Wiskundemeisjes

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Mijn vriend is superleuk en ik ben al jaren erg gelukkig met hem. Maar soms kom ik op een feestje een ontzettend knappe man tegen die lacht om al mijn grapjes. En dan twijfel ik even, loopt er niet een nóg leukere partner voor me rond? Hoe weet ik dat ik de juiste geliefde heb gekozen?

Voorbeeld van een ontzettend knappe man

Een partner zoeken is (met wat goede wil) te zien als een wiskundig probleem. Je moet daarbij een aantal aannames maken. Zo moeten de mogelijke partners te ordenen zijn van goed naar slecht, gelijke scores zijn niet toegestaan. Daarnaast neem je aan dat de mogelijke geliefden in willekeurige volgorde één voor één voorbij komen en dat je er maar één kunt kiezen. Nog een belangrijke (en in de praktijk niet geheel realistische) aanname is
dat je afgewezen kandidaten niet meer kunt terugnemen.

Wiskundigen noemen dit het secretaresse-probleem, waarschijnlijk omdat ze vaker secretaresses uitzoeken dan geliefden. Dit soort keuze-problemen komt voor in allerlei situaties. Denk aan het kopen van een huis: je bekijkt één voor één een aantal huizen en hoopt het beste huis te kiezen.

Met welke strategie heb je de grootste kans om de beste optie te nemen? Je kunt eigenlijk maar één ding doen: eerst een aantal kandidaten voorbij laten gaan om een beeld te krijgen van het aanbod. Daarna kies je de eerste die beter is dan alle vorigen. De grote vraag is: hoeveel kandidaten moet je proberen?

Stel bijvoorbeeld dat je uit honderd mogelijke geliefden mag kiezen. Als je er zomaar één kiest, dan heb je een kans van 1% om de beste te nemen. Als je eerst twintig kandidaten bekijkt en dan de eerste neemt die beter is dan alle vorigen, dan groeit je kans om de beste te kiezen naar 32%. Te lang wachten is niet goed, dan mis je de beste waarschijnlijk. Na tachtig kandidaten is de kans om de juiste te kiezen nog maar 18%. Een algemene vuistregel is dat je ongeveer 37% van de kandidaten moet bekijken. In dit geval heb je dan 37% kans om de beste geliefde te vinden.

Psycholoog Peter Todd paste de algemene strategie wat aan door het ideaal van één beste liefde overboord te gooien. Hij nam aan dat je gelukkig bent met een partner die bij de beste 10% zit, maar dat je wel minstens 75% kans wilt hebben om zo’n goede partner te vinden. Todd rekende uit dat je om dat te bereiken twaalf partners moet proberen. Daarna kun je de eerste die beter is dan alle vorigen met een gerust hart houden.

Hoe je die geliefden precies moet tellen, vertelt het model trouwens niet. Preutse types tellen hun afspraakjes, wildebrassen alles wat langer duurde dan een one-night-stand. Zelf tel ik iedereen waarmee ik verliefd hand in hand heb gelopen. Mijn vriend is nummer veertien en veel leuker dan mijn vorige geliefden. Kortom: ik houd hem! Nu maar hopen dat hij mij ook wil houden.

En ze leefden nog lang en gelukkig...

Deze column verscheen in de Volkskrant van 7 november.

Over vier weken is het zover: pakjesavond! Dat betekent dat er lootjes getrokken moeten worden. Ik woon een heel eind bij mijn ouders vandaan; het is al moeilijk om iedereen bij elkaar te krijgen op pakjesavond, maar het lukt ons maar zelden om ook nog eens bij elkaar te komen om lootjes te trekken.

Nou zijn er voor de hand liggende oplossingen als lootjes trekken op internet, maar de romantiek is er dan toch een beetje af. Zo’n lootje hoort een snippertje papier te zijn dat een maand lang rondzwerft in je broekzak of portemonnee, en niet een e-mail in je inbox.

Mijn moeder stuurt dit jaar de lootjes met de post rond. Ze slaagt erin om iedereen een lootje te sturen waar zeker niet zijn eigen naam op staat, ze weet buiten zichzelf van niemand wie hij heeft, en er is geen hulp van buitenaf nodig. Hoe doet ze dat?

