Wiskundemeisjes

Op 23 maart 1882 werd Emmy Noether (1882 - 1935) geboren. Emmy Noether was een van de beroemdste vrouwelijke wiskundigen ooit. Ze heeft een grote invloed gehad op de ontwikkeling van de abstracte algebra aan het begin van de twintigste eeuw.

In haar tijd was het niet gemakkelijk om als vrouw wiskundige te worden. Onofficieel mochten vrouwen wel studeren aan de Duitse universiteiten. Iedere docent moest echter toestemming geven als een vrouw zijn colleges wilde volgen. Emmy Noether ging studeren in Erlangen en daarna in Göttingen, waar ze colleges volgde bij onder andere Hilbert, Klein en Minkowski.

Hoewel vrouwen niet volledig mee konden doen in de academische wereld, publiceerde Emmy Noether veel en groeide haar reputatie snel. In 1915 nodigden Hilbert en Klein haar uit om terug te komen naar Göttingen. In 1919 kreeg ze toch toestemming om haar Habilitation te halen (dat is een graad die nodig is om hoofddocent te worden), maar daarvoor gaf ze toch al colleges: haar colleges werden aangekondigd als colleges van Hilbert met haar als assistent!

Eerst werkte Noether aan invariantentheorie en aan fysische problemen en ze bereikte een resultaat in de algemene relativiteitstheorie waar Einstein zich lovend over uitliet. Daarna verdiepte ze zich in de ideaaltheorie, een belangrijk onderdeel van de moderne algebra die in deze tijd steeds verder ontwikkeld werd. Toen ze in 1933 ontslagen werd omdat ze joods was, vertrok ze naar de VS.

De Nederlander Van der Waerden studeerde bij Noether in 1924 en hij baseerde het tweede deel van zijn beroemde en invloedrijke leerboek Modern Algebra op haar colleges en colleges van Artin.

Bij haar overlijden schreef Einstein een brief aan de uitgever van The New York Times, die slechts kort verslag gedaan had van Noethers overlijden, een In Memoriam, waarin hij schrijft:

Within the past few days a distinguished mathematician, Professor Emmy Noether, formerly connected with the University of Göttingen and for the past two years at Bryn Mawr College, died in her fifty-third year. In the judgment of the most competent living mathematicians, Fräulein Noether was the most significant creative mathematical genius thus far produced since the higher education of women began. In the realm of algebra, in which the most gifted mathematicians have been busy for centuries, she discovered methods which have proved of enormous importance in the development of the present-day younger generation of mathematicians. Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. One seeks the most general ideas of operation which will bring together in simple, logical and unified form the largest possible circle of formal relationships. In this effort toward logical beauty spiritual formulas are discovered necessary for the deeper penetration into the laws of nature.

(Jeanine)

Gisteren vroeg Sidney in de comments bij de vorige post Het vermoeden van Goldbach (2) of iemand een verklaring had voor de 'banden' in zijn plaatjes.  Luttele uren later kregen we een bericht van wiskundestudent Arjen Stolk. Zijn verhaal was zo interessant dat we dat ook maar weer integraal plaatsen.

"Hoi Sidney en wiskundemeisjes,

Hierbij mijn verklaring voor de dikke lijnen in Sidney's prachtige plaatje bij het vermoeden van Goldbach. Uiteraard een beetje handengewapper, maar ik denk wel dat het idee klopt.

We kijken naar de verdeling van p+q modulo N. De verdeling van de priemgetallen modulo N is redelijk regelmatig: de priemen zijn evenredig verdeeld over de inverteerbare restklassen. De verdeling van de som van twee priemgetallen is echter een stuk minder regelmatig. Het is precies die asymmetrie die zorgt voor de verdikkingen in het plaatje.

Om die verdeling modulo N te bepalen, gebruiken we de Chinese reststelling en het feit dat het modulo priemgetallen niet zo heel moeilijk is. Modulo P is de kansverdeling voor de som van twee priemgetallen als volgt: de restklasse 0 heeft een kans van 1/(P-1); de restklassen 1 t/m P-1 hebben een kans van (P-2)/(P-1)^2.

Ik heb dit met de hand even uitgerekend voor 3, 5 en 7. Samen geeft dit de volgende informatie modulo 105.

Tot zover de harde wiskunde, nu het handenwapperen. Als ik nu zomaar ergens 105 opeenvolgende even getallen pak, liefst een beetje groot. Nu zal het totale aantal sommen van twee priemgetallen dat binnen dit bereik ligt zich ongeveer over deze getallen verdelen conform bovenstaande verdeling.

Dit betekent dat er dus heel veel getallen (48 van de 105) ongeveer 15/2304 van deze sommen krijgen, dus op die hoogte krijgen we een dikke streep. Een ongeveer half zo dikke streep (24 van de 105) vinden we twee keer zo hoog, bij 30/2304 van het totaal.

Het tekenen van een plaatje is een leuke oefening voor de lezer. Ik legde mijn handgetekende plaatje net naast Sidney's grafiek, en de lijntjes komen verdomd
aardig overeen.

