werkomgeving, inkomen, werkgelegenheid, fysieke belasting en stress.

En raad eens wat er bovenaan staat? Jawel, op de eerste plaats staat wiskundige, gevolgd door actuaris en statisticus op de plaatsen twee en drie! Op de allerlaatste plaats staat houthakker.

Wiskundige Jennifer Courter legt uit wat ze leuk vindt aan haar baan:

"It's a lot more than just some boring subject that everybody has to take in school," says Ms. Courter, a research mathematician at mental images Inc., a maker of 3D-visualization software in San Francisco. "It's the science of problem-solving."

Met dank aan Francien voor de tip.

Zoals jullie misschien wel weten was Lewis Carroll, de schepper van de wondere wereld waar Alice in terechtkwam na haar val in het konijnenhol, behalve schrijver ook een beroemd amateur-fotograaf, deken in de Anglicaanse kerk en bovenal wiskundige. Dat laatste is ook te zien aan een aantal passages in zijn kinderboeken. Vorig jaar schreef ik een stukje over wiskunde en literatuur voor Pythagoras, en daarin kwam ook Carroll aan de orde.

Lewis Carroll was een pseudonym, zijn echte naam was Charles Lutwidge Dodgson. Hij leefde van 1832 tot 1898. Wiskundige Robin Wilson heeft nu een boek geschreven over Dodgson als wiskundige.

Het boek begint met een aantal stukjes uit Carrolls fictie-boeken waarin wiskunde voorkomt. Daarna leest het als een biografie, met nadruk op de wiskundige ontwikkeling van Dodgson. Het is leuk om te zien welke vakken Dodgson deed en wat er in het negentiende-eeuwse Oxford gevraagd werd op tentamens. Ook legt Wilson een aantal wiskundige bijdragen van Dodgson uit, bijvoorbeeld zijn werk aan determinanten en zijn pogingen om een eerlijk verkiezingssysteem op te stellen. We lezen natuurlijk ook van alles over zijn familie, studiegenoten en docenten, en we lezen dagboekpassages waaruit blijkt dat voor Dodgson wiskunde soms ook gewoon moeilijk was.

De laatste paar hoofdstukken beschrijven de wiskundige raadsels waar Dodgson erg dol op was. Deze hoofdstukken zijn in feite een soort bloemlezing van de boeken met wiskundige puzzels en spelletjes die Dodgson onder zijn pseudonym schreef voor een breed publiek, en van de puzzels die hij opgaf aan de kinderen met wie hij bevriend was. Wilson voegt hier nauwelijks iets toe, behalve af en toe wat uitleg, en persoonlijk had ik na een tijdje wel genoeg van Carrolls puzzels en raadsels: het is wat veel van hetzelfde. Daarna stopt het boek nogal abrupt, waar ik liever nog een nawoord of conclusie van Wilson gezien had, want nu ontbreekt de grote lijn een beetje.

Wat voor wiskundige was Dodgson eigenlijk? De indruk die bij mij bleef hangen na het lezen van het boek is dat Dodgson iemand was met een creatieve geest die eindeloos gefascineerd werd door wiskundige rariteiten en puzzels, maar geen echt grote dingen aan de wiskunde heeft bijgedragen. En dat is ook niet zo raar: waarschijnlijk is Dodgson niet voor niets veel bekender als schrijver en fotograaf.

Het boek leest lekker weg (behalve als er teveel puzzels na elkaar komen), Wilson citeert volop grapjes en absurditeiten uit de brieven en boeken van Dodgson en er staan veel leuke plaatjes en afdrukken van oude documenten in. De biografische delen vind ik goed, die heb ik met plezier gelezen. Er is weinig wiskundige voorkennis nodig, het boek is geschikt voor een breed publiek. Maar als je al redelijk bekend bent met Carrolls werk staat in sommige hoofdstukken wel erg veel bekends, en daar voegt Wilson naar mijn smaak te weinig zelf aan toe.

