Wiskundemeisjes
Internetbureau Rotterdam 
In de tweede aflevering van De favoriete (nog levende!) wiskundige van... vragen we aan Persi Diaconis wie zijn favoriete nog levende wiskundige is. Diaconis is professor in de statistiek aan Stanford. Zijn loopbaan is op zijn zachtst gezegd opmerkelijk.
Op zijn veertiende verliet Diaconis de middelbare school om door Amerika te trekken met een goochelaar. Diaconis werd een goede magician en hij verdiende jarenlang zijn geld met optredens. Op een gegeven moment vroeg hij zich af, wat de kans was dat een dobbelsteen die een beetje afgevijld was op een bepaalde kant neer zou komen. Hij kocht een boek over kansrekening, maar snapte er niet veel van.
Op zijn vierentwintigste begon hij met wiskundecolleges in New York. Daarna lukte het hem om bij Harvard binnen te komen op voorspraak van bekende wiskundigen die fan waren van zijn trucs. Een glansrijke carrière volgde. Het leuke is, dat Diaconis zich nog steeds bezighoudt met het soort vragen dat hij als jongen stelde: Zijn de kaarten in het casino wel goed geschud? Is een muntje opgooien eigenlijk wel eerlijk? In Lifelong debunker takes on arbiter of neutral choices is meer te lezen over zijn leven en werk.
Doron Zeilberger
Maar wie is de favoriete nog levende wiskundige van Persi Diaconis? Hij koos voor Doron Zeilberger. Deze man heeft prachtige resultaten bereikt in de combinatoriek. Een van die resultaten is een methode om te bewijzen dat afgrijselijke combinatorische sommen gelijk zijn aan iets eenvoudigs, zoals op Zeilberger's shirt hieronder te zien is. In A quick review of the WZ theory wordt duidelijk uitgelegd hoe die methode werkt.
Diaconis vertelde een prachtige anekdote over Zeilberger. Toen de laatste in de jaren negentig net de Alternating sign matrix conjecture had bewezen, werd hij uitgenodigd om te spreken op een heel kleine universiteit in Amerika. Deze universiteit was zo klein, dat de wiskundefaculteit uit maar vijf medewerkers bestond. Op Zeilberger's voordracht waren meer dan honderd mensen afgekomen. Zeilberger begon zijn voordracht als volgt: "U verwacht natuurlijk dat ik zal spreken over mijn bewezen stelling. In plaats daarvan ga ik iets anders doen. We zijn hier te gast bij deze vijf wiskundigen en ik durf te wedden dat niemand van u weet, wat deze mensen doen. Dát ga ik u vandaag vertellen." Vervolgens ging hij de vijf medewerkers van de universiteit één voor één af en vertelde over hun stellingen, bewijzen en artikelen. Wat een fijne man deze Doron Zeilberger! Ik hoop hem binnenkort eens te zien spreken (over mijn werk bijvoorbeeld).
Doron Zeilberger heeft zelf een uitgebreide webpagina met artikelen, maple programma's, meningen, hilarische boze brieven en nog veel meer.
(Ionica)
Tom Lehrer zingt in New Math over de nieuwe methode om wiskunde te leren aan kinderen waarbij "the important thing is to understand what you are doing rather than getting the right answer". Hij legt uit hoe je volgens deze nieuwe methode 173 van 342 moet aftrekken. Na een inleiding begint het lied zo:
You can't take three from two,
Two is less than three,
So you look at the four in the tens place.
Now that's really four tens,
So you make it three tens,
Regroup, and you change a ten to ten ones,
And you add them to the two and get twelve,
And you take away three, that's nine.
Is that clear?
Luister zelf vooral naar de rest van het nummer! Eén van de leukste grappen vind ik "Base eight is just like base ten really - if you're missing two fingers".
(Ionica)
In navolging van Drs. P. schreef Vincent van der Noort (net als de wiskundemeisjes een fervent popularisator van de wiskunde) een aantal erg grappige ollekebollekes over wiskunde en natuurkunde. Ze zijn verschenen in Scoop in 2003. In Ollekebollekes verschenen de eerste. Hierin legt hij bovendien uit wat een ollekebolleke is en hij roept zijn medestudenten op om zelf ook aan de slag te gaan! Het resultaat is te vinden in Ollekebollekes II.
De leukste twee ollekebollekes van Vincent vind ik:
Wat hoor ik nu meneer?
Noemde u wiskunde
zomaar een `droog en
ongrijpbaar gebied?'
