Wiskundemeisjes

Deze column verscheen in de Volkskrant van 23 mei 2009.

Een paar weken geleden gaf president Obama opdracht tot bezuinigingen van 100 miljoen dollar. Dat klinkt als een boel geld, maar bedenk dat het Amerikaanse overheidsbudget een slordige 3.5 biljoen dollar is en het huidige tekort 1.2 biljoen dollar. Zijn die bezuinigingen dan wel zo indrukwekkend?

Econoom Greg Mankiw maakte duidelijk hoe klein de bezuiniging is door de getallen terug te schalen naar een gezin. Stel dat een huishouden jaarlijks 100.000 dollar uitgeeft en dat het een tekort van 34.000 dollar heeft. Nu neemt het hoofd van de familie de drastische beslissing om dit jaar 3 dollar te bezuinigen. Kortom, je hebt een tekort ter grootte van een fraaie middenklasser en om te bezuinigen drink je een kop koffie minder. Dit voorbeeld klinkt belachelijk, maar de verhoudingen tussen de bedragen zijn precies die van de voorgestelde overheidsbezuinigingen.

De bezuinigingen van Obama waren natuurlijk vooral bedoeld als goed voorbeeld en er worden allerlei andere maatregelen genomen om het tekort te laten slinken. Op de economiepagina staan ongetwijfeld intelligente analyses van die maatregelen, mijn punt is vooral dat het gek is dat we zo slecht zien hoe groot het verschil is tussen 100 miljoen en 3.5 biljoen.

We hebben domweg geen gevoel voor grote getallen en vaak zet iemand ergens per ongeluk een paar nullen meer of minder neer. Tot overmaat van ramp is de Amerikaanse ‘billion’ niet hetzelfde als onze ‘biljoen’ (twaalf nullen), maar als onze ‘miljard’ (negen nullen). Onze biljoen heet in Amerika een ‘trillion’ en onze triljoen (achttien nullen) is dan weer een ‘quintillion’.

Wie dit niet weet én geen gevoel heeft voor grote getallen, gaat al snel de mist in. Laatst stond boven een recensie van een boek over ontwikkelingshulp in Afrika de kop "1.000.000.000.000.000.000 dollar hielpen niet." Dat bedrag is een triljoen (tel de achttien nullen maar na), en dat is zes nullen meer dan in de trillion die ongetwijfeld in de oorspronkelijke Engelstalige tekst stond.

Om te zien hoe ridicuul het bedrag met de achttien nullen is, kun je uitrekenen op hoeveel ontwikkelingshulp per persoon per jaar dit ongeveer neerkomt. Het geld ging volgens het artikel in zestig jaar naar Afrika, daar wonen iets minder dan een miljard mensen. Deel het totaal van 1.000.000.000.000.000.000 door zestig en het aantal inwoners en de uitkomst is dat er per inwoner meer dan 18 miljoen dollar ontwikkelingshulp per jaar kwam. Het zou wel héél merkwaardig zijn als zo’n enorm bedrag per persoon niet had geholpen. In werkelijkheid kwam de ontwikkelingshulp per persoon op iets meer dan 18 dollar – het verschil van die zes nullen.

We kunnen zo slecht inschatten hoeveel geld 1.000.000.000.000.000.000 dollar is, dat we niet onmiddellijk merken dat er iets niet klopt met dit bedrag. Bij 18 miljoen dollar per persoon zien we wel gelijk dat er iets mis is.

Deze column verscheen in de Volkskrant van 9 mei 2009.

Vorige week was ik in Parijs, en een van de dingen die je dan als goed wiskundemeisje doet is het Musée des Arts et Métiers bezoeken. Daar is namelijk een heleboel bijzonders te zien. Oude mechanische rekenmachines, meetkundige objecten, een slinger van Foucault, een supercomputer Cray-2 uit de jaren tachtig, communicatie-apparatuur in alle stadia en niet te vergeten: maten en gewichten.

