Wiskundemeisjes
Internetbureau Rotterdam 
Op 10 april schreven we een stukje over De Bankgiroloterij. De Reclame Code Commissie heeft echter ook niet stilgezeten: toen de Bankgiroloterij de misleidende reclames gewoon bleef uitzenden heeft ze besloten de uitspraak openbaar te maken en te verspreiden via een persbericht:
Commercials BankGiro Loterij misleidend
De Reclame Code Commissie heeft de commercials van de BankGiro Loterij misleidend bevonden. Deze geven een misleidende voorstelling van de kans dat men een prijs wint.
Zowel in de radio- als in de televisiecommercial wordt gezegd dat “gemiddeld 1 op de 5” wint, “dus van elke 5 deelnemers wint er altijd 1”. De conclusie dat van elke 5 deelnemers er altijd één wint is onjuist, waardoor de uitingen een onjuiste, te gunstige voorstelling geven van de winkans.
Omdat de Commissie de BankGiro Loterij al eerder heeft aanbevolen zich niet op onjuiste wijze uit te laten over de winkans heeft de Commissie besloten deze uitspraak openbaar te maken.
Kenmerk: Dossiers 06.0066 A en 06.0066 B d.d. 13 april 2006
(Jeanine)
Met Guido Schmeits schreef ik deze week voor Kennislink een artikel over de stelling van Desargues. Of eigenlijk schreven we een artikel over Marleen Kooiman, een zeventienjarige scholiere die in haar profielwerkstuk deze stelling generaliseerde. Heel terecht kreeg ze van de UvA een prijs voor het beste werkstuk (hoewel de eerlijkheid me gebiedt toe te geven dat ik de andere genomineerde werkstukken niet heb gezien, maar dit lijkt me lastig te overtreffen.)
Toen ik het eerste bericht over Marleen's werk las, vroeg ik me twee dingen af:
- Wat is in godsnaam die stelling van Desargues?
- Waarom mocht ik geen profielwerkstuk maken op de middelbare school? Het moet toch fantastisch zijn om als scholier in een vak te duiken dat je echt leuk vindt, te praten met mensen op de universiteit en als klap op de vuurpijl iets nieuws te verzinnen? Ik moest in mijn eindexamenjaar maandenlang allerlei vreselijke experimenten doen bij scheikunde, plantjes kweken bij biologie en veren ijken bij natuurkunde. Ik had veel liever iets aan wiskunde gedaan. Meestal ben ik niet zo bezig met onderwijs, maar bij deze zeg ik: "Hoera voor het profielwerkstuk!".
Laat ik ook vraag 1. beantwoorden voor de lezers die net als ik geen idee hadden wat de stelling van Desargues eigenlijk is. De tekst hieronder komt letterlijk uit het eerder genoemde Kennislink artikel, dus je kan ook stoppen met lezen en op de link hierboven klikken. Voor wie dat niet doet, de tekst hieronder komt van mijn co-auteur Guido. Eventuele complimentjes zal ik doorsturen naar hem!
Girard Desargues
Girard Desargues (1591 – 1661) was een Franse wiskundige en architect uit Lyon. Nog geen halve eeuw voor zijn geboorte was in Frankrijk de renaissance begonnen. Je hoeft maar aan Leonardo da Vinci te denken om te weten dat wetenschap en kunst goed samengingen in die tijd. Dat gold ook voor Desargues. Hij hield zich bezig met perspectief, iets wat de renaissancekunstenaars steeds beter onder de knie hadden gekregen. In 1648 verscheen zijn beroemde stelling in een boek van zijn vriend Abraham Bosse, een kunstenaar. Deze stelling gaat over driehoeken en perspectief.
De stelling van Desargues
Als een goed wiskundige vereenvoudigde Desargues de perspectiefproblemen van de kunstenaars net zolang, totdat hij alleen de essentie overhield. De kathedraal van Lyon was voor hem hetzelfde als een driehoek in het platte vlak.
Figuur 1. Behalve een driehoek zie je in figuur 1 ook rechts de waarnemer (de schilder, beeldhouwer, graveur), die vanaf de zijkant naar de platte driehoek ABC kijkt. Vanuit het perspectief van deze waarnemer ligt hoekpunt B boven hoekpunt C, en hoekpunt C boven hoekpunt A. Wat de waarnemer ziet, kan hij op een vel papier vastleggen. De blauwe punten zijn de projecties van de hoekpunten A, B en C op dat vel papier.