We willen met z’n zessen sinterklaas vieren. Mijn moeder neemt zes identieke enveloppen en schrijft op de voorkant van elke envelop één naam. Daarna schrijft ze elke naam ook op een velletje papier. Ze stopt elk briefje (opgevouwen) in de envelop waar dezelfde naam op staat als op het briefje, maar ze plakt de enveloppen natuurlijk nog niet dicht.

Ze legt alle enveloppen op de kop op een stapeltje, zodat ze de namen niet meer kan zien, en ze schudt het stapeltje goed. Vervolgens legt ze de enveloppen (nog steeds op de kop) in een cirkel op tafel. Ze haalt de velletjes uit de enveloppen (zonder te kijken wie erop staat!) en ze schuift alle velletjes één envelop door. Dan stopt ze elk velletje in de envelop waar het nu bij ligt, ze plakt de enveloppen dicht, ze husselt ze nog even door elkaar, en klaar! Nu heeft zeker niemand zichzelf, en mijn moeder weet van niemand anders wie hij heeft.

Ze had de papiertjes in plaats van één envelop ook twee, drie, vier of vijf enveloppen kunnen doorschuiven. Gaat het dan nog steeds goed? Onthoud dat mijn moeder wéét hoeveel ze alles doorgeschoven heeft.

Stel dat de enveloppen in de cirkel in de volgorde A, B, C, D, E, F lagen en ze schuift alle briefjes één envelop naar rechts. Dan ontstaat er een kringetje van lengte zes (F heeft E, E heeft D, enzovoorts). Ook als ze alles vijf enveloppen doorschuift, ontstaat er een kring van zes. Als ze alles twee of vier enveloppen doorschuift, ontstaan er twee kringetjes van lengte drie. Als alles drie enveloppen doorgeschoven wordt, dan worden alle kringetjes twee lang: A en D hebben elkaar, B en E ook, en C en F ook.

Kortom: mijn moeder weet wat voor kringetjes er ontstaan. En als ze alles drie enveloppen opschuift, weet ze dus dat de persoon die zij getrokken heeft ook háár lootje getrokken heeft! Dat mag niet.

En voor andere families? Met hoeveel personen je ook bent (mits meer dan drie): alle briefjes één envelop doorschuiven werkt altijd. Een aanrader voor alle families met ver weg wonende kinderen!

Deze column verscheen in de Volkskrant van 24 oktober.

Afgelopen maandag ontmoetten realistische rekenaars en systematische staartdelers elkaar in het Kenniscafé voor een discussie over rekenonderwijs. De afgelopen maanden streden de twee kampen een loopgravenoorlog met elkaar via de media en de verwachting was dat deze avond een zeer felle confrontatie zou geven. De ME was nog net niet ingehuurd. Gelukkig zijn de meeste leraren, wiskundigen en onderwijsdeskundigen geen opgepompte sportschooltypes.

Voordat het strijdgewoel losbarstte mocht ik het publiek vermaken met wat vrolijke sommen. Na één van de opgaven riep een dame uit de zaal: “Dat vind ik een stomme som.” Zelf vond ik juist het een heel leuke som, al moet ik toegeven dat het geen pure rekensom was. Dit was de opgave.

Er zit een touw strak om de aarde, zoals een ring om een vinger. Het is een heel lang touw van meer dan 40.000 kilometer. Nu knip je het touw door en doe je er één meter extra touw tussen. Dan til je het touw overal een beetje op, zodat het op elke plek even ver van het aardoppervlak is. Hoeveel ruimte is er nu tussen het touw en de aarde? Ongeveer zoveel als een elektron? Een bacterie? Een krant? Een kat? Een olifant?

Het grappige was dat de klagende dame deze opgave zelf goed had, maar toch vond ze hem stom. Het juiste antwoord is dat het touw ongeveer zestien centimeter omhoog komt, dus dat een kat kan er net onderdoor kan. Hoeveel het touw omhoogkomt hangt helemaal niet af van de grootte van de aarde. Als je een touw strak om een willekeurige bol bindt en daarna een meter extra ertussen doet, dan komt het touw altijd een centimeter of zestien omhoog: die ene meter gedeeld door twee keer pi. Het werkt ook bij een pingpongbal, een skippybal of de maan (al is het, net als bij de aarde, in de praktijk wat lastig om daar een touw om te binden).