Tot slot een vriendelijk verzoek dit soort leuke vragen niet 's avonds te posten, ik lag vanacht dus pas om half twee op bed (maar toen was het probleem wel 'opgelost':)
Groetjes,

Arjen"

Sidney Cadot is geen wiskundemeisje, maar zijn reactie op het Goldbach stuk van afgelopen zaterdag is een eigen post waard. Hij stuurde twee plaatjes die hij lang geleden maakte en schreef:

``Ik was destijds eerstejaars informatica en toen kwam ooit het vermoeden van Goldbach aan de orde. Uiteraard sloeg ik aan het rekenen - wat ik bekeek was het aantal verschillende manieren g(k) waarop een even getal k te schrijven is als som van twee priemgetallen. Het vermoeden is natuurlijk dat g(k) > 0 voor alle k even, k > 2.

Het grappige is dat de grafiek daarvan een nogal bizarre structuur heeft (zie hieronder)."

Sidney gaat verder: ``... Aan de onderste grafiek kun je zien dat het vermoeden wel waar zal zijn, maar dat is zeker niet voldoende voor jullie? ;-) Ik heb geen idee waar de band-structuur in de tweede grafiek vandaan komt (je kunt het ook al zien in de eerste grafiek trouwens). Nogal vreemd, niet dan?"

Degene in die de comments het vermoeden als eerste werkelijk bewijst (en dan dus ook echt voor ALLE even getallen groter dan 2, Sidney) krijgt van mij een Mars.

(Ionica)

Laatst kwam mijn oud-huisgenoot Ernst met een wiskundig probleem. Jaren geleden wilde hij een telefoonbeantwoorder kraken (om nobele redenen natuurlijk). Om het apparaat van een afstand te bedienen moest je een viercijferige code intoetsen. Maar, je hoefde geen enter te geven na die vier cijfers. Dus als de juiste code 1729 was, dan kwam je in het syteem als je 1729 intoetste, maar ook als je 111111729 intoetste of 172717281729 probeerde. Ernst vroeg zich af of er een slimme manier bestaat om alle mogelijke codes achter elkaar te proberen. Hoeveel toetsen moet je indrukken om 0000, 0001, 0002 en zo door tot en met 9999 te proberen? Met domweg alle combinaties achter elkaar proberen heb je 40.000 toetsen nodig. Ernst dacht dat je veel kon winnen door slimme overlappingen te kiezen.

Ik wilde dit leuke probleem zelf oplossen, om aan Ernst te bewijzen hoe nuttig wiskunde is in het dagelijks leven in het algemeen en bij het kraken van telefoonbeantwoorders in het bijzonder. Samen met mijn kamergenoot Sierk begon ik eens met codes van twee cijfers in het binaire stelsel, want we wilden het onszelf niet gelijk té moeilijk maken. In dit geval zijn de mogelijke codes 00, 01, 10, 11. Die kan je in een reeks van vijf cijfers allemaal testen, met 00110 bijvoorbeeld.

Ook voor alles codes van drie cijfers (000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 en 111) kwamen we snel tot een mooie korte reeks:

0001110100.

We zagen wel dat korter niet ging, elk getal (behalve de eindcijfers) wordt in drie codes gebruikt. De vetgedrukte 1 zit bijvoorbeeld in 001, 011 en 111.

Maar toen zaten we vast. Een mooie reeks voor alles codes van vier cijfers was lastiger te vinden. En voor het echte probleem met viercijferige codes bestaande uit 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en 0 zagen we zo snel helemaal geen oplossing.

Zweedse hulptroepen
Het werd toch wel lastig om de vraag van Ernst even snel te beantwoorden - ons eigen onderzoek moest ook doorgaan. Maar hoera voor google! Ik vond de weblog van Stefan Geens. Deze Zweedse journalist stelde precies dezelfde vraag als Ernst. Al ging het bij hem niet om telefoonbeantwoorders, maar om een appartementencomplex in Oslo dat codes in plaats van sleutels gebruikte. Hij stelde zich voor dat je midden in de nacht door de sneeuw naar huis liep en als je dan ein-de-lijk bij je appartement was, je de code niet meer wist. Hoeveel toetsen moet je dan met je verkleumde vingers indrukken om binnen te komen?
Geens werkt op deze pagina prachtig naar het algemene antwoord toe. Hij begint net als wij met simpele reeksen 0-en en 1-en, loopt op een gegeven moment vast, maar komt dan terecht op de juiste wiskundige pagina's en uiteindelijk duikelt hij zelfs allerlei recente publicaties op over dit onderwerp. Het antwoord is dat je om alle combinaties van vier cijfers te proberen je maar 10.003 toetsen hoeft in te drukken. Dat betekent dat je (op de drie begincijfers na) elk getal in deze reeks in vier codes tegelijk probeert. Zo'n reeks heeft een mooie regelmaat, om maar eens een stukje te nemen:

...4639 4739 4839 4939 5439 5539 5639 5739 5839 5939 6439 6539 6639 6739 6839...