Figuur 2. De groene driehoek abc in figuur 2 levert voor deze waarnemer precies dezelfde projectie op als de rode driehoek ABC. Je zegt dat driehoek ABC en driehoek abc ‘in puntperspectief zijn’ ten opzichte van het punt O, het oog van de waarnemer.
Figuur 3. Desargues kwam nu op het idee om de zijden van beide driehoeken te verlengen. Vervolgens tekende hij het snijpunt van de verlengde zijden AB en ab, van de verlengde zijden BC en bc, en van de verlengde zijden AC en ac. Desargues beweerde en bewees dat deze snijpunten alle drie op één rechte lijn liggen, de paarse lijn in figuur 3. Het omgekeerde is ook waar: als de snijpunten op één lijn liggen, dan zijn de driehoeken in puntperspectief. En dit is precies de stelling van Desargues. Het bewijs is hier te vinden.
(Ionica)
Vandaag wordt Andrew Wiles 53 jaar. Hij is een van de beroemdste levende wiskundigen, omdat hij in 1994 een eeuwenoud probleem uit de getaltheorie oploste: hij bewees de laatste stelling van Fermat. "Stelling" is hier een groot woord: in de wiskunde is een stelling een bewering waar een bewijs voor bestaat, terwijl Pierre de Fermat (1601 - 1665) zijn bewering in de kantlijn van een boek gekriebeld had met als opmerking erbij: Ik heb hiervoor een waarlijk prachtig bewijs gevonden, maar helaas is de kantlijn te klein om het te bevatten.
Fermats bewering zegt het volgende: de vergelijking xn + yn = zn heeft geen oplossingen in gehele getallen x, y en z die niet gelijk aan nul zijn als n groter dan 2 is. Als n gelijk aan 2 is zijn er wel oplossingen, er zijn er zelfs oneindig veel, en waarschijnlijk heb je er wel eens een gezien: alle drietallen gehele getallen die de zijden vormen van een rechthoekige driehoek voldoen dan (denk aan de stelling van Pythagoras).
Sinds die tijd hebben veel, heel veel, wiskundigen geprobeerd Fermats bewering te bewijzen, maar het lukte niemand. Speciale gevallen waren al een hele tijd afgehandeld. Dat er geen oplossingen zijn als n=4 had Fermat zelf al bewezen, het geval n=3 werd afgehandeld door Euler. Ook andere speciale gevallen werden in de loop der tijd bewezen, maar een algemeen bewijs bestond nog niet.
Andrew Wiles verzon een boel nieuwe wiskunde in zijn bewijs. In zijn bewijs wordt de getaltheorie gekoppeld aan de algebraïsche meetkunde. Hij gebruikte een bewijs uit het ongerijmde: hij nam aan dat de Fermatvergelijking wel een oplossing had, en leidde daaruit als volgt een tegenspraak af. Gerhard Frey had in 1984 laten zien dat uit een hypothetische oplossing van de Fermatvergelijking een elliptische kromme (de Freykromme) gemaakt kan worden. Kenneth Ribet bewees dat deze kromme niet modulair kan zijn. De belangrijke stelling die Wiles vervolgens bewees, is dat alle elliptische krommen modulair zijn (een speciaal geval van het vermoeden van Shimura-Taniyama), met als gevolg dat de Freykromme niet kan bestaan, en dus de hypothetische oplossing van de Fermatvergelijking ook niet.
Aangezien de laatste stelling van Fermat een heel beroemd open probleem was waar eigenlijk niemand nog serieus aan durfde te beginnen, vertelde Wiles niemand wat hij aan het doen was, behalve zijn vrouw. Na zeven jaar hard werken dacht hij dat hij het bewijs gevonden had. Na zijn presentatie werd echter een fout gevonden. Gelukkig werd, met wat hulp van andere mensen, het bewijs binnen een jaar gerepareerd, zodat Wiles geschiedenis geschreven heeft!
Leestip: Het laatste raadsel van Fermat (Fermat's last theorem) van Simon Singh, een erg goed en duidelijk boek waar het enthousiasme voor de wiskunde van af straalt!