Om deze som op te lossen hoef je weinig te rekenen (één meter delen door twee pi), je moet de formule voor de omtrek van een bol kennen en vooral goed nadenken. Tijdens de discussie over het rekenonderwijs vertelden leraren dat het vaker een probleem is dat er in rekenopgaven meer getoetst wordt dan alleen rekenvaardigheden. Veel opgaven zijn erg talig. Zo kan een leerling die goed kan rekenen struikelen over een opgave doordat hij een woord als `hoogstens’ niet kent.

De discussie tussen de realistische rekenaars en de systematische staartdelers die avond bleef gelukkig erg genuanceerd. Ik kreeg de indruk dat de verschillende kampen eigenlijk helemaal niet zover uit elkaar staan. Wel was ik stiekem blij dat ik niet zelf voor de klas sta, het lijkt me verschrikkelijk moeilijk om leerlingen te leren rekenen – ongeacht welke methode je gebruikt. Diep respect voor de leraren die dit lukt. Wat ik wel wist: leerlingen die een opgave goed hebben en dan toch komen klagen, zou ik goed in de gaten houden. Dat zijn slimmeriken, maar wel irritante slimmeriken.

Deze column verscheen in de Volkskrant van 10 oktober.

“Want ik heb heimwee naar een tijd die ik niet ken. En ik weet zeker dat ik in de foute eeuw geboren ben. 'k Wil draven door de velden. 'k Wil meedoen met de helden,” hoorde ik Guus Meeuwis laatst zingen. “'k Wil wonen op een groot en machtig slot. En getroffen worden door een kogelschot. Want in deze tijd verveel ik me kapot.”

Nou denk ik helemaal niet dat ik in de foute eeuw geboren ben. Er is nauwelijks een betere eeuw geweest om geboren te worden, zeker als een in wetenschap geïnteresseerde vrouw. En een kogelschot lijkt me ook niet echt een pretje. Maar ik vroeg me wel af: wat zou als wiskundige nou eigenlijk de spannendste eeuw zijn geweest om in te leven?

Niet deze. Niet alleen is het in onze tijd onmogelijk om een uomo universale te zijn, het is zelfs onmogelijk om de hele wiskunde te overzien, en er zijn maar weinig wiskundigen die aan de top staan van meer dan één wiskundig deelgebied. En dat is jammer, want al die verschillende vakgebieden hebben elkaar ook van alles te bieden. Dus als wiskundige zou ik liever in een eeuw geboren zijn waarin de hele wiskunde binnen een mensenleven nog een beetje behapbaar was, en er nog meer fundamenteels te ontdekken was.

Die ideale eeuw ligt zeker ook niet in de door Guus Meeuwis bezongen middeleeuwen, niet in onze regionen tenminste. In het Islamitische Midden-Oosten misschien wel. Terwijl onze ridders en helden elkaar aan hun lans regen, en terwijl onze monniken baden en met een beetje geluk wat wiskunde onderwezen op de kloosterscholen of uitrekenden wanneer het Pasen was, vertaalden de wetenschappers in de Islamitische wereld de belangrijkste teksten van de Griekse oudheid in het Arabisch, waardoor een groot deel voor ons bewaard gebleven is, en ontwikkelden ze zelf indrukwekkende nieuwe wiskunde.

Om wat dichter bij huis te blijven: ik denk dat het Nederland van de zeventiende eeuw een goede kandidaat is. Onze zeventiende eeuw wordt natuurlijk niet voor niets de Gouden Eeuw genoemd. Er heerste voorspoed in de Republiek. En ook voor wiskundigen was het hier goed toeven: Descartes bracht zijn controversiële werken hier uit, want hier was vrijheid.

Ook Christiaan Huygens, Willebrord Snellius, Ludolph van Ceulen en Frans van Schooten Jr. waren creatieve wiskundigen. En spannend was het ook! Er heerste een sterk polemische cultuur. In pamfletten en andere teksten daagde men elkaar uit tot het oplossen van problemen, en bluf en grootspraak waren daarbij niet van de lucht, net zoals snedige geschriften waarin de al dan niet foutieve oplossingen van anderen subtiel of minder subtiel werden afgekraakt. Voer voor de wetenschapshistorici van nu!

