Wiskundemeisjes

Op dit moment zijn de wiskundemeisjes allebei in het buitenland. Jeanine is zondag vertrokken naar Iran en ik ben voor de tweede week op de zomerschool Combinatorics, Automata and Number Theory (CANT voor vrienden) in Luik.

Gisteren grapte een spreker dat deze conferentie eigenlijk CAN'T moet heten, omdat er nog zoveel dingen zijn die we níet kunnen. En inderdaad: het lijkt hier wel een open problemen galore. Jeffrey Shallit speelde vorige week voor Erdös door 20 of 50 euro uit te loven voor verschillende open problemen die hij interessant vindt. Ook de andere sprekers noemen stuk voor stuk interessante onopgeloste vragen uit hun vakgebied. De meeste problemen zijn vrij eenvoudig uit te leggen. Vandaag kwam bijvoorbeeld de vraag voorbij of in de oneindig veel decimalen van pi ook oneindig vaak het getal 1 voorkomt. Wie het weet mag het zeggen.

Mijn favoriete open probleem van de vorige week werd genoemd door Juhani Karhumäki. Hij noemde het Skolem's probleem. Het is alsvolgt te formuleren:

Gegeven een vierkante matrix A met daarin gehele getallen (al dan niet negatief). Bepaal of er een positief getal n bestaat zodat in de rechterbovenhoek van de matrix Aⁿ een nul staat.

Natuurlijk wordt deze vraag pas interessant als er in de matrix negatieve getallen voorkomen. Voor matrices groter dan 5 bij 5 is onbekend of dit probleem beslisbaar is. Voor de echte liefhebbers is een bewijs dat het probleem voor kleinere matrices beslisbaar is te vinden in het artikel Skolem's Problem - On the Border Between Decidability and Indecidability (pdf).

(Ionica)

(Dit artikel schreef ik twee jaar geleden voor MaCHazine, het blad van mijn Delftse studievereniging. Binnenkort verschijnt een vervolg geschreven door Jeanine en mij, ook dat zullen we ter zijner tijd op de website plaatsen.)
Leuke boeken voor Wisko's

Natuurlijk hebben we allemaal prachtige klassiekers als Calculus en Linear Algebra and its applications in onze kast staan. Maar er zijn meer boeken die je als wisko eigenlijk gelezen moet hebben. Hierbij een incompleet en volslagen subjectief overzicht van wiskundige literatuur.
Fermat's Last theorem - Simon Singh

Uncle Petros and Goldbach's Conjecture - Apostolos K. Doxiades

Een heuse roman mét wiskundige puzzels. Oom Petros is het zwarte schaap van zijn familie, omdat hij zijn intellect verspilt aan het wanhopig zoeken naar een bewijs voor het vermoeden van Goldbach. (Elk even getal groter dan vier is de som van twee priemgetallen.) Doxiades kan niet alleen goed en spannend schrijven, hij begrijpt ook nog de schoonheid van de wiskunde. Ook tof: hij vertaalde zelf zijn Griekse roman naar het Engels.

The Curious Incident of the Dog in the Night-time - Mark Haddon

Een autistische jongen van 15 gaat als een heuse detective op onderzoek uit nadat hij een dode hond op straat vindt. Hij mist daarbij alles wat maar enigszins met emoties te maken heeft en is geobsedeerd door wiskunde. Zijn stelselmatig te ver doorgedreven logica is vaak aandoenlijk. Let bij het lezen ook op de mooie nummering van de hoofdstukken. Nog een extra bonus: in de appendix staat een uitgewerkt wiskundig bewijs.

The man who loved only numbers - Paul Hoffman

Dit is de biografie van Erdös. Schaam je als je nog nooit van Erdös gehoord hebt. Het boek is wat chaotisch opgezet en sommige stukken zijn echt doodsaai. Maar de legende rond Erdös maakt het toch de moeite van het lezen waard. Met zijn Erdös-getallen is deze man voor de wiskunde wat Kevin Bacon is voor de filmindustrie. Misschien niet de beste, maar wel iemand met een ongelooflijk hoge productie. En met een erg vreemde levensvisie, alles draaide voor hem Erdös om wiskunde. Zijn bekendste uitspraak: "A mathematician is a device for turning coffee into theorems."