De Cray-2 in het Musée des Arts et Métiers

Want hoe normaal onze maten en gewichten nu ook lijken, het standaardiseren van eenheden van maat en gewicht was een hele onderneming. Veel lengtematen waren vroeger gebaseerd op lengtes van lichaamsdelen, zoals de voet en de duim. Maar standaardmaten waren dat niet: ze waren zelfs binnen een land niet hetzelfde. Zo bestonden er in onze buurt de Aalsterse voet, de Amsterdamse voet, de Bossche voet, de Brusselse voet, de Henegouwse voet, de Leuvense voet, de Luikse voet, de Rijnlandse voet, de Schouwse voet en ga zo maar door. Deze voeten varieerden van 27,70 cm tot 31,40 cm. En dan kon zo'n voet ook nog opgedeeld zijn in tien tot veertien duim.

U kunt zich voorstellen dat dat voor de handel onhandig was, en bovendien fraudegevoelig. Na de Franse Revolutie was in Frankrijk dan ook behoefte aan standaardmaten ontstaan, en de Bataafse Republiek werd samen met andere landen uitgenodigd om mee te werken aan het standaardiseren en ontwikkelen van nieuwe eenheden. De meter werd gedefinieerd als een tienmiljoenste van de lengte van de halve meridiaan die van de evenaar via Parijs naar de Noordpool loopt, en de kilo als de massa van een kubieke decimeter water van 4 graden Celsius.

In 1799 was het zover. In Parijs werden een standaardmeter en -kilo gemaakt: een lat van een meter en een cilinder van een kilo van platina, die nu in het museum te zien zijn. Want dé meter en dé kilo zijn ze niet meer.

De kilo uit 1799 in het Musée des Arts et Métiers

In de loop van de negentiende eeuw gingen steeds meer landen over tot het metrieke stelsel, en in 1889 werden nieuwe prototypes gemaakt voor de meter en de kilogram. De definitie van de meter is later nog veranderd: een meter is nu de afstand die door licht wordt afgelegd in een vacuüm in 1/299.792.458 seconde. De meter is dus gerelateerd aan de lichtsnelheid, en niet meer aan een fysiek object. Maar de kilogram wordt nu nog steeds gedefinieerd als de massa van het prototype uit 1889! Daarmee is de kilo de enige standaardeenheid die nog met een voorwerp gedefinieerd is. Die standaard-kilo wordt zorgvuldig bewaard onder drie glazen stolpen in een kluis, samen met zes kopieën. En elk land heeft zijn eigen kopie.

De huidige standaard-kilogram

Het belangrijkste kenmerk van het metrieke stelsel is dat het een internationale standaard is, maar het is ook handig dat het systeem werkt met machten van tien. Er past honderd centimeter in een meter, duizend gram in een kilogram, duizend kubieke centimeter in een liter. En als u nog niet overtuigd bent van het rekengemak daarvan: vraag maar eens aan een Amerikaan hoeveel kubieke foot in een gallon passen, of hoeveel inches in een mile!

Deze column verscheen in de Volkskrant op 25 april 2009.

Ik kom uit een familie van hypochonders. Onze huisartsen zijn inmiddels gewend aan nachtelijke telefoontjes omdat we ineens denken dat we acute nekkramp of iets anders vreselijks hebben. Als ik een artikel lees over een zeldzame ongeneeslijke ziekte, dan denk ik onmiddellijk dat ik die ook heb. Ik herken namelijk de symptomen: ik ben vaak moe en bovendien heb ik wel eens hoofdpijn. Op zo’n moment zegt mijn vriend meestal dat ik de krant maar eens moet wegleggen en lekker met hem in de zon op een terrasje gaan zitten.

Heel soms laat ik me toch op iets testen en terwijl ik wacht op de uitslag denk ik dan na over wiskunde. Stel bijvoorbeeld dat één op de tienduizend mensen een bepaalde ziekte heeft en dat er een test voor deze ziekte bestaat die 99% betrouwbaar is. Dit betekent dat de test bij 99% van de personen die aan deze ziekte lijden een positieve uitslag geeft. Andersom geeft de test bij 99% van de personen die niet lijden aan deze ziekte een negatieve uitslag. Stel dat ik me laat testen met deze test (die 99% procent betrouwbaarheid klinkt me immers goed in de oren) en dat de uitslag positief is. Hoe groot is dan de kans dat ik deze ziekte heb?

Denk maar even rustig na. Wat lijkt aannemelijk? Ongeveer 1%, 50% of 99%? Leg anders de krant even weg en ga er over nadenken in de zon op een terrasje.

De artsen proberen mijn testuitslag te begrijpen...