De wiskundigen uit de zeventiende eeuw voldoen ook nog eens min of meer aan de dromen van Guus Meeuwis: Snellius dwaalde door de velden rond Leiden voor zijn landmetingen, Descartes woonde op een kasteeltje in Oegstgeest, en Jan de Witt, die behalve staatsman ook een begenadigd wiskundige was, kwam na de bekende lynchpartij om het leven door een nekschot.

Deze column verscheen in de Volkskrant van 26 september.

De kans dat je de lotto wint is nogal klein. Zoals statisticus John Haigh opmerkte, is het voor de gemiddelde persoon waarschijnlijker dat hij binnen een uur na het kopen van een lot dood neervalt, dan dat hij de jackpot wint.

De afgelopen weken was de lotto flink in het nieuws. Eerst voorspelde illusionist Derren Brown live op de Britse televisie de lottogetallen van die avond. Voorspellen is eigenlijk een groot woord, want hij liet zijn getallen pas zien ná de trekking. Brown bekeek de trekking op een groot scherm, schreef de winnende getallen op een kaart en draaide pas daarna de lottoballen die de hele tijd naast hem in beeld lagen naar de camera. Natuurlijk stonden daar de juiste getallen op.

Twee dagen later zou Derren Brown uitleggen hoe zijn truc werkte. Ondertussen circuleerden op internet de wildste theorieën: misschien had Brown ons gehypnotiseerd zodat we dachten dat het de juiste getallen waren of misschien had een assistent in een onzichtbaarheidsmantel de ballen snel verwisseld. Zoals het een goede illusionist betaamt, vertelde Brown uiteindelijk helemaal niet hoe de truc werkte. In plaats daarvan hield hij een wiskundig zwetsverhaal over het middelen van de voorspellingen van vierentwintig mensen- iets dat volgens hem alleen werkte als je het niet voor het geld deed.

Diezelfde week gebeurde er iets geks bij de Bulgaarse lotto: de getallen 4, 15, 23, 24, 35 en 42 werden getrokken. Wat was er zo bijzonder aan deze getallen? Niets, behalve dan dat bij de vorige trekking precies diezelfde getallen vielen. Maar liefst achttien deelnemers hadden de tweede keer al deze getallen goed (zouden zij altijd op de vorige uitslag gokken?) en mochten de hoofdprijs delen.

Na een onderzoek van het lotingsmechanisme werd geconcludeerd dat er geen sprake was van fraude, ook al leek de kans op twee keer dezelfde uitslag wel erg klein. Maar is die kans zo bijzonder klein? Elke reeks van zes getallen heeft bij een nieuwe trekking dezelfde kansen en twee keer achter elkaar 4, 15, 23, 24, 35 en 42 is net zo toevallig als 4, 15, 23, 24, 35 en 42 gevolgd door 1,2,3,4,5 en 6 of welke zes getallen ook.

De kans op een bepaalde uitslag is sowieso heel klein. In Nederland is er in de lotto een wekelijkse trekking met zes getallen tussen de 1 en 45 en één uit zes kleuren: dat geeft meer dan 48 miljoen mogelijkheden. Hoe lang moet je meespelen om met grote kans de lotto te winnen? Om preciezer te zijn: na hoeveel jaar heb je 95% kans dat je minstens één keer de hoofdprijs hebt gewonnen? Het teleurstellende antwoord is na 2,8 miljoen jaar – zo lang geleden waren er nog niet eens mensen. Als een Neanderthaler die ongeveer 300.000 jaar geleden werd geboren vanaf zijn geboorte tot nu elke week mee had gespeeld in de lotto, dan is de kans dat hij inmiddels minstens één keer de hoofdprijs heeft gewonnen iets meer dan 27%. De kans dat hij intussen dood is neergevallen, is een stuk groter.

Deze column verscheen in de Volkskrant van 12 september.

