Wiskundemeisjes

Omdat er geen Nobelprijs is voor wiskunde, worden allerlei andere prijzen als de Fields medaille of Abelprijs "de Nobelprijs van de wiskunde" genoemd. Gelukkig is er wel een Ig Nobel prijs voor wiskunde. Elk jaar worden deze prijzen uitgereikt aan wetenschappers die onderzoek doen waar je eerst om moet lachen, maar waar je later over gaat nadenken. Kijk op de website Improbable Research voor talloze amusante voorbeelden.

De Ig Nobel prijs voor wiskunde ging dit jaar naar Dr Piers Barnes en Nic Svenson voor het beantwoorden van de vraag:

Hoeveel foto's moet je nemen van een groep om er behoorlijk zeker van te zijn dat niemand op de foto zijn ogen dicht heeft?

Dit is een bekend probleem, dat de wiskundemeisjes niet zullen illustreren met een foto van zichzelf, maar met een gezellige galafoto van vier mensen die wij niet kennen.

Laten we de bovenstaande vraag eens iets wiskundiger formuleren:

Hoeveel foto's maken moet je maken van een groep van n mensen om 99 % kans te hebben op een foto waarop niemand zijn ogen dicht heeft?

Gemiddeld knippert iemand die op de foto gezet wordt tien keer per minuut met zijn ogen. Elke knippering duurt zo'n 250 milliseconden. Een camera heeft bij goed licht ongeveer 8 milliseconden nodig om de foto te belichten. Barnes maakte verder de aannames dat knipperingen onafhankelijk van elkaar zijn (als jij met je ogen knippert, dan heeft dat geen invloed op de persoon naast je) en dat ze willekeurig in tijd optreden (niemand knippert precies om de zes seconden met zijn ogen).

Noem nu x de verwachting van het aantal knipperingen per seconde per persoon en t de tijd dat de camera open is (en de foto verpest kan worden). De kans dat iemand de foto verpest door met zijn ogen te knipperen is dan xt. Hierbij gebruiken we trouwens dat de verwachte tijd tussen twee knipperingen langer is dan de tijd die nodig is om een goede foto te maken.

De kans dat iemand NIET met zijn ogen knippert als de foto wordt genomen is dus 1 - xt. Voor twee personen is de kans (1 - xt) x (1 - xt) en voor n personen (1 - xt)ⁿ. Voor een groep van n personen is de kans op een goede foto dus (1 - xt)ⁿ. Barnes berekende hiermee hoeveel foto's je moet maken om 99% kans te hebben dat er een goede tussen zit, zie de onderstaande grafiek.

Zoals je kan zien heeft Barnes ook nog onderscheid gemaakt tussen goed en slecht licht. Bij slecht licht heb je voor een groep van 30 mensen zo'n 30 foto's nodig. Als je een goede foto wilt maken van 50 mensen, dan is dat zelfs bij goed licht tamelijk hopeloos.

Barnes maakt het niet-wiskundigen nog makkelijker door een vuistregel te geven voor groepen kleiner dan 20 mensen: Deel het aantal mensen door drie bij goed licht en door twee bij slecht licht om te vinden hoeveel foto's je moet maken.

(Ionica)

Het Pythagorasjournaal vertelde ons dat het boek Flatland - A romance of many dimensions van Abbott (waarover wij hier ook schreven) verfilmd wordt. De animatiefilm zal een half uur duren en bevat actie, drama en meetkundefeiten, wat wil een mens nog meer! Aan het eind van dit jaar zal de film af zijn. Alle informatie die tot nu toe bekend is, inclusief de trailer, is te vinden op www.flatlandthemovie.com.

(Jeanine)

Dit mooie plaatje is gemaakt door Richard Palais.

Palais won dit jaar de Science and Engineering Visualization Challenge die het bekende blad Science had georganiseerd. Zijn programma 3D-XplorMath is speciaal ontwikkeld om wiskunde te visualiseren. Als je zelf zulke plaatjes wil maken, dan kun je het programma hier downloaden. Je moet wel een Apple hebben, want het programma is alleen geschikt voor Mac OS X. De wiskundemeisjes hebben het al op hun iBooks staan!