Ik neem trouwens aan dat mensen die zich laten testen geen hoger risico hebben op de ziekte, ze laten zich zonder aanleiding testen. Het enigszins verbazingwekkende juiste antwoord is dan dat de kans dat ik ziek ben minder is dan 1%. Reken maar mee: stel voor het gemak dat in totaal één miljoen mensen zich laat testen. Dezelfde berekening geldt voor een willekeurig aantal geteste mensen, maar met één miljoen rekent het wat makkelijker. We weten dat één op de tienduizend mensen de ziekte heeft: dat zijn in een groep van één miljoen dus honderd zieken. Van die honderd geeft de test in 99 gevallen als uitslag `positief’, één iemand krijgt de foutieve uitslag `negatief’. Daarnaast zijn er 999.900 gezonde mensen die zich laten testen. Van deze groep krijgt 1% onterecht de melding `positief’, dat zijn 9.999 mensen. De andere 998.901 gezonde mensen krijgen keurig de negatieve uitslag.

In totaal krijgen dus 10.098 mensen een positieve testuitslag, terwijl maar 99 daarvan de ziekte echt hebben. Als ik een positieve testuitslag krijgt is de kans dat ik deze ziekte heb dus 99/10.098 en dat komt neer op 0.98%. De test met 99% betrouwbaarheid blijkt toch niet zo heel betrouwbaar – ook al krijgt 99% van de mensen die de test doen de juiste uitslag.

In de praktijk worden testen gebruikt die een hogere betrouwbaarheid hebben – dus een valse positiefmelding is erg zeldzaam. Een valse negatiefmelding is ook zeldzaam, maar een echte hypochonder trekt zich daar natuurlijk niets van aan. Laatst zag ik trouwens ineens een raar vlekje op mijn arm, misschien moet ik daar toch ook maar eens naar laten kijken.

Deze column verscheen in de Volkskrant op 11 april 2009.

Veel wiskundigen die ik ken houden van spelletjes. Ik speel dan ook regelmatig een avondje Kolonisten van Catan of Carcassonne met mijn collega’s. En als je een spel speelt, wil je natuurlijk het liefst winnen. Wiskundigen hebben daarom een heleboel spellen bestudeerd om een optimale strategie te vinden.

Bij veel spelletjes is niet van tevoren met zekerheid te zeggen wie er zal winnen, zelfs niet als je aanneemt dat alle spelers optimaal slim spelen. In poker bijvoorbeeld zit altijd een kanselement. Je kunt uitrekenen dat de kans op een paartje azen stukken groter is dan de kans op een royal flush, maar de garantie dat een van de spelers met een bepaalde strategie zeker zal winnen is er niet. Hetzelfde geldt voor Kolonisten van Catan en Carcassonne.

Andere spellen, bijvoorbeeld schaken en boter-kaas-en-eieren, hebben geen kanselement. Je bent in die spellen niet afhankelijk van willekeurig getrokken kaarten of van wat je gooit met een dobbelsteen. Voor spellen zonder kanselement bestaat er soms een winnende strategie voor een van de spelers. Dat wil zeggen dat je altijd wint als je deze strategie volgt - wat de andere speler ook doet.

Een voorbeeld van een spelletje met een winnende strategie is het volgende luciferspel voor twee spelers. Er liggen 21 lucifers op tafel. Iedere speler neemt als hij aan de beurt is één, twee of drie lucifers weg. Wie de laatste lucifer moet pakken, verliest. Wat is het beste om te doen? En maakt het uit wie er begint?

Stel dat u het spel tegen mij speelt. Uit beleefdheid laat ik u beginnen, en u pakt twee lucifers weg. Dan neem ik er ook twee. Vervolgens pakt u er eentje, dan neem ik er drie. Zo gaan we een paar beurten door, en uiteindelijk ligt er na mijn vijfde beurt nog maar één lucifer op tafel, zodat u verliest. Hoe kan dat?

Het feit dat ik u laat beginnen zou al een alarmbel moeten laten rinkelen: er is in dit spel een winnende strategie voor de tweede speler. Wat ik als tweede speler doe is namelijk het volgende. Als u één lucifer neemt, neem ik er drie. Als u er twee neemt, pak ik er ook twee. En als u er drie neemt, neem ik er eentje. In totaal verdwijnen er dus elke keer wanneer we allebei aan de beurt geweest zijn vier lucifers. Na vijf beurten ieder zijn er dus twintig lucifers weg, en is er nog één over!