(Jeanine)
Veel wiskundigen ergeren zich aan het slordige, weinig precieze taalgebruik in het dagelijks leven, bijvoorbeeld in reclames. In sommige reclames worden zelfs onwaarheden verteld! Een voorbeeld hiervan is de reclame van de Bankgiroloterij. Hierin werd de argeloze luisteraar of kijker beloofd:
Van iedere 5 deelnemers wint er altijd 1 een prijs. Gegarandeerd!
Als je even goed nadenkt, zie je dat dat betekent dat er maar 4 deelnemers kunnen zijn die geen prijs winnen! Als er namelijk 5 mensen zouden zijn die meedoen en geen prijs winnen, dan zijn dat 5 deelnemers waarvan er niet 1 een prijs wint. Twee wiskundigen, Jan Brandts en Reinier Bröker, hebben onafhankelijk van elkaar een klacht ingediend bij de Reclame Code Commissie. Jan Brandts schreef ons vorige week:
Wat ik verder nog niemand heb verteld is dat de Bankgiroloterij daarna hun reclame hebben aangepast door eerst te melden dat "gemiddeld 1 op de 5 wint" (wat ik geen foute uitspaak vind) om vervolgens toch ook nog hun eerdere foute uitspraak te herhalen!
Misschien denken ze wel dat als je eerst iets waars zegt, de onwaarheid van de daaropvolgende uitspraak gecompenseerd wordt of zo, geen idee. Hoe dan ook, ik heb toen weer bezwaar gemaakt, en ben twee weken geleden wederom in het gelijk gesteld. De Reclame Code Commissie heeft echter alleen een "adviserende stem" en kunnen reclames niet verbieden. Dus in feite zegt het allemaal niets.
En Reinier schreef bijvoorbeeld in zijn brief:
Volgens de Bankgiroloterij doen er maandelijks ongeveer 1 miljoen mensen mee aan hun loterij. De reclame zegt nu letterlijk dat er bij 1 miljoen deelnemers 999.996 winnaars zijn. Dit is uiteraard onjuist.
De reclame-uiting van de Bankgiroloterij lijkt mij misleidend.
Dus pas goed op! Als je meedoet met de Bankgiroloterij en je vrienden ook, bestaat de kans dat jullie allemaal niets winnen, ook als je met z'n vijven bent!
(Jeanine)
We kregen wat kritiek op de naam van onze website. Een professor mopperde dat "Wiskundemeisjes" te tuttig was. Een andere wiskundige vond dat we ons hadden moeten profileren als "math babes". Maar Jeanine en ik hebben helemaal geen zin om in een bikini wiskunde te presenteren.
Voor mannen die toch op zoek zijn naar "math babes" biedt de website How To Do Girls soelaas. In twaalf afleveringen Bikini calculus leggen Jaime Lynn en Paige uit hoe je integralen berekent, wat de kettingregel is en nog veel meer. Om dat allemaal nog leuker te maken, doen ze dat in een bikini. Op de website of Google video zijn twee filmpjes te downloaden. Zoeken op "bikini calculus" en genieten maar!
Het onderstaande plaatje laat bijvoorbeeld zien hoe je de oppervlakte onder een grafiek benadert met rechthoeken. Jamie moedigt de kijker aan om steeds kleinere rechthoeken te gebruiken: "You don't want to miss any of this, do you?"
Jamie Lynn is een ingehuurd playboy-model, maar Paige (het linkermeisje op de bovenste foto) lijkt ook echt iets te snappen van wat ze vertelt. Volgens haar biografie heeft ze een master in Nuclear Engineering van het MIT en is ze nu bezig met een PhD in Radiology. Zou ze daar ook college geven? En zoja, hoeveel studenten zouden na afloop verzuchten dat de film toch beter was?
(Ionica)
Wiskundigen houden van vergelijkingen. Ik hoorde de afgelopen weken twee aardige.
Vorige week vertelde Jaap Top op het Nederlands Mathematisch Congres over Jean-Pierre Serre, de eerste winnaar van de Abelprijs. Op een congres op Texel beweerde Serre eens dat een zwembad eigenlijk net zo iets is als een kop koffie. Iemand protesteerde (dat was waarschijnlijk geen topoloog) dat er wel degelijk wezenlijke verschillen waren. Bij koffie is het bijvoorbeeld heel makkelijk om bij het roeren de koffie over de rand van het kopje te laten klotsen. Hoe zat dat dan bij een zwembad?
