Wiskundemeisjes

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Een vriend grapte laatst dat dolfijnen misschien wel onterecht zo’n sympathiek imago hebben: “Je hoort alleen verhalen over dolfijnen die een drenkeling redden, maar je hoort natuurlijk nooit iets van de eenzame zwemmer die door een dolfijn juist verder mee in zee is gesleept.” Niets ten nadele van dolfijnen, maar hij had een punt. Dit is een voorbeeld van vertekening.

Voorbeeld van een minder sympathieke dolfijn

Eén van de bekendste voorbeelden van vertekening komt uit het legendarische boekje How to lie with statistics dat Daniel Huff in 1954 schreef. Huff las in de krant dat de gemiddelde afgestudeerde van Yale $25.111 per jaar verdiende (dat is vergelijkbaar met een salaris van meer dan $200.000 in deze tijd). Hij vond dat salaris wat hoog klinken en probeerde te bedenken hoe ze aan dat bedrag kwamen. Ze hadden vast niet alle afgestudeerden benaderd, maar een steekproef genomen. En wie waren dan het makkelijkste te bereiken? Degenen die succesvol en rijk waren. De kans is groot dat de mislukkelingen onvindbaar waren of geen zin hadden om te antwoorden. Zo raakte het resultaat vertekend, waarschijnlijk was het echte gemiddelde salaris een stuk lager dan die genoemde $25.111 (en Huff legt uit dat er wel meer verdacht is aan dit zeer precieze bedrag).

Het idee achter een steekproef is dat je uit een klein aantal waarnemingen iets kunt zeggen over het grote geheel. Maar dan moeten die waarnemingen wel netjes willekeurig zijn gekozen. Nog een voorbeeld. Stel dat je een rockster bent en dat in je kleedkamer altijd een porseleinen vaas eist met tweeduizend blauwe en rode M&M’s. Omdat je de moeilijkste niet bent, schrijf je niet voor wat de verhouding tussen de blauwe en rode snoepjes moet zijn. Als je een keer wilt weten hoeveel blauwe M&M’s je precies hebt, dan moet je je roadie vragen om de snoepjes één voor één te tellen. Maar als je het alleen ongeveer wilt weten, dan kun je een flinke hand snoepjes graaien, die uittellen en aannemen dat de verhouding in de hele vaas hetzelfde zal zijn. Maar als alle rode M&M’s op de bodem liggen, dan zul je onterecht concluderen dat je alleen blauwe M&M’s heb gekregen. Je moet dus wel een goede steekproef nemen.

Dit klinkt nogal simpel, maar toch gaat het vaak mis. Een internetverkiezing geeft geen representatief beeld van wat het Nederlands publiek vindt, reaguurders zijn oververtegenwoordigd, de mening van computerschuwe ouderen verdwijnt. Soms zie je bij vertekening alleen de mislukkingen: als je op internet zoekt naar de ervaringen met een medische behandeling, dan vind je vooral de horrorverhalen. De mensen waarbij alles probleemloos is gegaan, hebben veel minder behoefte om hun verhaal aan anderen te vertellen.

In sommige gevallen hoor je juist alleen de succesverhalen, net als bij de mensenreddende dolfijnen. Neem de enquête die vraagt hoe leuk mensen het vinden om enquêtes in te vullen. Die zal laten zien dat mensen het echt superleuk vinden om enquêtes in te vullen, want degenen die een hekel hebben aan enquêtes gaan deze belachelijke vraag zeker niet beantwoorden.

Deze column verscheen gisteren in de Volkskrant.

Vorige week bracht NS de punctualiteitscijfers uit van het derde kwartaal van 2011. Prima cijfers! Maar liefst 95,5 procent van de treinen was op tijd (nou ja, minder dan vijf minuten te laat, en 90,9 procent van de treinen was minder dan drie minuten te laat). Bovendien heeft 98,7 procent van de treinen gereden. De 1,3 procent niet-gereden treinen zijn overigens niet als meer dan vijf minuten te laat aangemerkt, maar soit.