Voor schaken is zo’n winnende strategie nog niet gevonden, dat is vreselijk gecompliceerd. Spellen zonder kanselement hoeven ook helemaal geen winnende strategie te hebben. Boter-kaas-en-eieren bijvoorbeeld eindigt altijd in remise als allebei de spelers optimaal slim spelen.

Natuurlijk maakt het bekend zijn van een winnende strategie een spel meteen stukken minder leuk: je weet van tevoren al precies wat er zal gaan gebeuren en wie er gaat winnen, en dan is de lol er wel af. Maar als uw familieleden de krant vandaag nog niet gelezen hebben, maakt u een goede kans met het luciferspel!

Deze column verscheen in De Volkskrant van 28 maart 2009.

Paradox-feesten

Stephen Fry kan het niet meer aanzien

Stephen Fry mopperde in een interview dat de jeugd niet meer weet hoe ze een feest moet geven. Vroeger, toen de mannen nog hoeden droegen, organiseerden excentrieke intellectuelen paradox-feesten. De enige manier om binnen te komen was om aan de deur een mooie paradox te vertellen. Als iemand mij uit zou nodigen voor zo’n feestje, dan zou ik komen met de paradox van Simpson. Deze paradox is heel bekend onder statistici en (nog mooier) komt heel vaak voor in de praktijk. Hij is het beste uit te leggen met een voorbeeld.

In 1973 werd de universiteit Berkeley in Californië aangeklaagd wegens discriminatie. Van de mannen die zich aanmeldden werd 56% afgewezen en van de vrouwen maar liefst 65%. Het was niet zo dat er veel meer aanmeldingen van vrouwen kwamen: in totaal ging het over 8442 mannen en 4321 vrouwen (om maar eens precies te zijn). Het verschil in de toelatingspercentages was zo groot dat toeval uitgesloten leek: vrouwen moesten op een of andere manier tegengewerkt worden.

Er werd eens beter naar de cijfers gekeken en de aanmeldingen bleken per faculteit afgehandeld te worden. Van de zes faculteiten lieten vier juist een hoger percentage vrouwen dan mannen toe. De andere twee faculteiten lieten iets meer mannen dan vrouwen toe, maar het verschil was niet zo groot. Het leek er juist op dat vrouwen in de meeste gevallen bevoordeeld werden. Je zou dus denken dat in totaal vrouwen meer kans hadden om aangenomen te worden.

De verklaring was dat mannen en vrouwen zich niet voor dezelfde studies inschreven. Vrouwen meldden zich massaal aan voor studies waar relatief weinig mensen werden toegelaten. Bij Engels kwamen bijvoorbeeld twee op de drie aanmeldingen van vrouwen, bij werktuigbouwkunde slechts twee op de honderd. Terwijl Engels veel aanvragen afwees en werktuigbouwkunde juist heel weinig.

Dit is Simpsons paradox: als je gegevens van twee groepen op een onhandige manier combineert, dan lijken de resultaten van de groepen om te draaien. Het verschijnsel komt ook voor in de sport: een honkballer kan bijvoorbeeld zowel in 2007 als 2008 een beter slaggemiddelde hebben dan een concurrent, terwijl de concurrent over die twee jaren samen ineens een hoger gemiddelde heeft. Veel gevaarlijker is dat het effect ook kan optreden in medicijntesten – vooral als de testgroepen van grootte verschillen. Ook een onderliggende gezamenlijke oorzaak kan een vertekend effect veroorzaken. Baby’s met een laag geboortegewicht van rokende moeders hebben een lager gemiddeld sterftecijfer dan baby’s met een laag geboortewicht van niet-rokende moeders. Dat komt natuurlijk niet doordat roken goed is voor de baby, rokende moeders krijgen gemiddeld sowieso meer kinderen met een laag geboortewicht.

