Wiskundemeisjes
Internetbureau Rotterdam 
Archief voor categorie 'Nieuws'
Deze week organiseert Vierkant kamp B, het wiskundekamp voor jongeren uit klas 1 en 2 van de middelbare school. Net als de deelnemers van kamp A beginnen zij elke dag met ochtendproblemen.
Ochtendprobleem 1: leeftijden
Een wiskundestudent komt een café binnen, bestelt wat te drinken en begint een gesprek met de barman. De barman vertelt de student dat hij 3 kinderen heeft. "En hoe oud zijn ze?" vraagt de student nieuwsgierig. "Welnu," zegt de barman, "het product van hun leeftijden is 72." De student denkt na en zegt na een tijdje: "Maar dat is niet genoeg, ik moet meer informatie hebben!" "Oké," zegt de barman, "als je naar buiten loopt en kijkt welk huisnummer dit café heeft, weet je de som van hun leeftijden." De student loopt naar buiten, komt even later weer terug, en zegt: "Ik weet nog steeds niet genoeg!" De barman zegt daarop: "Mijn jongste dochter is gek op ijs!"
Hoe oud zijn de kinderen en wat is het huisnummer van het café?
Ochtendprobleem 2: vierendelen
Deel het getal 45 zodanig in vier delen dat het volgende geldt: als ik bij het eerste deel 2 optel, van het tweede deel 2 aftrek, het derde deel met 2 vermenigvuldig en het vierde deel door 2 deel, krijg ik steeds dezelfde uitkomst.
Ochtendprobleem 3: blokletters
Beschouw alle getallen waarvan de naam, in blokletters geschreven, uit alleen rechte lijnstukken bestaat (bijvoorbeeld: "EEN" bestaat uit elf rechte lijnstukken). Kun je een getal vinden dat even groot is als het aantal lijnstukken dat je nodig hebt om het getal in blokletters te schrijven?
Kunnen jullie ze ook oplossen?
(Jeanine)
Vandaag gaat in Lunteren het eerste wiskunde zomerkamp van deze zomer van Vierkant van start! Deze week worden kinderen uit groep 6 t/m 8 van de basisschool beziggehouden met leuke puzzeltjes en problemen. De onderwerpen die uitgebreid aan de orde komen zijn knopen, fractals, kansrekening en wiskundig tekenen. Bovendien kunnen ze nadenken over koning Tuku en het tegeldoolhof en knutselen aan een creatieve opdracht!
Maar zoals op ieder Vierkantkamp het geval is, begint elke dag met een reeks ochtendproblemen, om goed wakker te worden en de geest te scherpen! Twee van de ochtendproblemen van dit jaar staan hieronder, als een goed begin van de week voor onze lezers.
Ochtendprobleem 1
Jan heeft zes kaarten waarop de cijfers 2, 3, 4, 5, 6 en 7 staan (één cijfer per kaart). Hij vormt hiermee twee getallen van elk drie cijfers. Eén van de getallen is het dubbele van het andere getal.
Welke getallen heeft Jan gevormd? (Er zijn drie mogelijkheden!)
Ochtendprobleem 2
Op een eiland zijn twee typen bewoners, ridders en schurken. Ridders spreken altijd de waarheid, en schurken liegen altijd. Een bewoner zegt: “Mijn zus en ik zijn allebei ridders of allebei schurken.”
Wat voor type bewoner is de zus?
(Jeanine)
Als je met schenkstroop probeert om op een pannenkoek je naam te schrijven of een hartje te tekenen, kunnen er twee dingen gebeuren. Óf je krijgt een mooie, egale lijn, óf je krijgt een flubberige lijn die afwisselend uit bobbeltjes en dunne sliertjes bestaat. Wiskundigen uit Eindhoven hebben gemodelleerd hoe dit precies komt en Guido Schmeits schreef er een leuk artikel over op Kennislink.
(Jeanine)
Vandaag stond in het Financieele Dagblad een artikel over het tekort aan wiskundigen voor het bedrijfsleven. Hoewel niemand mij nog heeft gebeld voor zo'n baan met een aanvangssalaris van 4500 euro, is het toch fijn om te weten dat wiskundigen gewild zijn. Het is minder leuk om te lezen, dat het niveau van de opleidingen lager wordt. Hieronder vind je een stuk van het artikel.