Serre kreeg een groepje wiskundigen zo gek om in het zwembad van hun hotel samen de beweging van een koffielepeltje na te bootsen. En jahoor, het water klotste vrij snel over de rand. De hotelmanager heeft nu waarschijnlijk wiskundigen op de zwarte lijst gezet tussen voetbalhooligans en andere vandalen.
Een douchestraal is net een complex getal
Johan Konter vertelde op een weekend van Vierkant voor wiskunde dat een douchestraal eigenlijk net een complex getal is. Laten we (voor de mensen die niet van complexe getallen houden) beginnen met de douchestraal. Er zijn twee manieren om dezelfde soort douchestraal te krijgen:
- (Old school) Je hebt een knop voor warm water en een knop voor koud water en je draait aan deze knoppen tot je de goede temperatuur en straalkracht te pakken hebt.
- (Hipsters) Je hebt een thermostaatkraan en je stelt met een knop de temperatuur in en met een andere knop de straalkracht.
En dan nu de complexe getallen. Op de old school manier bepaal je een complex getal door zowel zijn reële als zijn imaginaire deel te geven. Echte hipsters maken echter hun complexe getallen door zowel de straal als de hoek te geven. Zie ook het mooie plaatje hierboven. Liefhebbers kunnen de details nu verder zelf invullen...
Sophie Germain (1776 - 1831) werd op 1 april 1776 geboren in Parijs, als dochter van een rijke koopman. Meisjes van haar stand werden niet geacht wiskunde te studeren, maar wel te kunnen meepraten in conversaties over wiskunde. Daarom werden er boeken geschreven waarin wiskunde speciaal voor dames toegankelijk gemaakt werd, met titels als Newtonianismo per le Dame, waarin Newtons theorieën aan de hand van aansprekende romantische voorbeelden werden uitgelegd, aangevuld met plaatjes als dit.
Sophie Germains interesse in wiskunde werd echter gewekt door een boek over geschiedenis van de wiskunde uit haar vaders bibliotheek dat ze las op haar dertiende. Ze was onder de indruk van het verhaal over de dood van Archimedes, die zo in beslag genomen werd door zijn wiskunde dat het hem tijdens de inval van de Romeinen in Syracuse zijn leven kostte.
In 1794 werd in Parijs de Ecole Polytechnique geopend, maar vrouwen mochten er niet studeren. Sophie verzon hier iets op: ze slaagde erin haar analyse-opgaven in te leveren onder de naam van meneer Le Blanc. Hij was een student die niet zo'n goede prestaties leverde en zijn studie had gestaakt. De administratie had dit echter niet in de gaten en Sophie slaagde erin de dictaten die voor hem bestemd waren te pakken te krijgen. Uiteindelijk wilde Lagrange, de docent bij wie ze haar werk inleverde en die zelf een beroemd wiskundige was, de student die opeens zo goed geworden was graag ontmoeten en ze moest haar identiteit onthullen. Lagrange was blij verrast en werd haar mentor.
Later gebruikte ze haar pseudoniem opnieuw toen ze met de beroemde wiskundige Gauss correspondeerde over getaltheorie. Ook Gauss was onder de indruk van haar prestaties. Maar ook aan hem moest ze haar identiteit bekend maken. In 1806 vielen de legers van Napoleon Pruisen binnen. Germain vreesde voor het leven van Gauss en vroeg een bevriende generaal hem te beschermen. Dat deed hij inderdaad en hij noemde Germains naam, zodat ze in haar volgende brief wel moest vertellen wie ze eigenlijk was.
Germain werkte eerst vooral aan getaltheorie, daar gingen haar brieven aan Gauss ook over. Ze bereikte hierin resultaten toen ze probeerde een bewijs te vinden voor de beroemde laatste stelling van Fermat. De correspondentie hield echter plotseling op toen Gauss hoogleraar astronomie werd en zijn interesse verlegde naar de meer toegepaste wiskunde.
Hierna hield ze zich bezig met elasticiteit en ze stuurde haar bijdrage tot drie keer toe in voor een wedstrijd die in die tijd gehouden werd. Het ging erom een wiskundige theorie van elastische oppervlakken te vinden. Er werden echter steeds redenen aangevoerd om haar de prijs niet te geven, ook al was ze in het begin de enige deelnemer. Ze kreeg toen de wedstrijd heropend was een eervolle vermelding, maar een prijs kreeg ze niet. Er werd gefluisterd dat haar werk gewoon niet serieus genomen werd omdat ze een vrouw was. Poisson, die haar rivaal was op het vakgebied en ook lid van de jury, schreef wel een heel formele erkenning van haar werk, maar weigerde op een serieuze manier met haar in discussie te gaan.
