Internetbureau Rotterdam 
Dit bericht is geplaatst op donderdag 23 maart 2006 om 20:02 in categorieën Algemeen. Je kunt de reacties volgen via een RSS 2.0 feed. Je kunt een reactie plaatsen, of een trackback van je eigen site plaatsen.
Wiskundemeisjes
Ionica & Jeanine
Het vermoeden van Goldbach (3)
In Algemeen, door wiskundemeisjes
Gisteren vroeg Sidney in de comments bij de vorige post Het vermoeden van Goldbach (2) of iemand een verklaring had voor de 'banden' in zijn plaatjes. Luttele uren later kregen we een bericht van wiskundestudent Arjen Stolk. Zijn verhaal was zo interessant dat we dat ook maar weer integraal plaatsen.
"Hoi Sidney en wiskundemeisjes,
Hierbij mijn verklaring voor de dikke lijnen in Sidney's prachtige plaatje bij het vermoeden van Goldbach. Uiteraard een beetje handengewapper, maar ik denk wel dat het idee klopt.
We kijken naar de verdeling van p+q modulo N. De verdeling van de priemgetallen modulo N is redelijk regelmatig: de priemen zijn evenredig verdeeld over de inverteerbare restklassen. De verdeling van de som van twee priemgetallen is echter een stuk minder regelmatig. Het is precies die asymmetrie die zorgt voor de verdikkingen in het plaatje.
Om die verdeling modulo N te bepalen, gebruiken we de Chinese reststelling en het feit dat het modulo priemgetallen niet zo heel moeilijk is. Modulo P is de kansverdeling voor de som van twee priemgetallen als volgt: de restklasse 0 heeft een kans van 1/(P-1); de restklassen 1 t/m P-1 hebben een kans van (P-2)/(P-1)^2.
Ik heb dit met de hand even uitgerekend voor 3, 5 en 7. Samen geeft dit de volgende informatie modulo 105.
Tot zover de harde wiskunde, nu het handenwapperen. Als ik nu zomaar ergens 105 opeenvolgende even getallen pak, liefst een beetje groot. Nu zal het totale aantal sommen van twee priemgetallen dat binnen dit bereik ligt zich ongeveer over deze getallen verdelen conform bovenstaande verdeling.
Dit betekent dat er dus heel veel getallen (48 van de 105) ongeveer 15/2304 van deze sommen krijgen, dus op die hoogte krijgen we een dikke streep. Een ongeveer half zo dikke streep (24 van de 105) vinden we twee keer zo hoog, bij 30/2304 van het totaal.
Het tekenen van een plaatje is een leuke oefening voor de lezer. Ik legde mijn handgetekende plaatje net naast Sidney's grafiek, en de lijntjes komen verdomd
aardig overeen.
Tot slot een vriendelijk verzoek dit soort leuke vragen niet 's avonds te posten, ik lag vanacht dus pas om half twee op bed (maar toen was het probleem wel 'opgelost':)
Groetjes,
Arjen"