(Ionica)
Bank jaagt op schaarse bèta’s
Banken, verzekeraars en pensioenfondsen kampen met een groot gebrek aan wiskundig talent. Scholieren tonen nauwelijks belangstelling voor technische studierichtingen en Nederlandse studenten in toegepaste wiskunde worden al op de campus benaderd door grote buitenlandse zakenbanken als JPMorgan, Morgan Stanley en Goldman Sachs .
‘Daardoor loopt de positie van Nederland als innovatief financieel centrum gevaar’, zegt Jean Frijns, die bijna twintig jaar verantwoordelijk was voor het beleggingsbeleid van pensioenfonds ABP en tegenwoordig is verbonden aan de Vrije Universiteit. ‘Kennis die nodig is voor de waardering van derivaten komt bijvoorbeeld al vaak uit het buitenland.’
Volgens Bert Bruggink, de hoogste financiële man bij Rabobank, loopt het tekort aan kwantitatief geschoolde mensen alleen al bij zijn werkgever op tot ‘tientallen per jaar’. ‘Het zijn hoogwaardige banen met aanvangssalarissen van minimaal €4500 per maand. In toenemende mate vormen deze mensen het hart van de financiële instellingen. Met als gevolg dat ook de werkgelegenheid van talloze advocaten, adviseurs en accountants van hen afhankelijk is.’
...
Ook over de kwaliteit van het wiskundeonderwijs toont de financiële sector zich allerminst tevreden. ‘Vijf jaar geleden kon ik mijn studenten aanmerkelijk ingewikkeldere opdrachten voorschotelen’, zegt Jean Frijns. ‘Het niveau is helaas sterk achteruit gegaan.’
Dat is deels te wijten aan het onderwijssysteem. ‘Universiteiten worden afgerekend op het aantal studenten dat zij afleveren’, aldus Hans Nieuwenhuis, hoogleraar econometrie in Groningen. ‘Als ik bij de examens te moeilijke vragen stel, krijg ik last met mijn collega’s. Zij zijn bang dat het ten koste gaat van het budget van de vakgroep.’
Verder blijft de instroom van studenten sterk achter bij de behoefte. ‘Vroeger had ik tachtig tot honderd eerstejaars’, zegt Nieuwenhuis. ‘Tegenwoordig ben ik al blij met dertig studenten.’
Sommen van kwadraten
Een bekende stelling uit de getaltheorie vertelt ons dat ieder positief geheel getal te schrijven is als een som van 4 kwadraten. Deze stelling is in 1770 door Lagrange bewezen. Het begin van het lijstje ziet er als volgt uit.
Een voor de hand liggende vraag is de volgende: zijn er nog meer van dit soort uitdrukkingen die alle positieve gehele getallen representeren en hoe kun je zien of een bepaalde uitdrukking dat doet?
Gehele positief-definiete kwadratische vormen
De 290 stelling geeft een verrassend antwoord op deze vraag: als je van een bepaald soort uitdrukking al weet dat hij een lijstje van 29 getallen representeert, dan weet je meteen dat hij alle positieve gehele getallen representeert! Maar eerst moeten we natuurlijk bedenken wat er in de vraag bedoeld wordt met "dit soort uitdrukkingen". Een mogelijk antwoord is: gehele positief-definiete kwadratische vormen. Dat is een hele mond vol, dus laten we per woord bekijken wat dat nou precies voor vormen zijn.
Voorbeelden van kwadratische vormen zijn:
x2 + y2,
x2 + y2 + z2 + u2,
1/2 xz,
x2 - 4z2 en
x2 + y2 + z2 - 14xz + 5yz.
Een kwadratische vorm is een som van termen die allemaal bestaan uit óf het kwadraat van een variabele, óf het product van twee variabelen, met een getal ervoor. De volgende uitdrukkingen zijn dus géén kwadratische vormen:
x2 - 2x,
x2 + 4 en
xy - 5xyz.