Een typisch paradox-feestje

Kortom: het zou goed zijn als meer mensen weten dat de paradox van Simpson bestaat en beseffen dat ze niet zomaar gegevens bij elkaar op mogen tellen. Ik hoop dus dat ik eens word uitgenodigd voor een paradox-feest. Excentrieke intellectuelen mogen me altijd mailen.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Vandaag is het pi-dag. In de Amerikaanse schrijfwijze is 14 maart namelijk 3-14, en 3,14 is het begin van de decimale ontwikkeling van het getal π (pi). Maar wat is er nou zo leuk aan π dat er een dag aan gewijd moet worden? En wat doe je dan eigenlijk, op pi-dag?

Het getal pi is gedefinieerd als: de omtrek van een cirkel gedeeld door zijn diameter. Bij benadering is pi gelijk aan 3,14159265. Bij benadering, want de reeks decimalen van pi houdt nooit op. Pi is geen breuk, en pi is dus niet gelijk aan 22/7, wat sommige mensen denken. De breuk 22/7 is een benadering van pi die maar tot op twee decimalen klopt. Inmiddels zijn er meer dan 10¹² (dat is een 1 met twaalf nullen) decimalen van pi berekend, en dat zijn er veel en veel meer dan we ooit nodig zullen hebben. Er is nog geen patroon gevonden in de decimalen van pi (behalve dat het de decimalen van pi zijn), het lijkt alsof het volslagen willekeurige cijfers zijn. Maar het is ook niet bewezen dat de decimalen van pi net zo verdeeld zijn als willekeurige cijfers.

Er zijn mensen die zó gefascineerd raken door pi dat ze een ontzagwekkende hoeveelheid decimalen uit hun hoofd hebben geleerd. Het record staat op 67890 decimalen, door een Chinese student. Nou vind ik de decimalen van pi niet zo interessant, maar het getal zelf wel. Het duikt namelijk op allerlei onverwachte plekken in de wiskunde op, ook op plekken die op het eerste gezicht niets met cirkels te maken hebben.

Als je bijvoorbeeld een naald van lengte L hebt laten vallen op een planken vloer met planken die ook breedte L hebben, dan is de kans dat de naald over een kier ligt (in tegenstelling tot helemaal op één plank) gelijk aan 2/π. Pi verschijnt ook als de gemiddelde verhouding tussen de echte lengte van een meanderende rivier en de directe afstand tussen bron en monding. Verder komt het getal voor in de uitkomst van bepaalde oneindige sommen: Ook in de normale verdeling, die bijvoorbeeld beschrijft hoe vrouwen verdeeld zijn over de mogelijke schoenmaten, komt een pi voor.

Omdat pi in het Engels hetzelfde klinkt als "pie" (taart), wordt er vaak taart gegeten op pi-dag. (Een bijkomend voordeel is natuurlijk dat een taart meestal rond is.) Een bevriende wiskundeleraar is er zelfs in geslaagd zijn leerlingen wijs te maken dat de wiskundedocent op taart getrakteerd dient te worden op pi-dag! Jammer dat pi-dag dit jaar op zaterdag valt… Pi-dag is ook een mooie gelegenheid om in de klas te vertellen over pi, of om zelf eens met een meetlint de omtrekken en diameters van cirkels te gaan meten. Maar je kunt natuurlijk ook je pi-t-shirt aantrekken, schoenen kopen met pi erop of pi-vormige ijsblokjes maken: echt, het is allemaal te koop op internet.

En ik? Ik eet al mijn hele leven taart op pi-dag, want dan is mijn moeder jarig!

(Jeanine Daems)

(Deze schoenen vond ik hier, net als de button.)

p.s. Vergeet ook niet om vandaag op de foto te gaan voor de -prijsvraag!

Deze column verscheen in De Volkskrant van 28 februari 2009.

Laatst vroeg ik aan Ji, een Chinese vriend van me, wanneer hij jarig is. “Geen idee, dat heb ik nog niet opgezocht voor dit jaar”, was zijn verbijsterende antwoord. Terwijl ik hem met open mond aanstaarde, legde hij uit dat hij heus wel wist wanneer hij jarig was – maar alleen volgens de Chinese kalender. Hij had nog niet gekeken welke dag in de Gregoriaanse kalender daar dit jaar bij hoorde – dat verschilde namelijk per jaar. Ik vroeg hem wat er dan als geboortedatum stond in zijn paspoort. “Daar staat 5 maart, maar ik ga niet elk jaar mijn verjaardag vieren op 5 maart, want dat is niet mijn echte verjaardag. Jij gaat toch ook niet je verjaardag vieren volgens de Chinese kalender?”