Dan kent u zeker de
cohomologische
anti-hermitische
Gauss-schoof nog niet!
en:
x tot de n-de plus
y tot de n-de kan
simpelweg zelf nooit een
n-de macht zijn.
Immers: zij q hier een
Galois-extensionfield...
Ai, dit gedichtje
is net iets te klein.
(Jeanine, met dank aan Vincent!)
Vandaag is het precies 112 jaar geleden dat Aleksandr Yakovlevich Khinchin in Rusland werd geboren. Hij bewees een mooie stelling over kettingbreuken en toevallig houd ik heel erg van kettingbreuken, dus de verjaardag van Khinchin (al is de beste man inmiddels overleden) leek me een mooie aanleiding om eens iets over kettingbreuken te vertellen.
Een kettingbreuk heeft niets te maken met fietskettingen: het is een breuk in een breuk, in een breuk, enzovoorts. Je hebt verschillende vormen kettingbreuken, maar een 'gewone' kettingbreuk ziet er zo uit:
De coefficienten ai zijn gehele positieve getallen, alleen a0 mag negatief zijn als x dat ook is. Je vindt die getallen ai door steeds het algoritme van Euclides te gebruiken (waarmee je de grootste gemene deler van twee getallen kan bepalen).
Benaderingen (met een voorbeeld om het duidelijk te maken)
Het leuke is dat je elk getal x als een kettingbreuk kan schrijven. En als dat getal x zelf niet als een gewone breuk te schrijven is (dat is bijvoorbeeld waar voor pi, wortel 2 en de gulden snede), dan gaat die kettingbreuk oneindig lang door. Je kan zo'n oneindige lange kettingbreuk dan afkappen om een benadering te vinden voor je getal x en dit geeft een reeks steeds beter wordende benaderingen.
Zoals de tussenkop al zegt, zal ik het proberen duidelijk te maken met een voorbeeld. Laten we eens kijken naar benaderingen voor pi ≈ 3.14159. De kettingbreuk voor pi begint als volgt:
De eerste afgekapte kettingbreukbenadering voor pi is 3, wat niet zo'n goede benadering is. De tweede benadering is 22/7 ≈ 3.14285. Deze benadering wordt op school vaak gebruikt en heeft de eerste twee decimalen van pi al goed. De volgende benadering is 333/106 ≈ 3.14151 en die doet de derde en vierde decimaal ook goed. Met elke volgende stap worden de benaderingen een stukje beter.
Voor ik het resultaat van Khinchin geef, nog een leuk feitje over kettingbreuken. Als je de kettingbreuk voor de gulden snede berekent, dan krijg je een kettingbreuk met alleen maar enen:
Daardoor is de gulden snede het moeilijkste getal om te benaderen met breuken. Zou dat de reden zijn dat mensen zo van deze verhouding houden?
De constante van Khinchin
Aleksandr Khinchin bewees dat voor bijna elk getal x geldt dat het meetkundige gemiddelde van de getallen ai in zijn kettingbreuk gelijk is aan een constante:
Die constante Ko heet de constante van Khinchin en is ongeveer gelijk aan 2.68545. Dat 'bijna elk getal' klinkt misschien een beetje vaag, maar voor wiskundigen is dat een heel helder gedefinieerd begrip. En dat zoiets als hierboven geldt voor bijna elke x is echt een mooi resultaat.
Dit stukje is te kort om echt veel te vertellen, maar wie meer wil weten over kettingbreuken kan eens kijken op Continued Fractions...an introduction.
In mijn eigen onderzoek werk ik trouwens aan multidimensionale kettingbreuken. Het probleem is nu om niet één getal, maar een heel rijtje getallen tegelijk met breuken te benaderen. En daarbij wil je ook nog dat elke benaderingsbreuk dezelfde noemer heeft. Waarom dat handig is en hoe je die schattingen kunt vinden, zal ik vertellen in een latere post!
(Ionica)
Een oud raadsel gaat alsvolgt: je hebt negen ballen gekregen en een ouderwetse balans. Een van de ballen is ietsje zwaarder dan de andere en jij wil graag weten welke. Hoe veel keer moet je nu minstens ballen op de balans tegen elkaar wegen om te weten wat de zwaarste bal is? Denk er zelf even over na, voor je gaat opzoeken wat het (verrassend lage) antwoord is. Dit raadsel (met oplossing) staat als een mooi verhaal in The nine yellow balls. Er is ook een moeilijkere variant, waarbij je alleen weet dat een van de negen ballen een ander gewicht heeft dan de rest, je moet nu niet alleen zeggen welke bal dat is, maar ook zeggen of die zwaarder of lichter is dan de rest (de oplossing is in dit geval een tamelijk ingewikkeld weegschema).