Ondanks deze prachtige resultaten is slechts 57 procent van de reizigers tevreden over het op tijd rijden van treinen. Dat wil zeggen: 57 procent van de reizigers geeft de NS een 7 of meer voor punctualiteit. Dat is nogal een verschil! Hoe kan dat? Stelt NS de cijfers te rooskleurig voor, bijvoorbeeld door te snel een aangepaste dienstregeling in te stellen als er sneeuw dreigt? Of vinden reizigers elke minuut vertraging te veel?

Kan, maar dat hoeven niet de enige redenen te zijn. Ook psychologische factoren spelen een rol. Als ik zelf over vertraging nadenk, denk ik altijd eerst aan mijn meest rampzalige ervaring ooit (een reis van Leiden naar Deurne die uiteindelijk via een stroomstoring in Dordrecht, een busreis via wat schattige schaapjes bij stationnetje Lage Zwaluwe en een andere bus naar Breda na ruim vijf uur in Eindhoven eindigde). Wat ik er dan niet meteen bij denk, is dat dat al tien jaar geleden is. En dat het zo erg daarna nooit meer geworden is (de dag dat ik vanwege sneeuw überhaupt nergens heen kon even niet meegerekend). Dat ik elke week minstens twee keer op en neer naar Utrecht moet en daarbij de afgelopen maanden geen enkele keer vertraging heb gehad, vergeet ik veel gemakkelijker.

Maar ook dat hoeft het algehele gevoel niet te verklaren. Wat belangrijker is: reizigers gebruiken een andere eenheid om in na te denken dan de NS. De NS denkt in aantallen gereden treinen, maar de reiziger denkt in aantallen reizen die in het water vallen. En als een heel drukke spitstrein tussen Leiden en Utrecht een kwartier vertraging heeft, zijn daar veel meer reizen mee gemoeid dan wanneer een rustig treintje op een weinig spannend traject op tijd rijdt. Maar die tellen in de telling van de NS even zwaar mee.

Vergelijk dit maar eens met de volgende situatie. Stel dat je een schooltje hebt met drie klassen: twee klassen met tien leerlingen en eentje met veertig. Hoe zal de school deze situatie in haar promotiefolder presenteren? Waarschijnlijk met een bewering als: “Tweederde van de klassen is klein!” Rekeneenheid: klassen. Terwijl een boze ouder zal roepen: “Jawel, maar tweederde van de kinderen zit in een veel te grote klas!” Rekeneenheid: kinderen. En het is allebei waar.

Zo zie je maar: de eenheid van tellen kan het gevoel bij een uitkomst danig beïnvloeden. Vanaf dit jaar begint NS een proef met de nieuwe indicator “reizigerspunctualiteit”, waarin wel rekening gehouden wordt met de hoeveelheid reizigers. Dus ik ben benieuwd hoeveel procent van de reizen bij NS op tijd blijkt te zijn.

door grote drukte met enige vertraging, maar hier zijn ze dan, met wat hulp van random.org: de gelukkige winnaars van een exemplaar van ons boek Ik was altijd heel slecht in wiskunde!

Ed
Arie
en
Roosje!

Gefeliciteerd! We nemen per e-mail contact met jullie op.

Vanaf vandaag in de winkel: ons boek Ik was altijd heel slecht in wiskunde!

Als promofilmpje hebben we Nance, Ron Brandsteder, Lilian Helder, Johan Cruijff, Kelly en anderen die lekker bezig zijn met wiskunde.

We verloten drie exemplaren van ons boek aan lezers die in een reactie op dit bericht vertellen wat de grootste wiskundige blunder is die zij ooit (mee)maakten. Reageren kan tot en met vrijdag 21 oktober, zaterdagochtend zwengelen Jeanine en ik random.org aan om drie winnaars te kiezen!