Inmiddels had ik wat traag geconcludeerd dat een Chinees jaar geen 365 dagen telt, omdat Ji anders wel elk jaar op dezelfde jarig zou zijn. Hoeveel heeft het er dan wel? Mijn vriend vertelde lachend dat het er 354 zijn verdeeld over 12 maanden van elk 29 of 30 dagen. Sterrenkunde is niet mijn sterkste kant, maar ik herinnerde me vaag dat er een vrij goede reden is dat een jaar 365 dagen heeft: dat de zon in ongeveer 365 dagen om de zon draait. Als je een jaar met minder dagen hebt, dan verschuift alles en op den duur kan het op dezelfde datum zowel midden in de zomer als hartje winter zijn. Ik vroeg Ji hoe hun systeem dat oploste: “Gewoon, we voegen eens in de zoveel jaar een extra maand toe” Natuurlijk. Wij nemen een schrikkeldag maar de Chinezen nemen een hele schrikkelmaand.

Een dag later las ik op Wikipedia meer dan ik ooit had willen weten over de fascinerende Chinese kalender. Hoe de kalender de maancycli volgt zodat bepaalde feestdagen elk jaar met volle maan vallen en hoe de schrikkelmaand wordt ingevoegd als de kalender te ver uit de pas met de zonnecyclus gaat lopen. De schrikkelmaand kan in principe na elke maand worden ingevoegd en de berekening die erbij hoort is zo ingewikkeld dat het bijna willekeurig lijkt. Het mooiste vond ik misschien wel de namen van de maanden. De eerste maand heet `hoofdmaand’, daarna volgen `tweede maand’, ‘derde maand’, enzovoorts. De schrikkelmaand heet gewoon`extra maand’.

Ik moest denken aan de Chinese getallen, die hebben ook van die eenvoudige namen. Je hebt de getallen een tot en met tien en daarna stel je die tot 99 rechttoe-rechtaan samen. Dus 13 wordt tien-drie en 37 wordt drie-tien-zeven. Niks rare uitzonderingen zoals elf, of het rare Franse quatre-vingts. Het schijnt dat Chinese kinderen sneller en beter kunnen rekenen dan Westerse kinderen – mede dankzij hun heldere telsysteem. Wereldwijd kunnen alle kinderen ongeveer op dezelfde leeftijd tot tien tellen. Dat komt overal neer op het begrijpen van het concept en het leren van de namen van de eerste tien getallen. Daarna struikelen Nederlandse leerlingen over elfendertig, terwijl Chinese kinderen in mum van tijd doortellen tot 99. Hebben ze mooi tijd over om te berekenen wanneer ze jarig zijn.

Deze column verscheen in de Volkskrant van 14 februari 2009.

Als je jezelf wiskundemeisjes noemt, krijg je natuurlijk vaak de vraag: "Hoe is dat nou, wiskunde studeren als je een meisje bent?" En laatst vroeg een journaliste van Opzij ons herhaaldelijk: "Maar heeft dan nooit iemand gezegd: zou je dat nou wel doen, je bent toch een meisje?" Nou, nee. Op mijn middelbare school werden meisjes juist aangemoedigd om ook naar bètastudies te kijken, en we bezochten vrolijk de "meiden studeren techniek" dagen. Ik weet niet of mijn verhaal representatief is, maar ik heb me nooit belemmerd gevoeld in mijn keuzes omdat ik een meisje was. En het heeft ook voordelen. Als je maar met weinig bent, weten mensen snel wie je bent.

Want hoe je het ook wendt of keert, er zijn nog steeds meer mannen dan vrouwen in de wiskunde. Hoe komt dat? Ik heb er nog geen bevredigende verklaring voor gezien. Is het erg? Voor mij niet. Mijn baan en collega’s bevallen prima, en ik heb altijd het andere wiskundemeisje nog om mijn nieuwe schoenen aan te laten zien. Voor het imago van het vak zou het wel goed zijn als er meer vrouwen waren.

Moeten er dan niet méér meisjes wiskunde gaan studeren? Misschien is het vloeken in de kerk, maar dat is niet mijn missie. Wat ik belangrijk vind is dat je een studie kiest die je leuk vindt. Maar als je enthousiast bent over wiskunde, moet je geslacht zeker geen belemmering zijn om daar ook voor te kiezen.