In de wiskundewereld bestaat een wat apart gevoel voor humor. Grappen met wiskundigen als onderwerp worden juist vaak door wiskundigen zelf verteld. Meestal wordt in zo’n grap een wiskundige vergeleken met andere wetenschappers, en altijd blijkt de wiskundige het raarst te zijn. Blijkbaar zijn we stiekem een beetje trots op onze eigenaardigheden. Of bijzonder goed in zelfspot. Een voorbeeld:

Een natuurkundige, een wiskundige en een logicus reizen door Schotland met de trein, en ze zien een zwart schaap in een wei staan. De natuurkundige zegt: “Hé, de schapen in Schotland zijn zwart!” “Nee,” zegt de wiskundige, “je bedoelt: er is minstens één zwart schaap in Schotland.” “Nou,” zegt de logicus, “we weten alleen dat er minstens één schaap in Schotland is dat aan minstens één kant zwart is.”

(Dit zwarte schaap komt uit het leuke spel Paniek in de wei.)

Zijn de wiskundigen in het algemeen pietjes precies, de logici zijn blijkbaar nog een graadje erger. In de wiskunde is het inderdaad gevaarlijk om een algemene conclusie te trekken uit een enkel voorbeeld, maar in het dagelijks leven is het best handig om dat toch af en toe te doen.

Een andere wiskundemop: twee wiskundigen zitten in een restaurant. De ene moppert over de domheid van de gemiddelde mens, terwijl de ander vindt dat dat wel meevalt, en hij wil graag gelijk krijgen. Op het moment dat de eerste naar de wc is, zegt hij tegen de serveerster: “Als ik je zometeen iets vraag, moet je antwoorden: .” Als de pessimist weer terug is, vraagt de ander aan de serveerster: “Wat is de primitieve van ?” Waarop de serveerster antwoordt: “”. En terwijl ze wegloopt: “Plus een constante.”

Deze mop laat vooral de arrogantie van wiskundigen ten opzichte van de rest van de wereld zien. Zelfs de optimistische wiskundige gaat ervan uit dat de serveerster geen gevorderde wiskunde kent, maar hij wordt mooi op zijn nummer gezet: de serveerster geeft een nog correcter antwoord dan hij haar had ingefluisterd!

Maar mijn favoriete grap is deze. Een bioloog, een natuurkundige en een wiskundige staan een tijdje voor een huis. In die tijd gaan er twee mensen naar binnen en komen er drie naar buiten. De bioloog zegt: “Nou, dat lijkt me een duidelijk geval van voortplanting!” De natuurkundige zegt: “Ik denk dat het een meetfout is.” En de wiskundige zegt: “Als er nu nog iemand naar binnen gaat, is het huis weer leeg!”

Wiskundigen doen namelijk niet moeilijk over negatieve aantallen. Zoals natuurkundigen soms geplaagd worden met hun afhankelijkheid van metingen en de onnauwkeurigheden daarvan, zo worden wiskundigen belachelijk gemaakt om al hun zelfbedachte concepten, zoals negatieve getallen, die niet direct iets met de werkelijkheid te maken lijken te hebben.

Maar deze grap wijst bovendien nog eens op de neiging die wiskundigen soms vertonen om hun wiskundige gedachtepatroon toe te passen op het dagelijkse leven. En dat doen ze ook echt: een collega antwoordt op de vraag of hij koffie of thee wil steevast alleen “ja”. Het is een correct antwoord, maar weinig effectief, en vrienden maken doe je er niet mee.

Deze column verscheen in de Volkskrant van 29 augustus 2009.

Deze zomer werkte ik door om mijn proefschrift af te maken. Terwijl ik al fantaseerde over wat ik zou aantrekken bij de verdediging, ontdekte ik een fout in één van mijn artikelen. De fout zat natuurlijk in de allereerste stelling, waardoor de rest van dat artikel als een kaartenhuis in elkaar viel. Een paar dagen kroop ik huilend onder mijn dekbed. Ik overwoog om mijn carrière als wiskundige aan de wilgen te hangen en een sauna op een Waddeneiland te beginnen. Mijn promotoren haalden me uit de put en verzekerden me dat elke wiskundige dit soort tegenslagen had (al kroop niet iedereen huilend onder zijn dekbed).