Deze column staat vandaag in de Volkskrant. (En ik vertelde een kortere versie van dit verhaal bij DWDD, een beetje ongelukkig in het niemandsland tussen het schrijven en verschijnen van deze column. Onderaan dit stukje staat het item, ik kom pas aan het einde.)

Maandag wordt bekend gemaakt welk boek de NS Publieksprijs wint. Misschien wel Bonita Avenue van Peter Buwalda. Mijn moeder las dat boek deze zomer en bleef het maar enthousiast aanbevelen. Eén van de hoofdpersonen was een wiskundige en mijn moeder was benieuwd of ik hem geloofwaardig vond.

Ik begon met lichte tegenzin te lezen. Wiskundigen komen er in de literatuur meestal niet al te best vanaf. Ze zijn wereldvreemd, onsympathiek of knettergek. Het ergste is dat het meestal totaal oninteressante, eendimensionale personages zijn.

Over wiskundige Siem Sigerius in Bonita Avenue kun je veel zeggen, maar niet dat hij oninteressant of eendimensionaal is. Hij is charismatisch, invloedrijk en ongrijpbaar. In zijn jonge jaren blijkt hij judo-kampioen te zijn geweest. Wiskunde ontdekt Siem pas als hij met een been in het gips ligt en niet kan sporten. Hij vindt toevallig een boekje van de Nationale Wiskunde Olympiade en krijgt plezier in het kraken van de sommen. Op pagina 416 staat als voorbeeld:

Siem lost dit probleem vlotjes op, maar er staat niet hoe hij het doet. Het is natuurlijk ook een roman, geen wiskundeboek. Ik wilde toch weten hoe het moest en met wat gepuzzel lukte het me om de juiste getallen te vinden (hint: je gebruikt dat 0,SNELSNELSNELSNEL… hetzelfde is als SNEL/9999).

In het boek raakt Siem zo geïnspireerd door deze opgave dat hij een vriendje voor Ada Kok bedenkt: PELE³ = DOELPUNTEN. De oorspronkelijke eigenaar van het opgavenboekje prijst hem voor deze opgave en zegt “Ik heb mijn hele weekend besteed aan Pelé keer Pelé keer Pelé. Ik kom er niet uit.” Mij verging het hetzelfde toen ik deze puzzel probeerde, het leek wel of er helemaal geen oplossing bestond! Ik schreef hier iets over op Twitter en kreeg prompt een email van auteur Peter Buwalda. Hij bekende dat de Ada-Kok-puzzel een bestaande opgave was, maar dat hij de Pelé-variant zelf had bedacht. Tijdens het schrijven was hij nota bene al bang dat iemand zoals de wiskundemeisjes zijn puzzel zou gaan testen. Zijn angst was uitgekomen!

Het deed me deugd om te horen dat schrijvers bang zijn voor wiskundemeisjes. Maar om te laten zien dat ik helemaal niet zo angstaanjagend ben, bood ik aan om een nieuwe puzzel te verzinnen. Eéntje die wel klopt. Ik besloot dicht bij het origineel te blijven en kwam met

Deze opgave heeft een unieke oplossing, al is hij niet zo elegant stap-voor-stap op te lossen als die van Ada Kok. Maar omdat Siem deze puzzel verzint als hij nog nauwelijks iets van wiskunde weet, is dat niet zo gek.

Om de vraag van mijn moeder te beantwoorden: ik vond Siem een geloofwaardige en interessante wiskundige. En dat is nog maar één van de redenen dat Bonita Avenue een van de fijnste romans is die ik dit jaar las, dus ik stemde op Buwalda voor de NS Publieksprijs. Dat de beste moge winnen.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Kent u de uitdrukking “Volgens Bartjens…”? Volgens Van Dale betekent ze: “volgens de eenvoudigste beginselen der rekenkunde; zo nauwkeurig mogelijk berekend”, vaak gebruikt in de zin van: als je logisch doorredeneert. De spreekwoordelijke Bartjens was schoolmeester Willem Bartjens (1569 – 1638), die aan het begin van de zeventiende eeuw furore maakte met zijn rekenboek De Cijfferinghe van Mr. Willem Bartjens. Tot in de negentiende eeuw verschenen nieuwe edities van dit boek, generaties kinderen leerden dus rekenen met sommen van zijn hand.

