Wiskundemeisjes

Na het onderwijsrumoer van de afgelopen weken, dient zich een nieuwe speler aan in het discussieveld: de onderwijsraad, het adviesorgaan voor de regering op het gebied van onderwijs.

De raad reageert niet direct op de bevindingen van de resonansgroep of de NVvW, maar baseert zijn eigen conclusies op een rapport uit augustus van het IVA Beleidsonderzoek en Advies. In één casus in dit rapport worden de aansluitingsproblemen tussen het vwo en de bèta-faculteit van de Universiteit Twente behandeld. Die problemen ontstaan vooral door een gebrek aan wiskundige kennis. Het IVA constateert ongeveer dezelfde problemen als de resonansgroep en de docenten op de universiteiten:

Opgemerkt wordt dat leerlingen in het studiehuis vooral contextrijke wiskunde krijgen. Bovendien hebben ze niet meer geleerd om kennis over wiskunde op te slaan. Wel hebben ze geleerd hulpmiddelen goed te hanteren. Maar waarom een probleem op een bepaalde manier aangepakt moet worden juist weer niet. Ook wordt opgemerkt dat er minder onderwijstijd voor wiskunde beschikbaar is in het VWO.
Aangegeven wordt dat Twente niet de enige universiteit is die dit signaleert, maar dat eenzelfde beeld bij meerdere universiteiten en hogescholen bestaat conform de constateringen uit het landelijke evaluatierapport Tweede Fase.
Bovendien merkt men op dat het niveau in de loop der jaren geleidelijk aan lager is geworden. In Delft en Eindhoven, waar men al langer toetst, ziet men de divergentie steeds wat groter worden. Als mogelijke oorzaak hiervoor wijst men op het toenemend gebruik van hulpmiddelen, ook bij de eindexamens zelf.

en:

Eén van de geïnterviewden geeft aan dat het probleem aan beide kanten zit: de universiteiten willen binnen het reguliere curriculum geen verdere concessies meer doen (en kunnen dat bovendien ook niet). De aanpassingen hebben al zoveel mogelijk plaatsgevonden op basis van de input die de twee gedetacheerde wiskundedocenten hebben geleverd (zie hierboven). Terwijl het VO zegt: “dit zijn de studenten die jullie voortaan krijgen”. De studenten moeten echter vanaf het begin een bepaald niveau hebben.

In het persbericht van de onderwijsraad staan wat algemenere aanbevelingen:

Uit de peilingen blijkt geen sterke achteruitgang van de kennis voor het hele onderwijs. Een algemene conclusie dat het slecht gaat met de kennis in het onderwijs is daarom niet te trekken. Wél zijn er sterke signalen dat er een niveauverlies is voor de vakken Nederlands en wiskunde in alle onderwijssectoren.

en:

Wat wiskunde betreft is er sprake van een niveauverlies en een tekort aan reken- en formulevaardigheden. In de praktijk blijken sommige instellingen in het onderwijs nu al maatregelen te nemen om iets te doen aan deze kennistekorten bij leerlingen en studenten. De raad vraagt vo-, mbo-, hbo- en wo-instellingen systematisch na te gaan waar kennistekorten ervaren worden en daar vervolgens reparatieprogramma’s voor op te zetten. De minister moet
deze reparatieprogramma’s ruimhartig ondersteunen.

Wie is blij om dit te horen en wie niet? Laat het ons weten in de comments!

(Jeanine)

Hier schreven we al over ons artikel Autisten, genieën, horken en kluizenaars - Wiskunde en wiskundigen verbeeld in romans. Inmiddels staat de hele tekst op de site van de Academische Boekengids, dus iedereen die er niet in geslaagd is een ABG te bemachtigen kan het nu toch lezen!

(Jeanine)

Meestal mengen de wiskundemeisjes zich niet in verhitte discussies (niet online, althans). Nu doen we het toch. Er gebeuren namelijk allerlei belangrijke dingen omtrent de wiskundevoorstellen havo en vwo voor 2007 en later.

Een paar weken geleden kwam de resonansgroep wiskunde met een advies. De resonansgroep wiskunde is door de minister van OCW opgericht om de aansluiting van het nieuw voorgestelde programma voor havo en vwo op het hbo en wo te toetsen.