Nog meer mooie plaatjes

Frank Redig tipte ons over een ander soort mooie plaatjes. Op de website van Vincent Beffara staan verschillende mooie illustraties van random krommen die heel populair geworden zijn na de uitreiking van de Fields medaille aan Wendelin Werner in augustus. Hieronder zie je van links naar rechts Diffusion Limited Aggregation, Site-Percolation en Ising Configuration. Als je meer wilt weten over de wiskunde achter deze plaatjes, klik dan op de namen.

(Ionica)

Gisteren verbrak de Japanner Akira Haraguchi zijn eigen wereldrecord door pi tot op 100.000 decimalen uit zijn hoofd op te zeggen. De wiskundemeisjes feliciteren hem van harte. Dit is gelijk een mooie aanleiding om een liedje over pi te posten dat Arjen ons stuurde. Antoni Chan en Ken Ferrier maakten samen een parodie op de klassieker American pie. Luister naar hun Mathematical Pi. We zullen nog een keer een apart stukje schrijven over andere liedjes waar pi in voorkomt. Om de titel waar te maken: kijk eens op de website met de mooiste url ter wereld: http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com.

(Ionica)

Vandaag promoveert Merlijn Sevenster aan de UvA. Zijn onderzoek gaat over spelletjes en puzzels: kun je de moeilijkheidsgraad van een spelletje of puzzel meten? Kun je de moeilijkheid van twee verschillende soorten spelletjes vergelijken? Zijn puzzels als sudoku of Zeeslag moeilijker dan spellen voor twee spelers zoals schaken en Stratego?

Sevenster maakt onderscheid tussen spellen of puzzels met volledige informatie en met onvolledige informatie. Een spel of puzzel heeft onvolledige informatie als de speler op een bepaald moment niet van de gehele situatie op de hoogte is: hij weet niet alles dat nuttig is om te weten om een strategie te bepalen. Zeeslag, Mastermind, kwartetten en Memory zijn bijvoorbeeld spellen met onvolledige informatie, terwijl bijvoorbeeld schaken en sudoku's volledige informatie hebben. Zijn spellen met onvolledige informatie moeilijker dan spellen met volledige informatie?
Sevenster gebruikt technieken uit de theoretische informatica om te bepalen wat de moeilijkheid van een spel is. De moeilijkheid is de complexiteit van het beste computerprogramma dat een "pad naar succes" vindt, dus bij een sudoku moet zo'n programma de oplossing vinden, bij een spel een winnende strategie (een strategie die er altijd voor zorgt dat jij wint, ook als de tegenspeler steeds de slimste zet doet).

Als spellen op deze manier met elkaar vergeleken worden, blijken sudoku en Zeeslag even moeilijk te zijn. Ook heeft Sevenster laten zien dat de onvolledige informatie bij het spel Scotland Yard dat spel niet moeilijker maakt dan de meeste spellen voor twee spelers met volledige informatie.

(Jeanine)

Wiskundigen geven vaak gewone woorden een heel andere betekenis. In het geval van kussen lijkt die betekenis echter wel een klein beetje op de normale betekenis van het woord. (En om de reacties voor te zijn: ja, de etymologie van deze term ligt in het biljarten, waar "kiss" ook een gebruikelijke term schijnt te zijn.)

Het kusgetal is het aantal eenheidsbollen (dat zijn bollen met straal 1) die een eenheidsbol die het midden ligt tegelijk kunnen aanraken, zonder te overlappen. In dimensie 2 zijn bollen cirkels, en dan is het kusgetal 6, zoals je kunt zien in het volgende plaatje.

In drie dimensies is het niet zo gemakkelijk het kusgetal te bepalen. In 1694 leidde deze vraag tot een discussie tussen Isaac Newton en David Gregory: Newton dacht dat het 12 was en hij wist een manier om 12 bollen rond een centrale bol te rangschikken, maar Gregory dacht dat het met 13 ook zou kunnen. Newton bleek uiteindelijk gelijk te hebben. Het duurde tot de negentiende eeuw voor sommige wiskundigen een bewijs vonden, maar het eerste gedetailleerde bewijs is van Schütte en Van der Waerden uit 1953. Het elementairste bewijs dat er is, is echter niet heel makkelijk. Dat komt vooral doordat er oneindig veel verschillende manieren zijn om 12 bollen op een dergelijk manier rond een centrale bol te rangschikken. De buitenste 12 bollen raken elkaar niet allemaal precies, en ze kunnen dus allemaal een beetje vrij verschuiven, terwijl ze de bol in het midden blijven raken.