The French Mathematician - Tom Petsinis

Recent verschenen biografie van Galois. Nadat je Fermat's Last Theorem hebt gelezen, wil je natuurlijk meer over deze man weten. Dit alom bejubelde boek beschrijft zijn leven en persoonlijkheid. Erg sympathiek komt hij niet over. Eerlijk gezegd heb ik het boek niet eens uitgelezen. Iemand met meer geduld moet het zeker maar eens proberen. Wel leuk vond ik, dat ik het idee kreeg dat Galois op een gegeven moment dacht "Als ik dat niet kan, dan is het vast onmogelijk." Als dat geen goede attitude is...

De stelling van de Papegaai - Denis Guedj

Na de hype rond De wereld van Sofie verscheen een hele reeks wannabees. Zoals De reis van Theo over theologie en De Stelling van de papegaai over wiskunde. Allebei in dezelfde mooie gebonden uitvoering, maar allebei niet echt goed geschreven. Er zit veel wiskunde in het boek, maar het verhaal zwalkt alle kanten op. Het was in de reeks trouwens leuker geweest om de wiskundevariant De les van Lise te noemen en het dan alleen over analyse te hebben.

Wiskundige moeders – Sue Woolfe

Nog zo’n miskleun is Wiskundige moeders van Sue Woolfe, over drie generaties wiskundige vrouwen. De schrijfster begrijpt overduidelijk niks van wiskunde en de wiskundige wereld. Op een congres maken de vrouwen zich alleen druk over welke jurk ze aan moeten trekken en de mannen roepen tijdens een voordracht van een vrouw dat ze haar borsten willen zien. Tuurlijk.

Surely You're Joking, Mr Feynman! – Richard Feynman

Richard Feyman was een natuurkundige, maar bovenal een onovertroffen bèta-held. In Surely You're Joking, Mr Feynman! staan briljante verhalen over alle dingen die hij naast zijn werk deed. En dat loopt uiteen van kluizen kraken tot onder hypnose gaan, van meisjes naakt tekenen tot hallucinaties oproepen in een tank met water. Niet voor niets is de ondertitel dan ook "Adventures of a Curious Character". Hij beschrijft al deze dingen op een prachtige rationele manier. Maanden nadat ik dit boek las, dacht ik echt in bijna elk gesprek "Ohja, Feynman schreef hier ook zo iets grappigs en intelligents over." Alvast een fijne quote van Feynman: "Physics is like sex. Sure, it may give some practical results, but that's not why we do it."
(Ionica)

Ook aandacht voor wiskunde in The Simpsons! In de aflevering "Girls just want to have sums", die op 30 april te zien was in Amerika, zegt de directeur van de school (in navolging van Lawrence Summers, de president van Harvard): "It's no wonder you got a B in math. You are a girl."

De directeur wordt ontslagen en om meisjes beter les te kunnen geven gaat het schoolsysteem op de schop. Jongens en meisjes krijgen voortaan gescheiden onderwijs. Maar Lisa merkt dat ze eigenlijk helemaal geen wiskunde meer leert en neemt een maatregel à la Sophie Germain: ze verkleedt zich als een jongetje om wiskunde te leren. Als dat geen wiskundemeisje is!

Helaas is deze aflevering nog lang niet te zien in Nederland. Ik heb hem dus ook nog niet gezien, maar ik ben erg benieuwd! Je kunt hier nog veel meer lezen over wiskunde in The Simpsons.

(Jeanine)

Vorig weekend was ik met mijn moeder in Berlijn, waar ik weinig wiskundige acitiviteiten heb ontplooid. Maar op vrijdag aten we in dit geweldige restaurant: de Pi-bar! Ik vroeg nog aan de serveerster of ze ook wist waar de naam vandaan kwam, maar zij keek me toen een beetje bang aan. Desondanks kan ik dit restaurant van harte aanbevelen, ik at voor minder dan 10 euro grote paddestoelen gevuld met spinazie, garnalen en gorgonzola. Vooraf kregen we (gratis) turks brood gevuld met een soort tapenade en salade.

Het adres van de Pi-bar is: Gabriel-Max-Strasse 17 in Berlijn.
(Ionica)

Jaja, wat een leuke tijd en datum. Tjonge. Dat maak je maar één keer mee. Nou nou.

Wiskundig gezien is dit natuurlijk helemaal niet zo spannend, maar we werden door zo veel mensen getipt dat we er toch maar even bij stil staan. In Amerika konden ze trouwens al op 5 april genieten van dit tijdstip, zie ook hier.