Lily Allen na wiskundehuiswerk

Ik dacht aan Andrew Wiles. Hoe moet hij zich gevoeld hebben? Maar liefst zeven jaar werkte hij aan één bewijs en toen bleek daarin een fout te zitten. Wiles hoorde als kind over de laatste stelling van Fermat: Als n een geheel getal groter dan 2 is, dan bestaan er geen positieve gehele getallen en zodat . Wiskundige en pestkop Pierre de Fermat schreef rond 1630 in de kantlijn van een boek dat hij een prachtig bewijs voor deze bewering had gevonden, maar dat dit bewijs niet in diezelfde kantlijn paste. Honderden jaren probeerden beroemde wiskundigen en amateurs een bewijs te vinden. Er werden grote prijzen uitgeloofd en kleine resultaten behaald, maar van een algemeen bewijs was geen sprake.

Wiskundige Andrew Wiles besloot in 1986 dat hij alles op alles ging zetten om deze stelling te bewijzen. Hij vertelde zijn vrouw een paar dagen na de bruiloft dat hij maar tijd had voor twee dingen: zijn familie en deze stelling. De jaren daarna werkt hij in het diepste geheim en alle eenzaamheid aan zijn bewijs. Pas toen hij na zes jaar de details bijna rondhad, nam hij twee collega’s in vertrouwen. In juni 1993 presenteerde Wiles zijn bewijs in een reeks lezingen. De wiskundige wereld stond op zijn kop en het nieuws haalde de voorpagina van kranten over de hele wereld.

Terwijl Wiles baadde in champagne (nuja, dat stel ik me zo voor) keken deskundigen zijn bewijs stap voor stap na. Na een paar maanden ontdekte iemand een subtiel foutje. Door dit ene kleine foutje stortte het hele bewijs in elkaar. Wiles probeerde het ontstane gat te dichten, terwijl de hele wiskundige wereld op zijn vingers keek. Een paar collega’s probeerden hem tevergeefs te helpen. In september 1994 (het moet een ongezellig jaar zijn geweest voor mevrouw Wiles) besloot hij nog één laatste poging te wagen voor hij het opgaf. Ineens zag hij een oplossing. Toen Wiles later in een documentaire over dat inzicht vertelde, kreeg hij tranen in zijn ogen. Dat was het belangrijkste moment uit zijn werkende leven.

Net als Andrew Wiles ga ik mijn tanden op elkaar zetten en opnieuw beginnen. Al zijn mijn resultaten een stuk minder belangrijk en is mijn talent een stuk kleiner, die momenten van gelukzalig inzicht maken het de moeite waard om door te blijven gaan.

Deze column verscheen in de Volkskrant van 4 juli 2009.

De meetkunde die je leert op school gaat over lijnen en driehoeken in het platte vlak. Je leert bijvoorbeeld dat de som van de hoeken van een driehoek altijd 180 graden is. Maar je kunt ook meetkunde bedrijven op andere objecten, op een bol bijvoorbeeld.

Als je met een vliegtuig van Amsterdam naar de Verenigde Staten vliegt, vlieg je vaak over Groenland. Op een landkaart ziet die route eruit alsof je in een rare bocht gevlogen bent, terwijl het toch de kortste route is. Dat komt doordat de aarde een bol is, en een boloppervlak is gekromd.

In het platte vlak zijn rechte lijnen de kortste routes. Om bolmeetkunde te kunnen doen, moeten we weten wat rechte lijnen zijn op een bol. De handigste definitie die we kunnen kiezen is gewoon dezelfde als die in het platte vlak: een rechte lijn tussen twee punten op een bol is de kortste afstand tussen die twee punten.

Op een bol blijken deze kortste afstanden stukken te zijn van zogenaamde grote cirkels. Dat zijn de grootst mogelijke cirkels die over een boloppervlak lopen. Als je een bol in tweeën zou snijden door een grote cirkel, dan snijd je precies door het middelpunt van de bol, en de twee stukken van de bol die je overhoudt zijn even groot. De evenaar is een grote cirkel op de aarde bijvoorbeeld, en de meridianen zijn halve grote cirkels.

