Wiskundemeisjes

De bijzonder fijne website McSweeney's Internet Tendency heeft helemaal niets met wiskunde te maken. Wel met het Amerikaanse literaire tijdschrift McSweeney's Quarterly Concern. Eigenlijk mag ik op deze weblog dus helemaal niets schrijven over McSweeney's (zie hier). Maar gelukkig! Ook op McSweeney's is een klein beetje wiskunde te vinden. Tussen allerlei grappige lijstjes vinden we ook een lijstje van Jez Burrows:

Geometric relationships more realistic than the love triangle

The where-did-you-get-this-number rhombus

A trapezoid that just needs a little space

Two congruent rectangles who haven't spoken since John and Erica's wedding

A cylinder in love with itself

The intensely lonely sphere who, finishing his eighth double Scotch of the evening, blankly stares into the middle distance, considering the irrevocable march toward death

Self-hating cube

(Jeanine)

Ha, vandaag vond ik een pagina vol wiskundige grappen die ik nog niet kende. Ik ga jullie niet vertellen hoe deze pagina heet of waar hij staat, want nu kan ik af en toe een leuke grap eraf halen (als het te mooi weer is om stukjes te schrijven bijvoorbeeld). De volgende drie grapjes komen uit voordrachten van Peter Lax. Ik geef ze in het Engels.

Question: What's the contour integral around Western Europe?
Answer: Zero, because all the Poles are in Eastern Europe!
Addendum: Actually, there ARE some Poles in Western Europe, but they are removable!

Question: Do you believe in one God?
Answer: Yes, up to isomorphism!

Question: What is a compact city?
Answer: It's a city that can be guarded by finitely many near-sighted policemen!

(Ionica)

Vandaag stond in het Financieele Dagblad een artikel over het tekort aan wiskundigen voor het bedrijfsleven. Hoewel niemand mij nog heeft gebeld voor zo'n baan met een aanvangssalaris van 4500 euro, is het toch fijn om te weten dat wiskundigen gewild zijn. Het is minder leuk om te lezen, dat het niveau van de opleidingen lager wordt. Hieronder vind je een stuk van het artikel.

(Ionica)

Bank jaagt op schaarse bèta’s

Banken, verzekeraars en pensioenfondsen kampen met een groot gebrek aan wiskundig talent. Scholieren tonen nauwelijks belangstelling voor technische studierichtingen en Nederlandse studenten in toegepaste wiskunde worden al op de campus benaderd door grote buitenlandse zakenbanken als JPMorgan, Morgan Stanley en Goldman Sachs .

‘Daardoor loopt de positie van Nederland als innovatief financieel centrum gevaar’, zegt Jean Frijns, die bijna twintig jaar verantwoordelijk was voor het beleggingsbeleid van pensioenfonds ABP en tegenwoordig is verbonden aan de Vrije Universiteit. ‘Kennis die nodig is voor de waardering van derivaten komt bijvoorbeeld al vaak uit het buitenland.’

Volgens Bert Bruggink, de hoogste financiële man bij Rabobank, loopt het tekort aan kwantitatief geschoolde mensen alleen al bij zijn werkgever op tot ‘tientallen per jaar’. ‘Het zijn hoogwaardige banen met aanvangssalarissen van minimaal €4500 per maand. In toenemende mate vormen deze mensen het hart van de financiële instellingen. Met als gevolg dat ook de werkgelegenheid van talloze advocaten, adviseurs en accountants van hen afhankelijk is.’
...

Ook over de kwaliteit van het wiskundeonderwijs toont de financiële sector zich allerminst tevreden. ‘Vijf jaar geleden kon ik mijn studenten aanmerkelijk ingewikkeldere opdrachten voorschotelen’, zegt Jean Frijns. ‘Het niveau is helaas sterk achteruit gegaan.’