(Ionica & Jeanine)

Ik vertel regelmatig wiskundige grappen aan mijn niet-wiskundige vrienden en meestal lachen ze beleefd. Even later vragen ze voorzichtig of ik de grap zelf wel leuk vond. Simon Singh loofde vorig jaar een prijs uit voor de beste wiskundige grap. De top vijftien staat op zijn homepagina. Helaas zijn dit allemaal grappen die je eigenlijk alleen aan andere beta's kan vertellen. De winnende mop is zelfs alleen grappig als je weet hoe integralen werken. Tegen beter weten in vertel ik hier een andere wiskundige grap, waarvan ik denk dat hij echt leuk is - voor iedereen!

Een wiskunde professor ziet in de stad een van zijn oud-studenten in een Italiaans maatpak uit een dikke BMW stappen. Hij loopt naar de man toe en vraagt wat de man intussen doet: "Niet om het een of ander, maar je was een van de slechtste studenten die ik ooit gehad heb, hoe heb je het voor elkaar gekregen om nu zo ontzettend rijk te worden?" De man antwoordt dat het hem zelf ook verbaast: "Ik koop prullen in voor 1 euro en die verkoop ik ergens anders voor 6 euro. Ik maak maar 5% winst, maar het gaat toch heel aardig..."

(Ionica)

Vandaag is de honderdste geboortedag van Kurt Gödel (1906 - 1978). Ik ga vandaag niets over zijn leven schrijven, want informatie daarover kun je bijvoorbeeld lezen in zijn In Memoriam uit The Times of een moderner artikel van Christian Jongeneel.

Gödel is vooral bekend om zijn onvolledigheidsstelling. Die stelling heeft betrekking op het logische bouwsel van axioma's en stellingen dat de wiskunde is. De wiskunde is gebaseerd op axioma's, de fundamenten van de wiskunde. De axioma's zijn beweringen die je aanneemt. Door middel van de regels van de logica kun je uit die axioma's stellingen afleiden. Een stelling is dus een bewering waarvoor een bewijs, zo'n logische afleiding, is gevonden. De onvolledigheidsstelling is dus eigenlijk een meta-stelling: het is een wiskundige stelling die tegelijk iets zegt over de wiskunde zelf als formele taal.

De belangrijkste eis die wiskundigen stellen aan dit formele systeem is dat het consistent moet zijn. Dat houdt in dat in zo'n systeem alleen ware beweringen bewezen mogen kunnen worden, oftewel: als een bewering niet waar is, mag hij niet bewijsbaar zijn.

De wiskundigen uit het begin van de twintigste eeuw, bijvoorbeeld Russell en Hilbert, probeerden de hele wiskunde op die manier om te toveren tot een formele taal. Hun ultieme hoop was dat het mogelijk zou zijn om in zo'n consistent systeem alle ware beweringen ook daadwerkelijk te bewijzen.

Deze hoop werd door Gödel in 1931 de grond in geboord. Hij bewees toen namelijk zijn onvolledigheidsstelling: als je een voldoende sterk, consistent formeel systeem hebt, met de regels van de logica, dan bestaan er altijd beweringen die wel waar zijn, maar niet binnen dit systeem te bewijzen zijn! ("Voldoende sterk" betekent hier dat het systeem minstens de rekenkunde moet omvatten, wat voor een wiskundig systeem natuurlijk niet teveel gevraagd is.)

Het idee van het bewijs is gebaseerd op zelfverwijzing. Gödel is er op een slimme manier in geslaagd om binnen het systeem de volgende bewering te formuleren: "Deze bewering is onbewijsbaar". Nu zijn er natuurlijk twee mogelijkheden. De eerste mogelijkheid is dat de bewering onwaar is. Maar dan is de bewering niet onbewijsbaar, dus bewijsbaar. Dan hebben we een bewering gevonden die onwaar is en toch bewijsbaar! Maar dat is in tegenspraak met de consistentie van ons formele systeem. Deze mogelijkheid valt dus af.

De enige andere mogelijkheid is dat de bewering waar is. Maar nu volgt natuurlijk dat de bewering onbewijsbaar is. Het systeem bevat dus minstens één bewering die waar is, maar niet bewijsbaar. Omdat je dit in elk dergelijk formeel systeem kunt doen, is bewezen dat al die systemen onvolledig zijn.

Voor de wiskundige praktijk heeft de onvolledigheidsstelling veel minder gevolgen dan je misschien zou verwachten. Er is nog nooit een dergelijke zin gevonden die niet speciaal als voorbeeld geconstrueerd is met behulp van die zelfverwijzing. Dat komt natuurlijk ook omdat het in principe niet zo makkelijk is om van een bewering wel te weten dat ze waar is, terwijl er geen bewijs bestaat...

(Jeanine)