Een inspirerend verhaal uit de geschiedenis van de wiskunde is dat van de Franse wiskundige Sophie Germain (1776 - 1831). Haar ouders waren helemaal niet te spreken over haar fascinatie voor wiskunde en ze probeerden haar op allerlei manieren te ontmoedigen (het verhaal gaat dat ze haar kaarsen afpakten en haar kleren verstopten als ze naar bed was gegaan). Dat hielp echter niets, en toen gaven ze maar toe.

De toen pas geopende École Polytechnique zou de ideale plaats zijn om wiskunde te leren, maar vrouwen werden er niet toegelaten. Germain hoorde over een student die uit Parijs vertrokken was, Antoine-August Le Blanc. Ze slaagde erin studiemateriaal te krijgen en ze leverde oplossingen in onder zijn naam. Dat bleef niet onopgemerkt: de beroemde wiskundige Lagrange wilde wel eens weten hoe een student die nooit was komen opdagen opeens zulke slimme oplossingen inleverde. Ze kon haar identiteit niet langer verbergen en Lagrange ontpopte zich tot haar mentor.

Dit verhaal is waarschijnlijk een inspiratiebron geweest voor een aflevering van The Simpsons, waarin de school van Lisa en Bart in tweeën wordt gedeeld. Jongens en meisjes krijgen apart van elkaar les. Alle stereotypen zijn uit de kast getrokken: de jongetjes maken troep en slaan elkaar tot moes, terwijl bij de meisjes alles netjes en zweverig is. Ik moest erg lachen om de wiskunde die aan de meisjeskant gedoceerd wordt: "And how does this number make you feel?!" Uit wanhoop verkleedt Lisa zich als jongetje. Zo had zelfs Sophie Germain misschien nog wel ontmoedigd kunnen worden!

Toen mijn vriend en ik elkaar net kenden, ging ik zonder hem op vakantie. Bij terugkomst stond hij op Schiphol met een bos bloemen. ``Stom van hem”, zei een vriendin van me: “Nu moet hij je voortaan altijd komen ophalen, omdat je anders gaat mopperen dat hij in het begin van jullie relatie nog wel romantisch was.” Ik dacht hier aan toen ik een onderzoek tegenkwam over het geven van geschenken in het begin van een relatie.

Het gebruikte model komt uit de biologie, vandaar de wat dierlijke termen. Een mannetje geeft een vrouwtje een geschenk. Zij bepaalt na het bekijken van het geschenk of ze met het mannetje wil paren. De onderzoekers nemen aan dat een man met elk vrouwtje wil paren, maar dat hij alleen bij een vrouw blijft als hij haar echt leuk vindt. Een vrouw wil alleen paren met een man die ze aantrekkelijk vindt en waarvan ze daarnaast denkt dat de kans groot is dat hij bij haar blijft. Zij gebruikt het geschenk van de man om in te schatten of hij haar echt leuk vindt. De hamvraag is: wat voor geschenk moet je als man kopen?

Een logische strategie lijkt om vrouwen die je leuk vindt een mooi en kostbaar geschenk te geven. Onaantrekkelijke vrouwen krijgen een goedkoop geschenk, want je weet maar nooit. Of zoals een vriend van me altijd zegt: ``Je kunt het altijd proberen met een fles goedkope witte wijn.” Er is één probleem met deze strategie: aantrekkelijke vrouwen die jou niet zien zitten, nemen wel jouw geschenk aan, maar laten je daarna staan. Dat wil je natuurlijk voorkomen.

Wiskundige Peter Sozou kwam op het idee om dit probleem aan een rigoreuze wiskundige analyse te onderwerpen toen hij in de krant las dat een man al maanden de huur betaalde voor de vrouw op wie hij verliefd was. Achter zijn rug had zij al die tijd een ander. Ze hield de aanbidder alleen aan het lijntje voor zijn waardevolle geschenken.