Dat is deels te wijten aan het onderwijssysteem. ‘Universiteiten worden afgerekend op het aantal studenten dat zij afleveren’, aldus Hans Nieuwenhuis, hoogleraar econometrie in Groningen. ‘Als ik bij de examens te moeilijke vragen stel, krijg ik last met mijn collega’s. Zij zijn bang dat het ten koste gaat van het budget van de vakgroep.’

Verder blijft de instroom van studenten sterk achter bij de behoefte. ‘Vroeger had ik tachtig tot honderd eerstejaars’, zegt Nieuwenhuis. ‘Tegenwoordig ben ik al blij met dertig studenten.’

Twee mooie quotes over bewijzen uit de inaugurele rede van Hendrik Lenstra.

En

(Ionica)

Zoals je al kon lezen in een reactie, wees Saskia van Dantzig ons op een heel leuk liedje: Miscalculation (of Miss Calculation?). Het liedje werd geschreven en uitgevoerd door de formatie O.E.P.S., bestaande uit twee studentes psychologie aan de Erasmus Universiteit: Ilse Roos en Lotte Vermeulen. Ze wonnen daarmee afgelopen voorjaar de derde prijs in de Student Singer/Songwriter Contest Nootuitgang.

In het liedje bezingen ze met prachtige stemmen hun statistiekdocent, om wie ze met plezier naar hun colleges gaan:

Ben ik net zo uniek als jouw mooiste grafiek,
zijn wij x en y, vertel het mij!

Hier kun je het liedje beluisteren.

(Jeanine)

Jeanine en ik bestelden eerder dit jaar t-shirts bij het geweldige ThinkGeek (Stuff for Smart Masses). Dit zijn twee van de shirts waarmee wij door ons wiskunde instituut paraderen (als het tenminste niet zo idioot warm is als vandaag)...

(Klik op de plaatjes voor een grotere versie, als je de tekst ook echt wil lezen.)

Sindskort biedt ook een Nederlandse site fijne shirts voor bèta's aan. Op Science Orientated Shirts kan je shirts uitzoeken met al je favoriete homeboys. Voor wiskundigen hebben ze bijvoorbeeld Pythagoras of Fibonacci.

(Ionica)

Wat doe je als iemand vraagt wat je favoriete formule is: welke formule eigenlijk iedereen zou moeten kennen? Zeg je:

a) Alle formules zijn gelijk, maar sommigen zijn meer gelijk dan anderen.
b) e ^{π i} = -1 natuurlijk!
c) Nou, eigenlijk is er geen ultieme formule die iedereen moet kennen. Wiskunde is zo veel meer dan formules. Logisch denken en bewijzen vind ik veel mooier dan formules.
d) De Formule 1.

Ik probeerde eerst antwoord c). Maar degene aan de andere kant van de lijn gaf geen krimp en hield vol. Dus eindigde ik met antwoord b). Want dat is toch wel mijn favoriete formule. Waarom?

Mijn favoriet: e ^{π i} = -1

Laten we eens rechts van het =-teken beginnen, daar staat -1. Dat is makkelijk, dat kennen we allemaal. Maar vroeger was het helemaal niet zo vanzelfsprekend om negatieve getallen te gebruiken. Heb je wel eens -2 appels gezien? Het duurde even voor mensen inzagen dat als je geen appels had maar wel nog 2 appels aan iemand moest geven, je best kon zeggen dat je -2 appels had.

En wat staat er allemaal links van het =-teken? We zien e, π en i. Pi (π voor vrienden) ≈ 3.14159 en het is de bekende verhouding tussen de diameter van een cirkel en zijn omtrek. Wat zijn die andere twee letters e en i?

De prachtige constante e

e ≈ 2.71828 is een constante met een bijzondere eigenschap. Als je de grafiek van e^x tekent, dan heeft deze grafiek in elk punt precies dezelfde helling als de waarde van de functie. Hieronder zie je links de grafiek van e^x en rechts de grafiek van zijn helling:

Even ter vergelijking, hieronder links een parabool en rechts zijn helling:

Deze constante e duikt op allerlei gekke plaatsen op: bij lootjes trekken voor Sinterklaas bijvoorbeeld. De kans dat niemand zichzelf trekt is 1/e voor grote groepen.