De belangrijkste aanbevelingen zijn:
1. Zorg ervoor dat het ontwikkelen van reken- en formulevaardigheid weer als een rode draad door het gehele wiskundeonderwijs heenloopt.
2. Splits voor alle wiskundevakken het centrale schriftelijke eindexamen (CE) in twee delen: een deel dat zonder hulpmiddelen (grafische rekenmachine en formulekaart) wordt afgenomen, en een deel waarin wel van deze hulpmiddelen gebruik mag worden gemaakt.
3. Heroverweeg de rol van contexten in het wiskundeonderwijs.

De rol van de grafische rekenmachine (GR voor vrienden) in het middelbaar onderwijs is een terugkerend gespreksthema onder docenten die de eerstejaars studenten wiskunde onder hun hoede hebben. Vaak blijkt inderdaad dat de GR teveel gebruikt wordt, waardoor basale reken- en formulevaardigheden in het gedrang gekomen zijn. Daarom leek het mij een bijzonder goed idee om deze vaardigheden apart te toetsen, zonder GR en formulekaart. Natuurlijk zie ik ook het nut van de grafische rekenmachine, het is een goede voorbereiding op rekenen en modelleren met een computer, wat in het vervolgonderwijs vaak terug zal komen.

Het bestuur van de NVvW echter was niet blij met het advies van de resonansgroep en stuurde een gepikeerde brief. Inzet is dat het programma juist op advies van de universiteiten veranderd was: uit de academische wereld bleek vraag naar vaardigheden als zelf problemen oplossen, redeneren en bewijzen. Het bestuur van de NVvW erkent dat de grafische rekenmachine vaak verkeerd gebruikt wordt en dat daar iets aan moet gebeuren, maar ziet niets in aparte toetsing op het CE.

De NVvW ontkent dus niet dat de algebraïsche vaardigheden van leerlingen niet meer zijn wat ze vroeger waren, maar zegt dat dit gecompenseerd wordt door andere vaardigheden, zoals het gebruik van computers en redeneren. De NVvW vindt dat de resonansgroep teveel nadruk legt op de algebraïsche vaardigheden en te weinig op de andere vaardigheden die daarvoor in de plaats gekomen zijn en op de andere onderdelen van het programma. Ook geeft de NVvW zelf een aantal punten waarop het wiskundeonderwijs verbeterd kan worden. Bovendien vindt het bestuur dat ook het hbo en wo verantwoordelijkheid moet nemen voor de aansluiting tussen hbo en wo.

Maar buiten deze argumenten lijkt de brief deels een persoonlijke aanval te zijn. Uit de volgende citaten blijkt dat de NVvW weinig genegen is de resonansgroep serieus te nemen en dat ze zich gepasseerd voelt:

Het lijkt ons evenmin verstandig om vanuit een verengd perspectief van doorstroomrelevantie absolute uitspraken te doen over de inhoud van de programma’s. We begrijpen de ijver van de Resonansgroep en het gevoel van urgentie van het probleem. Maar toch: het had de Resonansgroep gesierd als zij hier enige bescheidenheid had getoond, door te beseffen dat haar kennis van het programma en het onderwijs uit de aard der zaak beperkt is.

en:

Samen met docenten uit WO en HBO kijken we naar de aansluiting in de hoop er beiden wat van te leren en er beiden her onderwijs mee te verbeteren. Er is bij ons ook wel eens een verlangen naar een Resonansgroep voor het hoger onderwijs…

en:

De leraren waren met opzet geweerd uit de Resonansgroep. We bieden u hierbij de reactie van het veld aan en hopen dat u die in de uiteindelijke besluitvorming zult willen betrekken. Een stellingenstrijd heeft geen enkele zin, we moeten het samen doen.

Voor een uiterst degelijk commentaar op de brief van het bestuur van de NVvW verwijs ik jullie door naar de reactie van Henk Pfaltzgraff, die ook spreekt vanuit de onderwijspraktijk.

En dan nu de vraag aan onze lezers: hoe denken jullie (leerlingen, studenten, leraren, academici) over al deze onderwijsvernieuwingen? En hoe hebben jullie de overgangsproblemen tussen vwo en wo ervaren?

(Jeanine)

Ze zijn er: de wiskundemeisjes-t-shirts!