Deze reeksen getallen heetten De Bruijn reeksen en er is veel meer over te vertellen. Maar dat doet Geens zo goed, dat ik suggereeer dat je nu snel op bovenstaande link klikt.

(Ionica)

p.s. Toen ik dit probleem een paar dagen later aan mijn promotor vertelde, had hij voor ik klaar was met vertellen al een boek over De Bruijn reeksen uit de kast getrokken.

Op 18 maart 1690 werd de wiskundige Christian Goldbach (1690 - 1764) geboren in Königsberg (toen in Pruisen, nu heet het Kaliningrad en ligt het in Rusland).

Hij werkte vooral in de getaltheorie en wisselde brieven met de veel beroemdere wiskundige duizendpoot Euler (1707 - 1783). In een van die brieven uit 1742 formuleerde Goldbach een vermoeden dat neerkomt op de volgende bewering: ieder even getal groter dan twee is de som van twee priemgetallen. (Een priemgetal is een getal groter dan 1 dat geen andere delers heeft dan zichzelf en 1.)

Deze bewering klinkt eenvoudig, maar toch is het nog nooit iemand gelukt om dit vermoeden te bewijzen. Je kunt natuurlijk proberen om alle even getallen om de beurt als som van twee priemgetallen te schrijven, maar er blijven er dan altijd oneindig veel over waarvoor je het niet gecontroleerd hebt. En een algemeen bewijs voor alle even getallen is er dus nog niet.

Leestip: Oom Petros en het vermoeden van Goldbach van Apostolis Doxiadis; een aansprekende roman over een oom die het zwarte schaap van de familie is, omdat hij zijn leven heeft verkwanseld in een poging het vermoeden van Goldbach te bewijzen. Een verhaal waaruit duidelijk blijkt hoe fascinerend, maar ook hoe frustrerend een onopgelost probleem kan zijn! Voor een euro of zes te koop bij De Slegte.

(Jeanine)

Danica McKellar speelde vroeger in The Wonder Years. In Nederland hebben we haar daarna niet meer zo vaak gezien, maar in Amerika is ze nog steeds een bekende actrice. Ze speelde bijvoorbeeld in het vierde seizoen van The West Wing. Tussendoor haalde ze even een bachelor wiskunde aan de University of California, Los Angeles (dat was natuurlijk lekker dicht bij Hollywood).

Als studente werkte ze mee aan een artikel over percolatie, wat behoorlijk stoer is voor een lagerejaars. Inmiddels is Danica weer full-time aan het acteren, maar ze blijft wiskunde promoten. Ze beantwoordt vragen van scholieren op Math-a-ton. De vragen die ze beantwoordt zijn niet echt moeilijk:

Mike gave me 1/5 of an orange, then Martha gave me 2/4 of an orange. What percentage of a whole orange do I have now?

Maar Danica legt alles leuk en enthousiast uit. Wat zou het goed zijn als er ook zoiets in Nederland gebeurde! Ik stel voor dat Katja Schuurman een gesubsidieerde studieplek bij wiskunde krijgt, of dat Jeanine een rol in Onderweg naar morgen gaat spelen.
(Ionica)

Stel je voor: er bestaan geen computers en geen Maple en van een grafische rekenmachine heeft nog helemaal niemand ooit gehoord. Toch ben je geïnteresseerd in het getal pi en je wilt zoveel mogelijk decimalen weten of onthouden. Je kunt ze natuurlijk elke keer opnieuw uitrekenen, daar zijn wel methodes voor, maar dat is een vervelend karweitje. Een mogelijke oplossing is het verzinnen van een ezelsbruggetje.

De titel van dit stukje is een dergelijk ezelsbruggetje: het aantal letters in elk woord correspondeert steeds met een decimaal van pi: 3,14159265. Er zijn veel meer ezelsbruggetjes verzonnen die op dit principe gebaseerd zijn, in allerlei talen. Een paar andere voorbeelden, in ietwat ouderwets Nederlands, zijn:

Eva o lief, o zoete hartedief, uw blauwe oogen zyn wreed bedrogen.
3.14159265358

Zie, 'k geef u thans, geleerden en leeken, ouden van dagen, frissche studenten, weinige regeltjes, die mij zijn gebleken, vaak nuttig te werken voor tal van docenten. Zie nu hoeveel decimalen.
3.141592653589793238462643383279

In het Engels zijn er veel pi-poems geschreven, waarvan het beroemdste waarschijnlijk het volgende is:

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard...
3.14159265358979323846264

Als je nog meer leuke pi-versjes kent, of er zelf een hebt verzonnen: leef je uit in de comments!

(Jeanine)

Na weken van fotoshoots, sponsors regelen en klussen met de lay-out is het dan zo ver: de wiskundemeisjes weblog gaat vandaag van start!

Vandaag is het π-dag (pi-dag), want in de Amerikaanse notatie wordt 14 maart geschreven als 3/14 en π begint met 3.14... gevolgd door nog een heleboel decimalen (oneindig veel om precies te zijn). π is gedefinieerd als de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter. Voor elke cirkel komt daar hetzelfde getal uit.