In The Guardian verschenen een recensie en een leuk interview met Wilson naar aanleiding van zijn boek. Ook in de Telegraph verscheen een recensie.

Deze column verscheen in De Volkskrant van 3 januari 2009.

Coldplay stond hoog in de eindejaarslijsten met Viva la Vida. Ik zing het titelnummer graag hard mee, maar eigenlijk vind ik Coldplay een wat pretentieuze band. Neem de voorkant van hun vorige album X&Y. Op de hoes stonden een paar gekleurde blokken en er werd reuzegeheimzinnig gedaan over wat de band hiermee bedoelde. De Britse krant The Guardian belde destijds wiskundeprofessor Marcus du Sautoy met de vraag of hij kon ontcijferen wat er stond. De deadline was drie uur later en als het hem niet op tijd lukte, dan zou de krant schrijven `Professor uit Oxford kan code Coldplay niet kraken’. Natuurlijk wilde Du Sautoy deze kop voorkomen, of misschien hield hij net als ik niet zo van Coldplay, dus hij ging snel aan de slag.

Hij gokte dat de blokken een soort code vormden en dat de kleuren er niet toe deden. Veel codes gebruiken maar twee waarden: denk aan de korte en lange piepjes in het S.O.S-signaal van de Morse-code of de nullen en enen in de computer. Bij de hoes van Coldplay zou de aanwezigheid van een blok wel eens een 1 kunnen zijn en de afwezigheid van een blok een 0. De eerste kolom van de blokken van de hoes werd dan 10111. Du Sautoy herkende dit onmiddellijk als de Baudot code voor `X’, waaruit blijkt dat hij niet voor niets professor is geworden.

Die Baudot code was een van de eerste manieren om letters naar getallen om te zetten. De Franse ingenieur Émile Baudot bedacht de code in 1874 om berichten met de telegraaf te versturen. Hij gebruikte een rijtje van vijf nullen en enen voor elke letter en kon zo in totaal 2 x 2 x 2 x 2 x2 = 32 verschillende symbolen weergeven. Hij gebruikte 11011 om te schakelen tussen letters en andere tekens, net zoals we op een toetsenbord dezelfde toets gebruiken voor 8 en *. Inmiddels is Baudot voorbijgestreefd door betere codes zoals ASCII, maar dankzij Coldplay beleefde hij een kleine revival.

Terug naar het ontcijferen van de hoes, Du Sautoy had gevonden dat de eerste kolom een `X’ voorstelde en hij wist dat het album `X&Y’ als titel had. Kortom: hij was er tamelijk zeker van dat hij de code had gebroken. Voor de zekerheid keek hij naar de rest van de blokken. De rechter kolom werd 10101 en dit was inderdaad de Baudot code voor `Y’. Nu waren alleen nog de twee middelste kolommen over, waarvan de eerste de Baudot-shift 11011 was. Nu moest Du Sautoy toch even opzoeken in de tabel voor andere tekens wat er dan bij de derde kolom 00011 hoorde. Tot zijn grote verbazing stond daar een 9 en geen &. Op de hoes staat dus X9Y in plaats van X&Y. Gek genoeg stond in de krant niets over deze blunder, er was alleen te lezen dat Coldplay zo’n slimme, oude code had gebruikt. Waarschijnlijk hield de redactie wél van de band.

Naschrift: inmiddels kreeg ik allerlei reacties van mensen die (al dan niet na het lezen van Wikipedia) veel meer weten van Baudot codes dan ik. Misschien had ik iets genuanceerder moeten schrijven over de varianten van de Baudot codes, maar het was natuurlijk ook maar een korte column...

We schreven al eerder over Andrew Wiles en zijn bewijs van de beroemde laatste stelling van Fermat. Nu vond ik op Google Video de BBC-documentaire van Simon Singh en John Lynch uit 1996 over Wiles en zijn zoektocht naar het bewijs! Later verwerkte Singh het materiaal tot zijn mooie boek Fermat's Last Theorem, vertaald als Het laatste raadsel van Fermat.