De shirtjes zijn vanaf nu voor iedereen te koop in de shop (voortaan is ook rechts in de balk een linkje te vinden naar de winkel). De verkoop van de shirtjes loopt helemaal via Shirtcity, daar zijn wij dus ook niet verantwoordelijk voor. Maar we willen natuurlijk wel zoveel mogelijk wiskundemeisjes-t-shirts op straat tegenkomen!

Er zijn verschillende kleuren & modellen. Voor meisjes/dames zijn ze er in donkerblauw met roze print en in zwart met witte print. Voor jongens/heren zijn ze er in donkerblauw met lichtblauwe print en in donkerbruin met gele print (op een retroshirt). Voor als je nog niets op je sinterklaasverlanglijstje had staan!

Lex Schrijver heeft samen met Martin Grötschel en László Lovász de John von Neumann Theory Price gekregen! Ze kregen de prijs voor hun baanbrekende werk op het gebied van de discrete optimalisering. Meer informatie is te vinden in het persbericht van het CWI. De wiskundemeisjes feliciteren de winnaars natuurlijk van harte!

(Jeanine)

Vandaag is de nieuwe Academische Boekengids verschenen, met daarin een artikel van jullie favoriete wiskundemeisjes: Autisten, genieën, horken en kluizenaars - Wiskunde en wiskundigen verbeeld in romans. Als je een medewerker bent aan de universiteiten van Leiden, Groningen, Amsterdam of Utrecht: spoed je naar de grote stapels gratis ABG's! Zo niet: soms zijn ze bijvoorbeeld te vinden bij Kooijker in Leiden. Over vier weken verschijnt het artikel ook integraal op www.academischeboekengids.nl.

(Jeanine)

In september schreven we al een stukje over de leuke rekenprijsvraag van Pythagoras over Coster-getallen. Een Coster-getal is een geheel getal dat je met +, -, x en : kunt maken uit zijn eigen cijfers, waarbij elk cijfer precies twee keer wordt gebruikt. In de meer dan vijftig reacties op dat stukje zijn jullie als een dolle aan de slag gegaan om grote Coster-getallen te zoeken en algemene formules te bewijzen. Matthijs Coster (die de Coster-getallen verzon) stuurde ons een overzicht van de stand van zaken. De volgende tekst is van hem afkomstig. We hopen dat in de reacties op dit stukje weer de nodige vragen beantwoord zullen worden!

De speurtocht naar Coster-getallen heeft velen in de greep. Niet alleen scholieren zijn op zoek naar Coster-getallen onder de 200, maar er wordt ook naarstig gezocht naar grotere Coster-getallen. Op 16 januari, daags na de sluitingstermijn van de prijsvraag zal de redactie van het wiskundetijdschrift Pythagoras een lijst van Coster-getallen bekendmaken.

Tot op heden ontving de redactie al diverse inzendingen. De meest gangbare methode was het berekenen van N=2^a 3^b, waarbij a en b forse getallen zijn. Zo laat Tim op Wiskundemeisjes zien dat 2⁷⁶⁴ 3³⁸² een Coster-getal is. Inmiddels is echter bekend dat het grootste Coster-getal nooit gevonden zal worden, want er zijn oneindig veel Coster-getallen. Neem de rij 45, 4545, 454545, 45454545, .... In hun reacties op de Wiskundemeisjes laten Albert Hendriks en Arjen Stolk zien dat vanaf lengte 32 al deze getallen Coster-getallen zijn. Eerder stuurde David Kloet de rij 55555555, 5555555555555555, ... in, die ook allen Coster-getallen zijn.