In een plat vlak heb je altijd maar één kortste afstand tussen twee punten, maar op een bol is dat niet zo: de noord- en zuidpool worden verbonden door ontelbaar veel meridianen, die allemaal precies even lang zijn. Maar dat geeft niet, het geeft alleen aan dat bolmeetkunde echt anders is.

De definitie van een boldriehoek ligt nu voor de hand: drie punten die verbonden zijn door lijnstukken. Een voorbeeld van zo’n boldriehoek op aarde krijg je door de noordpool en twee verschillende punten op de evenaar te nemen, en de lijnen daartussen te trekken. Die lijnen zijn dan dus een stukje evenaar en twee halve meridianen.

Wat is in dit geval de som van de hoeken? De hoek tussen de evenaar en een meridiaan is 90 graden. In onze driehoek zitten dus al twee hoeken van 90 graden, en dan komt de hoek die de twee meridianen bij de noordpool vormen daar nog bij. De som is dus in ieder geval groter dan 180 graden! En dat geldt voor alle driehoeken op een bol. Teken maar eens wat driehoeken op een strandbal of ballon, als je het niet gelooft.

(Dit mooie plaatje komt van wikipedia.)

Onze aarde is zo groot, dat we van de kromming weinig merken en dat een driehoek die je in het zand tekent eigenlijk niet verschilt van die in een plat vlak. En dat is een ander bijzonder kenmerk van boldriehoeken: hoe groter de driehoek is ten opzichte van de hele bol, hoe groter het verschil is tussen de som van de hoeken en 180 graden! Iets om over na te denken als je deze zomer weer een strandbal op moet blazen.

Deze column verscheen in de Volkskrant van 20 juni 2009.

Toen ik het glunderende gezicht van Geert Wilders zag na de Europese Verkiezingen, vroeg ik me voorzichtig af of democratie nu echt het beste systeem is. Het is namelijk helemaal niet zo makkelijk om de voorkeuren van de kiezers goed te combineren.

Vorige week mocht onze wiskundeclub nog stemmen over het jaarlijkse uitje. Iedereen kon kiezen uit optie A, B of C. Optie A was een workshop fractalkoekjes bakken, B een crypto-speurtocht en C een dagje naar het rekenlinialenmuseum. De wiskundeclub bestaat uit drie groepen: 20 wiskundemeisjes, 19 nerds en 16 professoren. Binnen elk groep waren de leden het eens over hun favoriete uitje. Alle meisjes kozen A boven B en B boven C. De nerds wilden het liefste B, daarna C en het minst graag A. De professoren hadden als volgorde C, A, B. Wat was nu het beste uitje?

Een wiskundemeisje stelde voor om domweg de meeste stemmen te laten gelden. Zo won uitje A met 20 stemmen. “Hoho”, protesteerde een van de professoren, “Er zijn 35 mensen die liever optie C dan A hebben, dit lijkt me niet zo eerlijk.” Een nerd opperde om met een puntensysteem te werken: iedereen gaf zijn eerste keus drie punten, de tweede keus twee en de derde keus één punt. Na wat snel rekenwerk concludeerde hij triomfantelijk dat optie B won. Weer begon een professor te mopperen: “Dat kan niet kloppen, zowel de wiskundemeisjes als de professoren hebben liever A dan B.” Uiteindelijk verzon deze professor nóg een ander stemsysteem, waarbij optie C won. En uiteindelijk gingen de wiskundemeisjes en nerds licht morrend mee naar het rekenlinialenmuseum.

Wiskundigen denken al lang na over stemsystemen. In 1948, tijdens de Koude Oorlog, kreeg Kenneth Arrow de opdracht om een systeem te maken dat de individuele voorkeuren in de Sovjet-Unie combineerde. Arrow begon met een aantal redelijk klinkende eisen: er mag bijvoorbeeld geen dictator zijn - er is niet één persoon die de uitkomst bepaalt. En als een kiezer van gedachten verandert en een optie hoger plaatst op zijn voorkeurslijst, dan mag die optie daardoor in de einduitslag niet lager eindigen. En zo waren er meer eisen.