Singh heeft op zijn site een Fermat-hoekje ingericht, waar ook allerlei Fermat-trivia te vinden zijn.

Zoals enkele oplettende Volkskrant-lezers al opmerkten in off-topic commentaar en enthousiaste e-mails: de wiskundemeisjes schrijven vanaf vandaag elke twee weken een column in de bijlage Kennis van de Volkskrant! Vandaag bijt Ionica het spits af, met een column over een hoes van Coldplay.

En we mogen vast wel vast verklappen dat de columns, met een kleine vertraging, ook op deze site gepubliceerd zullen worden!

Dit bericht is speciaal voor onze lezers boven de 50 (maar we blijven gewoon `jij' zeggen hoor, we willen niet dat jullie je gelijk stokoud voelen). Neem je je al jaren voor om je eens wat meer te verdiepen in wiskunde? Dan is 2009 het jaar om eindelijk iets met deze goede voornemens te doen!

Frans Oort geeft vanaf vier maart een reeks van acht wekelijkse colleges over Vermoedens in de wiskunde. De colleges vinden plaats in Utrecht en inschrijven kan bij Hoger Onderwijs voor Ouderen. Hieronder de beschrijving van de cursus.

In de wiskunde wordt vooruitgang geboekt door vragen, open problemen, precies te formuleren, en wel in de vorm van ‘vermoedens’. We zullen zien hoe Gauss bewees dat de regelmatige 17-hoek kan worden geconstrueerd met passer en liniaal, maar dat dit ook weer leidt tot een vraag over priemgetallen: vaak geeft een vraag in het ene gebied aanleiding tot een open probleem in een heel ander gebied. Zo werden er in de twintigste eeuw allerlei problemen opgelost, zoals de Laatste Stelling van Fermat, maar kwamen er ook nieuwe vragen bij. Wiskunde is een fascinerend en levend vak.

We behandelen in deze cursus allerlei structuren, maar ook concrete vragen. We gaan ook in op de wijze waarop de moderne wiskundige precieze notatie kiest om gedachten nauwkeurig te formuleren. Hierdoor wordt niet alleen een intrigerende kijk geboden op de wereld van de oude, maar ook op die van de moderne wiskunde.

Het materiaal van de cursus is begrijpelijk zonder specifieke wiskundige voorkennis op academisch niveau. Van cursisten wordt wel verwacht eenvoudige, abstracte structuren ook echt te willen doorgronden, het studiemateriaal telkens van tevoren te bestuderen en sommige behandelde bewijzen later ook zelf nog eens te willen uitwerken.

Frans Oort is één van onze favoriete professoren. Hij vertelde eerder zo bevlogen over deze cursus dat we ons gelijk wilden aanmelden, maar helaas behoren wij niet tot de doelgroep. We bevelen zijn colleges van harte aan, we denken dat een gemotiveerde student daar echt heel erg veel moois kan ontdekken!

Eric Maskin
Op bezoek in Princeton vroeg ik Eric Maskin welke nog levende wiskundige hij bewondert. Maskin (1950) werd geboren in New York en studeerde en promoveerde als (toegepast) wiskundige aan Harvard. Hij werkte op verschillende topplekken voor hij in 2000 neerstreek op het Institute for Advanced Study in Princeton. Hij werkt aan verschillende economische vraagstukken. In 2007 kreeg Maskin de Nobelprijs voor Economie voor zijn werk in de speltheorie. Hij was een van de grondleggers Mechanisme Ontwerp Theorie: hoe je een spel kunt opzetten om een bepaalde uitkomst te bereiken, ook al spelen de individuele spelers voor zichzelf. Dit klinkt gemener dan het is: het is vaak juist de bedoeling dat de spelers allemaal tevreden zijn. Maskin gebruikt als voorbeeld aan het begin van een voordracht vaak de klassieke vraag hoe je met twee personen een taart eerlijk kunt delen. Op de website van de Nobelprijs kun je toespraken van Maskin terugkijken en lezen over hem en zijn werk. Ik heb nog geen video gekeken, maar Maskin was live een erg goede spreker.