Merk op dat als je voor alle variabelen die voorkomen 0 invult, dat er dan altijd 0 uitkomt, wat je kwadratische vorm ook is!
Een gehele kwadratische vorm is een kwadratische vorm waarbij de getallen die voor de variabelen staan gehele getallen zijn.
Nu zijn we bij het laatste woord beland: positief-definiet. Een gehele kwadratische vorm noemen we positief-definiet in het volgende geval: als je gehele getallen invult, komt er altijd een getal groter dan 0 uit, behalve als je voor alle variabelen 0 invult, dan komt er 0 uit. De vorm x2 + y2 is dus inderdaad positief-definiet, want als x of y ongelijk aan 0 is, dan is x2 + y2 groter dan 0. Zo is het ook makkelijk te zien dat x2 + y2 + z2 + u2 positief-definiet is. De vorm x2 - 4z2 is niet positief-definiet: als je bijvoorbeeld x=1 en z=1 invult komt er -3 uit. Ook x2 + y2 + z2 - 14xz + 5yz is niet positief-definiet, want deze vorm representeert -12 (neem x=1, y=0 en z=1).
De 290 stelling
Nu zijn we ver genoeg om de mededeling die de 290 stelling doet te kunnen begrijpen. Deze stelling werd onlangs bewezen door Manjul Bhargava en Jonathan P. Hanke. Het is een beetje een bizarre stelling, met 29 getallen die volledig uit de lucht lijken te vallen. De 290 stelling luidt als volgt.
Als een gehele positief-definiete kwadratische vorm de getallen 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203 en 290 (vandaar de naam!) allemaal representeert, dan representeert de vorm alle positieve gehele getallen!
De stelling zegt dus iets heel sterks: als je een gehele positief-definiete kwadratische vorm hebt, dan hoef je maar voor een eindig aantal, namelijk 29, getallen te controleren of ze door deze vorm gerepresenteerd worden. Als dat het geval is, dan weet je meteen dat alle positieve gehele getallen er uit kunnen komen! Je hoeft dus niet voor alle getallen na te gaan of ze gerepresenteerd kunnen worden, en dat is maar goed ook, want dan zou je dat voor een oneindig aantal getallen moeten doen...
En er is nog iets leuks aan de hand: Bhargava en Hanke zijn er zelfs in geslaagd om voor elk van deze 29 getallen een gehele positief-definiete kwadratische vorm te vinden die alle positieve gehele getallen representeert, behalve dat ene getal! Dat betekent dat uit dat lijstje van 29 ook echt geen enkel getal meer weg te laten valt.
Hier kun je nog meer lezen over Manjul Bhargava en de 290 stelling (in het Engels).
(Jeanine)
Leo Beenhakker bevestigt in een interview met Graphic Ghana wat de wiskundemeisjes al langer vermoedden: voetbal is geen wiskunde.
...But football is not played on paper, it is played on a pitch. This game is not mathematics and in football two plus two very rarely equals four — it’s usually three or five...
(Ionica)
Een paar weken geleden zat ik met een groepje wiskundigen te eten. Opeens vroeg iemand: "Is dat nou Serre die daar loopt? Wat doet hij hier?". Iedereen stopte met eten en draaide zijn hoofd om een glimp van de legendarische Serre op te vangen. Intussen werden de frietjes van ons bord gestolen door de vragensteller. Deze oude truc in een nieuw jasje verraste me, met welke wiskundigen zou deze vraag nog meer werken?
Aanstaande donderdag spreekt Jean-Pierre Serre in het algemeen colloquium in Leiden. Voor wie deze Abelprijswinnaar* ook wil zien: de voordracht heeft als titel Bounds for the orders of the finite subgroups of G(k) en begint om 16.00 in zaal 1 van het Gorlaeus. Meer informatie en een abstract zijn te vinden op de algemene colloquium pagina.
* Voor wie het niet wist: de Abelprijs is ongeveer de Nobelprijs voor wiskunde.
(Ionica)
Morgenmiddag tussen 16 en 17 uur zal ik samen met wiskundestudent Mark Roelands te horen zijn in het radioprogramma Wat Nou..?! van de Nederlandse Moslim Omroep, op 747 AM. We gaan praten over onze reis naar Iran van een paar weken geleden (zie ook hier). Voor wie meer wil horen over onze ervaringen in Iran met de cultuur, studenten en de mozaïeken: luisteren!