Ook nu staat het rekenen hoog op de agenda’s van de politiek en van de middelbare scholen, want het niveau van de zogenaamde basisvaardigheden (taal en rekenen) moet opgevijzeld worden. Daarom wordt vanaf 2014 een rekentoets afgenomen als verplicht onderdeel van het eindexamen.

De rekentoets is daarmee wel een vreemde eend in de bijt. In alle andere examenvakken wordt namelijk les gegeven op de middelbare school. Rekenlessen zijn er meestal (nog) niet. Toch moeten de scholen hiermee aan de slag. Ze mogen zelf weten hoe ze dat doen. Veel scholen beginnen met jaarlijkse rekentoetsen, en geven daarvoor wat rekenlessen of besteden er in de wiskundelessen extra aandacht aan.

Eigenlijk zou ook in andere vakken extra aandacht besteed moeten worden aan rekenen, juist omdat het een basisvaardigheid is. Rekenen komt natuurlijk overal voor, denk aan scores of tijdverschillen in de gymles, berekeningen met procenten bij economie of bevolkingsdichtheden bij aardrijkskunde.

Datzelfde geldt natuurlijk voor taal. Ik vind het alleen maar vanzelfsprekend dat je als wiskundedocent in proefwerken alle taalfouten aanstreept en in de les let op formuleringen en woordbetekenis. Leerlingen leren behoorlijk wat nieuwe woorden bij wiskunde, en het is belangrijk om verbanden te leggen met woorden die ze al kennen. (Al zouden er mooiere wiskundige termen bedacht moeten kunnen worden dan, om maar een gedrocht te noemen, “relatieve cumulatieve frequentiepolygoon”.)

Tussen wiskunde en taal bestaan wel meer verbanden. In onze taal komen, naast “Volgens Bartjens…”, best wat uitdrukkingen voor waarin getallen een rol spelen. Acht is meer dan duizend, bijvoorbeeld: een mooie ouderwetse uitdrukking die letterlijk natuurlijk helemaal niet klopt. Het is een woordspeling, acht slaat hier niet op het getal, maar op oplettendheid. Oftewel: het is belangrijk om je zaken goed te behartigen, belangrijker dan veel geld.

In zo’n uitdrukking waar “duizend” in voorkomt, betekent duizend meestal gewoon: heel erg veel, meer dan je je kunt voorstellen. Denk aan: ik heb het je al duizend keer gezegd, duizend angsten uitstaan. En als je wil aangeven dat het zelfs nog meer is, zeg je duizend-en-een. Maar ook honderd of een miljoen worden op deze manier gebruikt, honderd in de oudere uitdrukkingen, en een miljoen in de nieuwere. Een soort woordinflatie.

Er zijn meer uitdrukkingen met tellen of getallen. Daarvan gaan er dertien in een dozijn. Hij is een nul. Na veel vijven en zessen. Uitgeteld zijn. Op je tellen passen. Iemand op z’n nummer zetten.

Kortom: de scholen gaan dit jaar flink aan de slag met basisvaardigheden, en niet op zijn elf-en-dertigst, want anders kun je op je vingers natellen dat de boel straks in het honderd loopt.

Zoals jullie misschien wel weten, verschijnt binnenkort ons eerste boek! Op 19 oktober ligt Ik was altijd heel slecht in wiskunde - Reken maar op de wiskundemeisjes in de winkel. Meer informatie staat op de site van Uitgeverij Nieuwezijds. Nu alvast de voorkant én de aankondiging dat we binnenkort hier een aantal exemplaren zullen weggeven aan de trouwe fans van de wiskundemeisjes!

