Wiskundemeisjes

Spelletjes

Deze column verscheen in de Volkskrant op 11 april 2009.

Veel wiskundigen die ik ken houden van spelletjes. Ik speel dan ook regelmatig een avondje Kolonisten van Catan of Carcassonne met mijn collega’s. En als je een spel speelt, wil je natuurlijk het liefst winnen. Wiskundigen hebben daarom een heleboel spellen bestudeerd om een optimale strategie te vinden.

Bij veel spelletjes is niet van tevoren met zekerheid te zeggen wie er zal winnen, zelfs niet als je aanneemt dat alle spelers optimaal slim spelen. In poker bijvoorbeeld zit altijd een kanselement. Je kunt uitrekenen dat de kans op een paartje azen stukken groter is dan de kans op een royal flush, maar de garantie dat een van de spelers met een bepaalde strategie zeker zal winnen is er niet. Hetzelfde geldt voor Kolonisten van Catan en Carcassonne.

Andere spellen, bijvoorbeeld schaken en boter-kaas-en-eieren, hebben geen kanselement. Je bent in die spellen niet afhankelijk van willekeurig getrokken kaarten of van wat je gooit met een dobbelsteen. Voor spellen zonder kanselement bestaat er soms een winnende strategie voor een van de spelers. Dat wil zeggen dat je altijd wint als je deze strategie volgt - wat de andere speler ook doet.

Een voorbeeld van een spelletje met een winnende strategie is het volgende luciferspel voor twee spelers. Er liggen 21 lucifers op tafel. Iedere speler neemt als hij aan de beurt is één, twee of drie lucifers weg. Wie de laatste lucifer moet pakken, verliest. Wat is het beste om te doen? En maakt het uit wie er begint?

Stel dat u het spel tegen mij speelt. Uit beleefdheid laat ik u beginnen, en u pakt twee lucifers weg. Dan neem ik er ook twee. Vervolgens pakt u er eentje, dan neem ik er drie. Zo gaan we een paar beurten door, en uiteindelijk ligt er na mijn vijfde beurt nog maar één lucifer op tafel, zodat u verliest. Hoe kan dat?

Het feit dat ik u laat beginnen zou al een alarmbel moeten laten rinkelen: er is in dit spel een winnende strategie voor de tweede speler. Wat ik als tweede speler doe is namelijk het volgende. Als u één lucifer neemt, neem ik er drie. Als u er twee neemt, pak ik er ook twee. En als u er drie neemt, neem ik er eentje. In totaal verdwijnen er dus elke keer wanneer we allebei aan de beurt geweest zijn vier lucifers. Na vijf beurten ieder zijn er dus twintig lucifers weg, en is er nog één over!

Voor schaken is zo’n winnende strategie nog niet gevonden, dat is vreselijk gecompliceerd. Spellen zonder kanselement hoeven ook helemaal geen winnende strategie te hebben. Boter-kaas-en-eieren bijvoorbeeld eindigt altijd in remise als allebei de spelers optimaal slim spelen.

Natuurlijk maakt het bekend zijn van een winnende strategie een spel meteen stukken minder leuk: je weet van tevoren al precies wat er zal gaan gebeuren en wie er gaat winnen, en dan is de lol er wel af. Maar als uw familieleden de krant vandaag nog niet gelezen hebben, maakt u een goede kans met het luciferspel!