De imaginaire constante i

Op de middelbare school leerde ik dat de wortel uit een negatief getal niet bestaat. Ik voelde me enorm bedrogen toen ze op de universiteit doodleuk zeiden dat i² = -1. Dat kon toch helemaal niet? Want 1 x 1 = 1 en -1 x -1 = 1. Wiskundigen trekken zich daar niks van aan en definiëren i domweg als het getal waarvoor wel geldt dat i x i = -1. Vervolgens rekenen ze vrolijk met die imaginaire (denkbeeldige) i en het leuke is, dat je daardoor allerlei mooie berekeningen kan maken, waar we ook in de echte wereld iets aan hebben. Eigenlijk verschilt zo'n imaginaire constante helemaal niet zo veel van een negatief getal, ook die zie je niet om je heen, maar kan je wel heel goed gebruiken.

Terug naar de fomule... e ^{π i} = -1

Waarom is dit nu mijn favoriete formule? Omdat je links allerlei moeilijke dingen ziet, die ineens gelijk blijken te zijn aan iets heel eenvoudigs. Dat is wat wiskundigen leuk vinden, moeilijke dingen makkelijk maken. En soms lijkt dat wel een beetje op een wonder...

(Ionica)

Vanaf nu presenteren de wiskundemeisjes elke laatste donderdag van de maand een vast item: de favoriete (nog levende!) wiskundige van... Wij hebben zelf namelijk geen goed overzicht wie de grote wiskundigen van deze tijd zijn. Het leek ons leuk om dat aan verschillende gerespecteerde professoren te vragen. Want we kennen namen als Pythagoras, Fermat, Gauss en Euler wel, maar wie zijn de helden van de 20ste en 21ste eeuw?

Het spits van deze rubriek wordt afgebeten door Manjul Bhargava.

Deze jonge professor aan Princeton heeft het 290 vermoeden bewezen, hierover heeft Jeanine een apart stuk geschreven: De 290 stelling. We vragen aan Manjul Bhargava wie hij de grootste wiskundige van deze tijd vindt. Hij noemt eerst verschillende namen, maar als hij maar één iemand mag noemen, dan kiest hij Abelprijswinnaar Jean-Pierre Serre. "Omdat deze man een levende legende is, wiens werk veel gevolgen heeft en die op zo veel gebieden heeft gewerkt en dat nog steeds doet, al wordt hij dit jaar tachtig."

Wij schreven twee keer anekdotisch over Serre in Wiskundigen zijn als... en Meet & Greet Jean-Pierre Serre. We zullen hier zijn leven en werk niet uitgebreid beschrijven, maar voor wie meer wil weten: de pagina over Serre in de Engelse Wikipedia is een goed beginpunt.

(Ionica)

Sommen van kwadraten

Een bekende stelling uit de getaltheorie vertelt ons dat ieder positief geheel getal te schrijven is als een som van 4 kwadraten. Deze stelling is in 1770 door Lagrange bewezen. Het begin van het lijstje ziet er als volgt uit.

Anders geformuleerd zegt de stelling van Lagrange dat de uitdrukking x² + y² + z² + u² alle positieve gehele getallen als uitkomst kan hebben als je er gehele getallen in invult voor de variabelen x, y, z en u. We zeggen dat de uitdrukking x² + y² + z² + u² alle positieve gehele getallen representeert.Dit is een bijzondere eigenschap van deze uitdrukking, want voor veel andere uitdrukkingen geldt dit niet. Het is bijvoorbeeld duidelijk dat er bij x² altijd een kwadraat uitkomt en dus nooit bijvoorbeeld het getal 3. De uitdrukking x² representeert 3 dus niet.

Een voor de hand liggende vraag is de volgende: zijn er nog meer van dit soort uitdrukkingen die alle positieve gehele getallen representeren en hoe kun je zien of een bepaalde uitdrukking dat doet?