In 1829 kreeg ze borstkanker. Toch maakte ze in 1830 nog twee artikelen af, toen ook nog een revolutie was uitgebroken in Parijs. In 1831 overleed ze.
(Jeanine)
Vandaag las ik dat Stephen Fry bezig is met een film over het leven van Srinavasa Ramanujan. Fry is een van mijn helden (Blackadder! Making history! A bit of Fry and Laurie! Wilde!) en elke wiskundige moet Ramanujan wel bewonderen (1729!).
Fry gaat de film maken met regisseur Dev Benegal (hiernaast staan ze samen op de foto). Veel is nog niet bekend. De vriendschap tussen Ramanujan en Hardy zal zeker een van de thema's in de film zijn. Fry hoorde de verhalen over Ramanujan en Hardy toen hij zelf in Cambridge studeerde. Benegal reisde twintig jaar geleden door de streek waar Ramanujan opgroeide en studeerde. Allebei wilden ze al jaren iets met het verhaal van dit genie doen. Toen ze elkaar vorig jaar tegenkwamen, was het idee voor de film snel geboren.
Fry grapte, dat hij overweegt om zelf de hoofdrol te willen spelen. Ik ben benieuwd, hij is een goed acteur, maar hij heeft niet echt het postuur van een frêle Indiër..
Komende zondag organiseren Het Klokhuis en Nemo een grote vragendag. Op die dag mag iedereen (nouja, vooral kinderen) vragen stellen die beantwoord worden door Echte Wetenschappers. Ik had me aangemeld om vragen over wiskunde te beantwoorden, maar ik ben niet nodig. Dat betekent dat er te weinig vragen over wiskunde zijn binnengekomen, of dat er andere wiskundigen staan om vragen te beantwoorden. (Misschien wordt je pas een Echte Wetenschapper als je al gepromoveerd bent?) Desondanks ga ik er toch naartoe, want het wordt vast een erg leuke dag. Wie ook wil gaan, vindt meer informatie op deze site.
(Ionica)
Als echt Mac-fans gebruiken de wiskundemeisjes natuurlijk iTunes op hun iBooks.
Laatst kwam ik een leuk artikel tegen over de wiskunde achter iTunes. In How Much Does iTunes Like My Five-Star Songs? onderzoekt Brian Hensen hoe iTunes de waardering van liedjes gebruikt. Je kan elk nummer namelijk één tot vijf sterren geven. iTunes gebruikt deze waardering om in de shuffle stand je favoriete nummers vaker te spelen (als je tenminste even een vinkje bij deze optie zet). Maar hoeveel vaker komen die vijf sterren nummers dan voorbij?
Hensen pakte deze vraag wetenschappelijk aan. Hij maakte zes nummers van elk één seconde en gaf die respectivelijk 1, 2, 3, 4 en 5 sterren. Het zesde nummer gaf hij geen waardering. Daarna liet hij iTunes een weekend draaien op de shuffle stand en verliet het huis. Een week later liet hij iTunes opnieuw een weekend deze nummers draaien, maar nu zette hij een vinkje bij de optie om favoriete nummers vaker te spelen. Na afloop had hij genoeg gegevens om wat statistiek toe te passen.
Wat bleek? Zonder de optie om favoriete nummers vaker te spelen, wordt elk nummer ongeveer even vaak gespeeld (zoals je ook zou verwachten). Als favorieten wél vaker gespeeld worden, komen de nummers met meer sterren vaker voorbij (en dat is ongeveer lineair met het aantal sterren). Het is vooral opvallend dat nummers zonder waardering een stuk minder gedraaid worden, zelfs minder dan een nummer met nul sterren in de lijn der verwachtingen...
Er staan nog meer leuke dingen in het artikel van Hensen, hij realiseert zich bijvoorbeeld dat mensen meestal meer liedjes twee of drie sterren zullen geven dan vijf. Vijf sterren zijn alleen weggelegd voor echte topnummers (zoals Emily Kane van Art Brut bijvoorbeeld). Daardoor krijg je dus uiteindelijk een andere verdeling in de sterren als je willekeurige nummers uit je verzameling speelt.
(Ionica)