Sozou bepaalde met speltheorie de beste strategie voor de man. Na nog wat extra aannames en een hele reeks berekeningen kwam hij met een schitterende oplossing: geef aantrekkelijke vrouwen kostbare, maar waardeloze geschenken. Dat zijn geschenken die de man veel tijd, geld of moeite kosten, maar de vrouw geen direct voordeel opleveren. Denk aan diners in sterrenrestaurants voor fotomodellen of –in de dierenwereld- aan nutteloze bolletjes katoen voor vrouwtjesvliegen. Vrouwen die de man niet zien zitten, zullen zo’n geschenk beleefd weigeren. Maar vrouwtjes die het mannetje zelf leuk vinden, zien aan het geschenk dat het mannetje hen echt ziet zitten. Bij vliegen is het principe getest en mannetjes die met een bolletje katoen kwamen, hadden inderdaad net zoveel succes bij de vrouwtjes als mannen die een lekker hapje meebrachten.

Natuurlijk valt er wat af te dingen op het model en de gemaakte aannames, maar ik geloof dat er in de oplossing een kern van waarheid zit. Als je het zo bekijkt, dan was het dus heel slim van mijn vriend om speciaal naar Schiphol te komen met een mooie bos bloemen. Zo zien meisjes hun kostbare, maar waardeloze geschenken namelijk graag.

Deze column verscheen in de Volkskrant van 17 januari 2009.

In de kerstvakantie las ik, zoals dat hoort, elke dag een hoofdstuk van De Avonden. Bij verscheidene ontmoetingen begroet Frits van Egters zijn vrienden of broer met een opmerking over hun steeds dunner wordende haar: ‘Je bent alweer kaler geworden,’ zei Frits, ‘je wordt ontzettend kaal.’ Ik vroeg me opeens af: hoeveel haren heeft een mens eigenlijk op zijn hoofd? Even zoeken op internet leverde snel een antwoord op. Het hangt een beetje af van je haarkleur, maar gemiddeld ligt het aantal haren op een hoofd rond de 100 duizend. Roodharigen hebben de minste haren, ongeveer 90 duizend, en blonde mensen de meeste, ongeveer 150 duizend.

Dat betekent dat in een stad als Amsterdam, waar iets meer dan 750 duizend mensen wonen, in ieder geval twee mensen wonen met precies evenveel haren op hun hoofd! Dat kun je laten zien met een wiskundig principe dat het ladenprincipe heet. Het ladenprincipe zegt het volgende. Als je tien laden hebt en je stopt elf balletjes in die laden, dan is er altijd minstens één la waarin meer dan één balletje zit, hoe je de balletjes ook over de laden verdeelt. In het algemeen: als je n laden hebt, en je verdeelt n+1 of meer balletjes over die n laden, dan is er minstens één la met meer dan één balletje. Dat klinkt tamelijk voor de hand liggend, en dat is het ook, maar toch is het soms nuttig als je voor de laden en de balletjes handige vertalingen kiest.

Laten we aannemen dat het maximale aantal haren op een hoofd 200 duizend is, wat een beetje aan de hoge kant is, maar dat geeft niet. Dus de mogelijke aantallen haren die een mens kan hebben zijn 0, 1, 2, …, 200 duizend. Nu bekijken we de iets meer dan 750 duizend inwoners van Amsterdam. Die kunnen we verdelen over deze mogelijke aantallen haren: elke inwoner wordt gekoppeld aan het aantal haren op zijn hoofd. Oftewel: de inwoners van Amsterdam corresponderen met de balletjes, en de mogelijke aantallen haren die een mens kan hebben corresponderen met de laden. Omdat er meer inwoners zijn dan mogelijke aantallen haren, zijn er minstens twee inwoners met precies evenveel haren op hun hoofd. En het leuke is: we hoeven nooit een Amsterdammer gezien te hebben om deze conclusie te kunnen trekken. In dit geval zijn er trouwens zoveel meer balletjes dan laden dat we zelfs kunnen concluderen dat er minstens drie inwoners zijn met evenveel haren op hun hoofd.

Hieruit volgt natuurlijk niet dat er in Amsterdam zeker iemand woont met evenveel haren op zijn hoofd als u! En ook zijn het niet per se steeds dezelfde mensen die evenveel haren op hun hoofd hebben: het aantal haren op een hoofd verandert als er haren uitvallen. Maar wel weten we zeker dat er op elk moment drie Amsterdammers zijn met precies evenveel haren, al weten we niet wie dat zijn. Tenzij u toevallig drie helemaal kale Amsterdammers kent.