Daarmee is een deel van de prijsvraag tot een goed einde gebracht. Maar desondanks kan iedereen nog inzenden en meedingen naar de schoonheidsprijs. Na de sluitingstermijn gaat de jury bekijken wie de meest originele inzending had. Hierbij nog vier interessante problemen om nog over na te denken.
Probleem 1: Probeer het kleinste Coster-getal te vinden groter dan 10ⁿ, voor n = 5,6,....
Probleem 2: De bewijzen dat er oneindig veel Coster-getallen bestaan die tot nog toe bij de redactie, zijn gebaseerd op de constructie van een oneindige reeks van Coster-getallen, zoals 55555555, 5555555555555555, ... en 45,4545,454545,45454545,.... Aan een dergelijke reeks gaan we een waarde toekennen, namelijk het aangepaste meetkundige gemiddelde. We nemen het product van de cijfers, als deze cijfers groter of gelijk aan 3 zijn. Elke combinatie van 1 en 2 laten we samen meetellen als een 3. De resterende tweeën tellen als 2. De resterende enen tellen mee als de derdemachtswortel uit 3. De motivatie is dat je probeert om zo groot mogelijke getallen te maken door toepassen van de gebruikelijke bewerkingen. Kleine getallen moet je zoveel mogelijk samenvoegen tot factoren 3. De vraag is nu om voor een reeks van Coster-getallen dit aangepaste meetkundig gemiddelde (zeg maar Coster-waarde) te minimaliseren.
Probleem 3: Onderzoek de binaire Coster-getallen. Tot nog toe vond ik 1,2,3,7,15 en 63. Zijn er meer?
Probleem 4: Nu gaan we kijken naar Coster-getallen in het 3-tallig stelsel. Zijn er oneindig veel Coster-3-getallen? Wat is de kleinst mogelijke Coster-3-waarde?

(Ionica)

ps Deze tekst is een sterk ingekorte versie (met wat minder mooie wiskundige formules), wie de hele tekst van Matthijs Coster wil lezen kan deze pdf-file downloaden. In deze file gaat hij ook dieper in op de gebruikte methodes en zijn ideeën over probleem 3.

We schreven hier en hier al over Terence Tao, omdat hij dit jaar al een Fields Medal en een MacArthur Fellowship gekregen heeft. Nu is hij weer in de prijzen gevallen: hij kreeg ook de SASTRA Ramanujanprijs! Lees verder over Terence Tao en zijn prijs in het kennislinkartikel van Alex van den Brandhof.

(Jeanine)

Vorige week vrijdag zagen Jeanine en ik op het IMAPP symposium grootheden als Roger Penrose, Gerard 't Hooft en Don Zagier spreken. Het thema van de dag was de vraag: Waar komt het heelal vandaan? We hebben deze dag niet voor jullie als uitje aangekondigd, omdat het congres al weken van te voren volgeboekt was.

Het goede nieuws is, dat je op deze site (bijna) alle presentaties kan downloaden als filmpjes. Dit is een screenshot van de presentatie van Don Zagier.

Don Zagier (voor wie hem niet kent) was een heus wonderkind, dat op zijn 16de afstudeerde aan het MIT en op zijn 25ste al professor werd. Zijn presentatie zat vol grappen, oneliners en mooie wiskunde. Ik heb de film nog niet teruggekeken, maar ik herinner me een mooie uitspraak die bedoeld was voor de natuurkundigen in de zaal:

Maybe you don't like equations. Let me write them really big. Maybe you like big equations better? (Schrijft heel grote tekens op het bord, gevolgd door gelach uit de zaal.) Well, at least everyone likes jokes.

(Ionica)

Morgen promoveert Aline Honingh aan de UvA op een proefschrift dat de wiskundige kanten van toonsystemen bekijkt. Al heel lang is bekend dat je keuzes moet maken bij het stemmen van een instrument: als je op een piano op elke toon reine kwinten en reine octaven wil kunnen spelen, passen de tonen niet precies in elkaar (na een geheel aantal kwinten kom je nooit op een geheel aantal octaven), dus dan heb je oneindig veel toetsen nodig (zie ook wat wikipedia ons vertelt over de Pythagoreïsche komma).

In de loop der tijd zijn verschillende oplossingen bedacht voor dit probleem. Ons gebruikelijke toonsysteem verdeelt een octaaf in 12 gelijk stukken, deze verdeling benadert de meeste intervallen goed. Waarom is dat een goed systeem? Kunnen we een octaaf ook in een ander aantal stukken verdelen en klinkt de muziek met die tonen nog steeds mooi? Uit Honinghs onderzoek blijkt dat de optimale waarden voor dit aantal 12, 15, 19, 27, 31, 34, 41, 46 en 53 zijn. Christiaan Huygens heeft inderdaad een 31-toonsverdeling bedacht! Wie meer wil lezen kan dat doen op kennislink.

(Jeanine)