Het begrip kusgetal bestaat ook in hogere dimensies, maar het is nog maar voor weinig dimensies bekend. In dimensies 8 en 24 weten we het kusgetal wel: het is 240 in dimensie 8 en 196560 in dimensie 24. In feite is het bepalen van deze twee getallen makkelijker dan het bepalen van het kusgetal in dimensie 3, omdat in dimensies 8 en 24 de rangschikking van de bollen om de middelste bol uniek is, er is maar één manier om ze te laten raken aan de middelste bol (hierbij noemen we twee configuraties hetzelfde als ze in elkaar kunnen worden overgevoerd door draaien of spiegelen). Pas in 2003 werd het kusgetal in dimensie 4 bepaald door Musin, het is 24.

In andere dimensies dan 2, 3, 4, 8 en 24 weten we het kusgetal nog niet. Wel zijn er bovengrenzen bepaald: getallen waarvan we weten dat het kusgetal voor die bepaalde dimensie eronder ligt. Delsarte vond in 1970 een manier om dat te doen.

Maar nu hebben twee onderzoekers een manier gevonden die betere bovengrenzen geeft dan de methode die er al was! Frank Vallentin (van het CWI in Amsterdam) en Christine Bachoc (van de Université Bordeaux) hebben de kusgetallen voor dimensies 2, 3, 4, 8 en 24 opnieuw gevonden. Voor dimensie 5 hebben ze de bovengrens van 45 naar 44 teruggebracht, terwijl bijvoorbeeld in dimensie 10 de bovengrens met wel 27 bollen teruggebracht is. Ze hebben resultaten gebruikt van Spinozaprijswinnaar Lex Schrijver, die ook op het CWI werkt.

Zie ook het persbericht van het CWI en het artikel op kennislink. Voor de wiskundigen onder jullie: een beetje meer informatie en vooral literatuurverwijzingen naar de oudere bewijzen over dit onderwerp kun je vinden in het boek Sphere Packings, Lattices and Groups van Conway en Sloane.

(Jeanine)

Mijn moeder zit soms beter op het wiskundenieuws dan ik. Ze mailde me gisteren of ik al gelezen had over Perelman, Yau en Nasar. Wat is het geval? Sylvia Nasar (die het boek A beautiful mind schreef) maakte samen met David Gruber een artikel voor The New Yorker waarin Yau wordt afgeschilderd als een heel erg nare man. Wat heeft Perelman hiermee te maken? Yau zou studenten hebben aangezet om het Poincaré-vermoeden te bewijzen en zo de eer bij Perelman weg te kapen. Het artikel impliceert dat dit een van de redenen is waarom Perelman de Fields medaille weigerde. Lees het lange artikel hier zelf: MANIFOLD DESTINY - A legendary problem and the battle over who solved it.

Minstens zo interessant om te lezen is de reactie van Yau (pdf) via een advocaat. Zodra mijn moeder hand weet te leggen op de reactie van Nasar, zijn jullie de eersten die het lezen!

(Ionica)

Als je na alle fruitgrapjes iets serieuzers wilt lezen, dan staat er een aardig artikel op Kennislink over Terence Tao. In augustus kreeg de 31-jarige wiskundige al de Fields Medal als een van de jongste winnaars ooit (dit feit werd een beetje ondergesneeuwd door de weigering van Perelman). Op 19 september was hij een van de 25 winnaars van een MacArthur Fellowship. Het grappige is dat deze prijs helemaal niet speciaal voor wiskunde is, maar voor mensen met originele ideeën in hun werk op welk vakgebied dan ook. Hier was Terence Tao ook een van de jongere winnaars, tussen muzikanten, kunstenaars en wetenschappers.