Gisteren kwam ik een nieuw "Weeg de ballen"-probleem tegen, met een leuke oplossing. Je hebt nu een stapel met maar liefst 2006 ballen gekregen en zo'n mooie, ouderwetse balans. Van de stapel wegen er 1003 ballen precies 10 gram en de andere 1003 ballen wegen elk 9.9 gram. Jij moet deze ballen in twee stapels van elk 1003 ballen verdelen en deze twee stapels mogen niet hetzelfde totaalgewicht hebben. Hoe vaak moet je nu minstens wegen? Ik verwacht jullie antwoorden in de reacties!
(Ionica)
- I was interviewed in the Israeli Radio for five minutes and I said that more than 2000 years ago, Euclid proved that there are infinitely many primes. Immediately the host interrupted me and asked: `Are there still infinitely many primes?' (Noga Alon)
- Mathematics... is a bit like discovering oil. ... But mathematics has one great advantage over oil, in that no one has yet ... found a way that you can keep using the same oil forever. (Andres Wiles)
- What's the most difficult aspect of your life as a mathematician, Diane Maclagan, an assistant professor at Rutgers, was asked.
"Trying to prove theorems," she said.
And the most fun?
"Trying to prove theorems."
(Ionica)
In de Notices of the AMS verscheen een tijd geleden een artikel over wiskundehumor: Foolproof: A Sampling of Mathematical Folk Humor. Dit artikel maakt onze categorie Grapjes in één keer bijna overbodig: alle wiskundegrapjes die ik ken staan er in. Er wordt onderscheid gemaakt tussen grapjes over wiskunde (die eigenlijk alleen wiskundigen grappig vinden) en grapjes over wiskundigen (meestal verteld door ingenieurs of fysici). Meestal worden wiskundigen in dit soort grapjes neergezet als mensen die meer leven met ideeën dan met de realiteit, of als mensen die vaak een onhandige oplossing kiezen omdat ze op die manier het probleem kunnen reduceren tot iets dat ze al eerder konden oplossen (zoals inderdaad ook vaak gebeurt in wiskundige bewijzen).
Het leukst vind ik de volgende metagrap:
An engineer, a physicist, and a mathematician find themselves in an anecdote, indeed an anecdote quite similar to many that you have no doubt already heard. After some observations and rough calculations the engineer realizes the situation and starts laughing. A few minutes later the physicist understands too and chuckles to himself happily, as he now has enough experimental evidence to publish a paper. This leaves the mathematician somewhat perplexed, as he had observed right away that he was the subject of an anecdote and deduced quite rapidly the presence of humor from similar anecdotes, but considers this anecdote to be too trivial a corollary to be significant, let alone funny.
Maar je kunt ook een boel woordspelingen lezen, anekdotes over de bijna spreekwoordelijk verstrooide professor Wiener en over weapons of math instruction en de terroristische organisatie Al-gebra. Veel plezier!
(Jeanine)
Als je met schenkstroop probeert om op een pannenkoek je naam te schrijven of een hartje te tekenen, kunnen er twee dingen gebeuren. Óf je krijgt een mooie, egale lijn, óf je krijgt een flubberige lijn die afwisselend uit bobbeltjes en dunne sliertjes bestaat. Wiskundigen uit Eindhoven hebben gemodelleerd hoe dit precies komt en Guido Schmeits schreef er een leuk artikel over op Kennislink.
(Jeanine)
Vorige week stond er op nu.nl een bericht met een fijne drogredenering: Antivirusbedrijf: koop een Mac. Antivirusbedrijf Sophos deed het afgelopen half jaar onderzoek naar online bedreigingen als virussen, wormen en trojans. Een van de conclusies was dat Mac-gebruikers nauwelijks last hebben van die virussen en andere ellende. De meeste hackers richten zich op Windows, omdat veruit de meeste computers daarop draaien. Het advies van Sophos is om allemaal over te stappen op de Mac. Maar...als steeds meer mensen een Mac kopen, zullen er dan niet ook meer virussen voor de Mac komen? Dan wordt het toch interessant voor hackers om hun aandacht te verleggen?
*Ziet het licht...* En dan kan Sophos mooie antivirusprogramma's verkopen aan zowel Mac- als Windows-gebruikers. Juist. Slim bedacht van Sophos!
Een mooie drogredenering is ook te vinden op de site van Pythagoras. In dit stukje wordt bewezen dat a = b voor elke twee getallen a en b. Wie ziet de fout?
(Ionica)