Omdat Maskin in de economische speltheorie werkt, verwachtte ik dat hij ook iemand in die hoek zou noemen als favoriet. Tot mijn verbazing koos hij echter...

Pierre Deligne
Deligne werd in 1944 geboren in Brussel, waar hij ook wiskunde studeerde. Hij was lange tijd verbonden aan het Institut des Hautes Études Scientifiques, waar hij werkte met Alexander Grothendieck. Sinds 1984 werkt hij in Princeton. Delignes beroemdste resultaat is waarschijnlijk zijn bewijs van de Weil-vermoedens, een soort Riemann-hypotheses voor eindige lichamen. Voor de liefhebbers hierbij een pdf van Brian Osserman over deze vermoedens.

Voor dit werk kreeg Deligne in 1978 de Fieldsmedaille en hij heeft in de tussentijd heel wat prijzen gewonnen. Zijn werk is ontzettend breed, Maskin noemt hem `een moderne Gauss'. Maskin heeft nooit zelf met Deligne gewerkt, maar hij bewondert zijn prachtige resultaten en zijn vriendelijke persoonlijkheid. Ze zien elkaar regelmatig op Princeton, Maskin vertelt dat Deligne naar de meest uiteenlopende voordrachten komt. Wat laat zien dat Deligne én Maskin allebei een brede interesse hebben.

Tenslotte een mooi citaat uit de nieuwsbrief van Princeton toen voor de 61ste verjaardag van Deligne een conferentie werd georganiseerd.

There are very few mathematicians whose impact on modern mathematics comes close to that of Deligne [...] Deligne’s research in algebraic geometry and arithmetic geometry have shaped these fields and led him to the solution of a number of long standing problems, including the Weil Conjectures (which are the analogues of the notorious Riemann Hypothesis for varieties over finite fields) and the celebrated Ramanujan Conjecture in the theory of modular forms. Deligne’s foundational contributions range from the above fields to representation theory of groups, differential equations and monodromy, topology ... Many of the techniques and tools that he developed either in these papers or in response to questions posed to him (he is very approachable and generous) are at the bottom of much of the exciting research that is going in these fields today. (Peter Sarnak)

Terwijl bijna heel Nederland vakantie viert, heeft Walter zijn handen flink uit zijn mouwen gestoken om de wiskundemeisjes een nieuwe jas te geven.

Wij zijn superblij met deze helemaal-2009-vormgeving, maar we zijn vooral erg benieuwd wat jullie ervan vinden! We moeten nog wat laatste puntjes op de i zetten: hier en daar kun je bijvoorbeeld nog een Engelse tekst tegenkomen en we gaan een nog mooier plaatje en logo bovenaan zetten. Als jullie iets tegenkomen dat niet goed werkt, willen jullie het dan hier melden in de reacties? Zet er even bij welke browser en welk operating system je gebruikt, dan gaan wij (nuja, Walter gaat) het oplossen!

Sommige mensen hebben echt teveel tijd, of houden heel erg van taarten en wiskunde. Hieronder kun je zien hoe je een icosahedron (ook bekend als regelmatig twintig-vlak) kunt maken van taart!

Op deze site staan een heleboel mooie toepassingen van wiskundig verantwoorde betegelingen. Zo zien we de hagedissen van Escher op een motorkap.

En ook de beroemde Penrose-betegelingen blijken volop te vinden in de echte wereld, zoals hier op straat in Helsinki.

Of op een bank in Amsterdam!

(Weet iemand trouwens waar die bank precies staat? En waarom heeft niemand een foto van zichzelf op deze bank ingestuurd voor onze prijsvraag?)