Gisteren was het grote wiskundetoernooi in Nijmegen, dat we al aankondigden in Een leuke opgave. Lees daar ook de reactie van deelneemster Johanneke, die helaas niet in de prijzen viel. Ruben van den Brink, de organisator van dit evenement, had ook wetenschapsjournalisten uitgenodigd om mee te doen aan het toernooi. Arnout Jaspers (de nieuwe hoofdredacteur van Pythagoras), Joep Engels (Trouw) en Pim van Tend namen de uitdaging aan. De onderstaande tekst heb ik gekopieerd uit het persbericht van RU-voorlichter en mede-organisator Iris Roggema (het is immers weekend).

Wetenschapsjournalisten Joep Engels, Arnout Jaspers en Pim van Tend hebben vanochtend aan de Radboud Universiteit Nijmegen de eer van de wetenschapsjournalisten hoog gehouden met een alleszins redelijke score van 280 punten uit 500. Het team wist in een uur twaalf wiskundevraagstukken uit de wiskunde-estafette voor middelbare scholieren correct te beantwoorden. De middagcompetitie - bestaande uit een cryptografievraagstuk - liet het team aan zich voorbij gaan.

De winnaars - jonge bollebozen uit Heemstede - wisten 430 punten te vergaren. De journalisten eindigden in de middenmoot. "Het voelt echt als vroeger - zo lang ingespannen achter elkaar nadenken," zei een zichtbaar vermoeide Joep Engels achteraf. Hij leverde overigens een opmerkelijk hoge bijdrage aan het puntentotaal.

Het was de vijftiende keer dat de afdeling Wiskunde deze scholierenwedstrijd organiseerde. De wiskundewedstrijd bestaat uit twee onderdelen: een tactische estafette van 20 vraagstukken in de ochtend en Sum of us; een groot complex redeneerprobleem in de middag. Dit jaar was daarvan het onderwerp cryptografie, geheimtaal. De winnaars van de Estafette én de winaars van Sum of Us winnen een vierdaagse reis naar Cambridge, de stad van Newton, vader van de moderne wiskunde.

Om de prestatie van de journalisten beter op waarde te kunnen schatten, kun je de opgaven ook zelf proberen. Je hebt een uur. En nou niet meteen gaan spieken!

Opgaven wiskundetoernooi (pdf)

Uitwerkingen wiskundetoernooi (pdf)

(Ionica)

ps De ranglijst was nog niet bekend toen dit persbericht verstuurd werd. Even later bleek dat de wetenschapsjournalisten niet in de middenmoot waren beland, maar in de top tien! Lees ook het stukje Middenmoot dat Arnout Jaspers schreef over deze dag.

Dirk van Delft brengt in zijn nieuwe boek De toppen van het kunnen - Nederlandse wetenschappers over hun drijfveren en werk 21 portretten van Nederlandse topwetenschappers samen. Een aantal hiervan is eerder verschenen in de bijlage Wetenschap & Onderwijs van NRC Handelsblad, een deel is nieuw.

De portretten bestaan elk uit twee delen: er wordt begrijpelijk uitgelegd waar de topwetenschapper in kwestie mee bezig is, maar ook wordt aandacht besteed aan zijn persoonlijke leven: zijn achtergrond en gezinssituatie, maar ook voorkeuren voor een werkomgeving met of juist zonder veel aio's, opgesloten in een werkkamer of juist op expeditie naar verre oorden.

Wiskundige Hendrik Lenstra is één van de topwetenschappers die een hoofdstuk krijgen in het boek. Hij vertelt aanstekelijk over getaltheorie en over het verloop van zijn carrière. Een mooi citaat wil ik jullie niet onthouden:
Sommigen vinden het prachtig dat cryptografische toepassingen geld opleveren, maar persoonlijk vind ik het leuker als nieuwe getaltheorie toepassingen om zeep helpt. Bij lezingen mag ik graag de bad guy spelen. Jongens, zeg ik, hier ligt een prachtkans. Onze getaltheorie kan in haar oude zuivere glorie worden hersteld als je laat zien dat ook de grootste getallen efficiënt in priemfactoren zijn te ontbinden. Zijn we die banken eindelijk weer kwijt, heerlijk onder ons, weg met de varkens die in ons rozentuintje wroeten.

Uit al de portretten spreekt enthousiasme voor het vak. Andere bèta-wetenschappers die aan de orde komen zijn bijvoorbeeld Gerard 't Hooft, Ewine van Dishoeck, Jos Engelen en Robbert Dijkgraaf. Een echte aanrader!

(Jeanine)