Gehele positief-definiete kwadratische vormen

De 290 stelling geeft een verrassend antwoord op deze vraag: als je van een bepaald soort uitdrukking al weet dat hij een lijstje van 29 getallen representeert, dan weet je meteen dat hij alle positieve gehele getallen representeert! Maar eerst moeten we natuurlijk bedenken wat er in de vraag bedoeld wordt met "dit soort uitdrukkingen". Een mogelijk antwoord is: gehele positief-definiete kwadratische vormen. Dat is een hele mond vol, dus laten we per woord bekijken wat dat nou precies voor vormen zijn.

Voorbeelden van kwadratische vormen zijn:
x² + y²,
x² + y² + z² + u²,
1/2 xz,
x² - 4z² en
x² + y² + z² - 14xz + 5yz.

Een kwadratische vorm is een som van termen die allemaal bestaan uit óf het kwadraat van een variabele, óf het product van twee variabelen, met een getal ervoor. De volgende uitdrukkingen zijn dus géén kwadratische vormen:
x² - 2x,
x² + 4 en
xy - 5xyz.

Merk op dat als je voor alle variabelen die voorkomen 0 invult, dat er dan altijd 0 uitkomt, wat je kwadratische vorm ook is!

Een gehele kwadratische vorm is een kwadratische vorm waarbij de getallen die voor de variabelen staan gehele getallen zijn.

Nu zijn we bij het laatste woord beland: positief-definiet. Een gehele kwadratische vorm noemen we positief-definiet in het volgende geval: als je gehele getallen invult, komt er altijd een getal groter dan 0 uit, behalve als je voor alle variabelen 0 invult, dan komt er 0 uit. De vorm x² + y² is dus inderdaad positief-definiet, want als x of y ongelijk aan 0 is, dan is x² + y² groter dan 0. Zo is het ook makkelijk te zien dat x² + y² + z² + u² positief-definiet is. De vorm x² - 4z² is niet positief-definiet: als je bijvoorbeeld x=1 en z=1 invult komt er -3 uit. Ook x² + y² + z² - 14xz + 5yz is niet positief-definiet, want deze vorm representeert -12 (neem x=1, y=0 en z=1).

De 290 stelling

Nu zijn we ver genoeg om de mededeling die de 290 stelling doet te kunnen begrijpen. Deze stelling werd onlangs bewezen door Manjul Bhargava en Jonathan P. Hanke. Het is een beetje een bizarre stelling, met 29 getallen die volledig uit de lucht lijken te vallen. De 290 stelling luidt als volgt.

Als een gehele positief-definiete kwadratische vorm de getallen 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203 en 290 (vandaar de naam!) allemaal representeert, dan representeert de vorm alle positieve gehele getallen!

De stelling zegt dus iets heel sterks: als je een gehele positief-definiete kwadratische vorm hebt, dan hoef je maar voor een eindig aantal, namelijk 29, getallen te controleren of ze door deze vorm gerepresenteerd worden. Als dat het geval is, dan weet je meteen dat alle positieve gehele getallen er uit kunnen komen! Je hoeft dus niet voor alle getallen na te gaan of ze gerepresenteerd kunnen worden, en dat is maar goed ook, want dan zou je dat voor een oneindig aantal getallen moeten doen...

En er is nog iets leuks aan de hand: Bhargava en Hanke zijn er zelfs in geslaagd om voor elk van deze 29 getallen een gehele positief-definiete kwadratische vorm te vinden die alle positieve gehele getallen representeert, behalve dat ene getal! Dat betekent dat uit dat lijstje van 29 ook echt geen enkel getal meer weg te laten valt.

Hier kun je nog meer lezen over Manjul Bhargava en de 290 stelling (in het Engels).

(Jeanine)

Willem Jan Palenstijn (met het witte petje) wees mij op dit leuke stripje waarin een bekend logica-raadsel op een wel erg originele manier wordt opgelost!

(Jeanine)