Maar wat Arrow ook probeerde, het lukte hem niet om een systeem te verzinnen dat aan die paar zo vanzelfsprekend lijkende eisen voldeed. Na een paar dagen ploeteren kwam hij op het idee om het omgekeerde te bewijzen: als er minstens twee mensen en minstens drie keuze-opties zijn, dan bestaat er geen stemsysteem dat aan alle basiseisen voldoet. Leuk voor Arrow, hij promoveerde op dit werk en kreeg in 1971 de Nobelprijs voor Economie. Minder leuk voor de rest van de wereld, want hoe moeten we dan stemmen?

Er zijn een boel manieren, met kiesmannen of met rondes. En elke methode heeft zijn eigen nadelen en imperfecties. Het blijft een raar idee dat verschillende stemsystemen andere winnaars opleveren – bij precies dezelfde voorkeuren van kiezers. Voor politici geeft het wel een mooie smoes. Als hun partij zetels verliest dan kunnen ze altijd nog zeggen dat het aan het systeem ligt.

Deze column verscheen in de Volkskrant van 6 juni 2009.

Heeft u ook pas het boek "De eenzaamheid van de priemgetallen" van de Italiaanse debutant Paolo Giordano gelezen? Een boek met zo'n titel kon ik natuurlijk niet laten liggen. En hoewel ik het zeker goed geschreven vond, had ik na een tijdje wel genoeg van de problematische karakters. Nu wat aandacht voor de priemgetallen zelf dus, want die zijn ook heel interessant.

Een priemgetal is een getal dat geen andere delers heeft dan 1 en zichzelf. Per afspraak is het getal 1 geen priemgetal. De eerste priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. En zijn die priemgetallen echt zo eenzaam? Er bestaan oneindig veel priemgetallen, dus in die zin niet. Maar ze staan haast nooit naast elkaar in de rij van gehele getallen: 2 en 3 staan naast elkaar en zijn allebei priem, maar daarna schelen priemgetallen altijd minstens twee (want als twee getallen maar één schelen, is altijd één van de twee deelbaar door 2). En naarmate de getallen groter worden, worden de priemgetallen steeds zeldzamer: in de buurt van het getal 10.000 is ongeveer een op de negen getallen priem, en rond de 1.000.000.000 een op de 21.

Ook in de natuur komen priemgetallen voor. Een bekend voorbeeld is de levenscyclus van een bepaald insect, de cicade. Cicaden zijn een beetje rare beestjes: afhankelijk van de soort leven ze eerst dertien of zeventien jaar onder de grond, waar ze leven van sappen uit boomwortels, en daarna komen ze met z'n allen tegelijk naar boven om zich voort te planten. Binnen een maand gaan ze allemaal dood. Maar de larven laten zich weer uit de boomtakken naar beneden vallen, en kruipen dan weer voor dertien of zeventien jaar de grond in, enzovoort.

Wetenschappers vragen zich natuurlijk af: is het toeval dat de lengtes van deze cycli priemgetallen zijn, of zit daar een evolutionair voordeel aan vast? Bewijzen kun je het moeilijk, maar de hypothese is geopperd dat een priemgetal als cyclus handig is om natuurlijke vijanden te ontlopen. Als je vijand er elk jaar is, maakt het niet uit wanneer je als cicade bovenkomt. Maar mocht een natuurlijke vijand ook periodiek verschijnen, of met een bepaalde periode steeds meer of minder talrijk zijn, dan wil je als cicade liever niet bovenkomen op het moment dat het aantal vijanden ook piekt. Als je als cicade een twaalfjarige cyclus zou hebben, dan zou je vijanden die er eens per 1, 2, 3, 4, 6 of 12 jaar zijn elke keer als je bovenkomt tegen kunnen komen. Als je een dertienjarige cyclus hebt, kun je alleen vijanden met een cyclus van één of dertien jaar elke keer tegenkomen. En een vijand met een cyclus van zes jaar kom je dan maar eens per 6 × 13 = 78 jaar tegen.

Cicaden richten overigens nauwelijks schade aan. Wel zijn ze imposant: op een vierkante kilometer kunnen wel een half miljoen beestjes uit de grond komen! Priemgetallen mogen misschien eenzaam zijn, cicaden zijn dat zeker niet.