Wiskundemeisjes

Ig Nobel prijs voor wiskunde

Omdat er geen Nobelprijs is voor wiskunde, worden allerlei andere prijzen als de Fields medaille of Abelprijs "de Nobelprijs van de wiskunde" genoemd. Gelukkig is er wel een Ig Nobel prijs voor wiskunde. Elk jaar worden deze prijzen uitgereikt aan wetenschappers die onderzoek doen waar je eerst om moet lachen, maar waar je later over gaat nadenken. Kijk op de website Improbable Research voor talloze amusante voorbeelden.

De Ig Nobel prijs voor wiskunde ging dit jaar naar Dr Piers Barnes en Nic Svenson voor het beantwoorden van de vraag:

Hoeveel foto's moet je nemen van een groep om er behoorlijk zeker van te zijn dat niemand op de foto zijn ogen dicht heeft?

Dit is een bekend probleem, dat de wiskundemeisjes niet zullen illustreren met een foto van zichzelf, maar met een gezellige galafoto van vier mensen die wij niet kennen.

Laten we de bovenstaande vraag eens iets wiskundiger formuleren:

Hoeveel foto's maken moet je maken van een groep van n mensen om 99 % kans te hebben op een foto waarop niemand zijn ogen dicht heeft?

Gemiddeld knippert iemand die op de foto gezet wordt tien keer per minuut met zijn ogen. Elke knippering duurt zo'n 250 milliseconden. Een camera heeft bij goed licht ongeveer 8 milliseconden nodig om de foto te belichten. Barnes maakte verder de aannames dat knipperingen onafhankelijk van elkaar zijn (als jij met je ogen knippert, dan heeft dat geen invloed op de persoon naast je) en dat ze willekeurig in tijd optreden (niemand knippert precies om de zes seconden met zijn ogen).

Noem nu x de verwachting van het aantal knipperingen per seconde per persoon en t de tijd dat de camera open is (en de foto verpest kan worden). De kans dat iemand de foto verpest door met zijn ogen te knipperen is dan xt. Hierbij gebruiken we trouwens dat de verwachte tijd tussen twee knipperingen langer is dan de tijd die nodig is om een goede foto te maken.

De kans dat iemand NIET met zijn ogen knippert als de foto wordt genomen is dus 1 - xt. Voor twee personen is de kans (1 - xt) x (1 - xt) en voor n personen (1 - xt)ⁿ. Voor een groep van n personen is de kans op een goede foto dus (1 - xt)ⁿ. Barnes berekende hiermee hoeveel foto's je moet maken om 99% kans te hebben dat er een goede tussen zit, zie de onderstaande grafiek.

Zoals je kan zien heeft Barnes ook nog onderscheid gemaakt tussen goed en slecht licht. Bij slecht licht heb je voor een groep van 30 mensen zo'n 30 foto's nodig. Als je een goede foto wilt maken van 50 mensen, dan is dat zelfs bij goed licht tamelijk hopeloos.

Barnes maakt het niet-wiskundigen nog makkelijker door een vuistregel te geven voor groepen kleiner dan 20 mensen: Deel het aantal mensen door drie bij goed licht en door twee bij slecht licht om te vinden hoeveel foto's je moet maken.

(Ionica)