(Jeanine)
Afgelopen vrijdag werd in Nijmegen de tweede Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade (LIMO voor vrienden) georganiseerd. Zeventien teams van verschillende universiteiten namen het tegen elkaar op. Het opgavenboekje bevatte tien opgaven, bedacht door wiskundigen uit allerlei steden en vakgebieden. Per opgave kon je tien punten verdienen.
Ik vond de opgaven nogal moeilijk eruit zien. Dat kan wel eens kloppen, want het winnende team Groep van orde 4 uit Utrecht haalde `slechts' 49 van de 100 punten. Het tweede team kwam ook uit Utrecht, Taart haalde 43 punten. NSA van de Universiteit van Amsterdam werd derde met 30 punten. De prijs voor de mooiste teamnaam gaat wat mij betreft naar 37 uit Eindhoven. Het wordt immers tijd dat er een 37 genootschap wordt opgericht om een ieders favoriete priemgetal te promoten.
Hieronder staat een van de (volgens mij) iets eenvoudigere opgaven. Deze is verzonnen door Rob Tijdeman en mijn kamergenoot Sierk Rosema. Jullie hoeven de antwoorden deze keer niet op te sturen, want ze zijn al te vinden op de LIMO-site.
(Ionica)
Vandaag om kwart over twaalf kon heel Nederland genieten van Ionica's stem: Ionica werd op de radio geïnterviewd! Ze was te horen in Claudia d'r op op 3fm. Luister of download het mp3-bestand hier: Ionica op de radio.
Een Duitse jongen heeft namelijk op ietwat vergezochte wijze berekend dat Duitsland het WK voetbal van dit jaar zal gaan winnen. Dit heeft hij niet gedaan door middel van een fijn, ingewikkeld en op statistiek gebaseerd wiskundig model, nee, hij combineerde de jaren waarin Duitsland wereldkampioen werd (1954, 1974 en 1990) als volgt: 54 * 74 - 1990 = 2006! Deze gelijkheid leidt natuurlijk onvermijdelijk tot de conclusie dat Duitsland ook dit jaar wereldkampioen voetbal zal gaan worden.
Iedereen die ook maar enigszins goed bij zijn hoofd is, zal zeggen dat dit een duidelijk staaltje van numerologie is en dat je op deze manier alles wat je maar wil wel kan bewijzen. Daarom besloot de radio een echte wiskundige, namelijk Ionica, om commentaar te vragen. Ionica liet zich niet kennen en bleek volgens eenzelfde soort redenering in staat te zijn om te berekenen dat niet Duitsland, maar juist Nederland dit jaar wereldkampioen zal worden! Waarmee ze meteen aantoonde dat deze methode nergens op berust, want er kunnen natuurlijk niet twee winnaars tegelijk zijn. Hulde aan Ionica.
Op de vraag wie er dan wel zal gaan winnen antwoordde Ionica echter iets over kapsels van spelers, wat meteen aangeeft dat u van de wiskundemeisjes de komende weken geen diepgaande voetbalanalyses hoeft te verwachten. Wiskundemeisjes zijn tenslotte ook gewoon maar meisjes, en zoals het echte meisjes betaamt weten ze niets van voetbal.
Wie wel iets wil weten over verbanden tussen wetenschap en het WK voetbal kan zich verdiepen in het juni-nummer van Natuurwetenschap & Techniek, dat ons vertelt: Voetbal is net als André Hazes. Ooit een typische aangelegenheid voor het volk, nu ook salonfähig voor hoogopgeleiden. In N&T is bijvoorbeeld te lezen dat een universiteit en een voetballaboratorium een betere voetbal hebben ontworpen, die slechts uit 14 vlakken bestaat in plaats van de gebruikelijke 32. Hierdoor is de precisie van de bal, in ieder geval in het laboratorium en weggeschopt door een robotbeen, ongeëvenaard. We zullen zien of dat ook geldt op een voetbalveld.
(Jeanine)