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

De afgelopen weken sneuvelde de ene autoruit na de andere. Vooral op snelwegen in de Randstad was het steeds raak. Al snel werd er gespeculeerd over een snelwegschutter, een gek die met een luchtbuks op auto’s zou schieten. Maar er is geen enkel spoor van zo’n schutter gevonden en het Korps Landelijke Politiediensten suggereerde dat de ruiten misschien uit elkaar spatten door steenslag. Op internet klagen mensen al jaren over spontaan gesprongen autoramen. Die ruiten kunnen door allerlei oorzaken kapot springen en dat gebeurt dan ook regelmatig. Op dit moment is elke gespatte autoruit nieuws en zoeken we naar een diepere reden. Terwijl het best toeval kan zijn dat er de afgelopen weken zoveel ruiten achter elkaar sneuvelden.

Om de haverklap gebeurt er namelijk wel iets dat te bijzonder lijkt om toeval te zijn. Wiskundige John Littlewood berekende eens dat je ongeveer eens per maand een wonder kunt verwachten. Hij noemde iets een wonder als het een kans van één op een miljoen had om te gebeuren. Verder nam Littlewood aan dat je per dag ongeveer 8 uur alert was en dat er in die tijd elke seconde iets kon gebeuren. Onder deze voorwaarden zou je eens per 35 dagen een wonder moeten zien. Het is pas raar als er maandenlang helemaal niets uitzonderlijks gebeurt.

Het meest toevallige dat ik ooit meemaakte, gebeurde in 1999. Ik had in die tijd verkering met een jongen die geobsedeerd was door het getal 22. Hij zag het getal overal. Als we door de stad liepen, wees hij om de haverklap een 22 aan op bordjes, kentekenplaten en t-shirts. Ik legde hem uit dat hij overal 22 zag, omdat hij daar zo op lette. Als hij van 37 zou houden, of desnoods van 54, dan zou dát getal hem steeds opvallen. Hij bleef er bij dat er iets was met 22 en dat het zeker geen toeval was dat dit getal zo vaak opdook. Het bleef een discussiepunt tussen ons en op een dag stonden we hierover te kibbelen in de supermarkt. Al mopperend liepen we naar de kassa. Daar moesten we 22,22 afrekenen. Ik zie het bedrag nog verschijnen op het schermpje (en nee, mijn vriend had dit niet uitgeteld). Heel bijzonder, maar iedereen heeft wel iets meegemaakt dat ongeveer even onwaarschijnlijk is. Ik geloofde daarna nog steeds in toeval en niet in geheime krachten van 22.

De kassabon heb ik nog steeds. Dit waren voor mij als 20-jarige de ingrediënten voor een romantische avond: kip siam, chocolademousse en breezers.

Ik heb een hypothese hoe het komt dat we zo graag een diepere reden zoeken achter min of meer toevallige gebeurtenissen. In verhalen die mensen elkaar vertellen speelt toeval geen rol, alle losse eindjes worden weggelaten. In romans en films gebeurt niets zomaar. Twee mensen die tegen elkaar opbotsen? Dat moet ware liefde zijn. En als er in de eerste akte een geladen geweer aan de muur hangt, dan kun je er op rekenen dat daarmee geschoten gaat worden. Heel anders dan in het echte leven waar allerlei dingen zomaar gebeuren.

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Sommige mensen hebben de onbedwingbare neiging om een bizar record op hun naam te zetten, zoals je kunt zien in Guinness World Records (denk aan: een zo groot mogelijk ukelele-ensemble, zoveel mogelijk Big Macs eten, of de grootste smoothie brouwen). Niets mis met een beetje competitiedrang!

Eerder dit jaar verbraken leerlingen uit Massachusetts onder leiding van hun wiskundedocent ook een record: ze vouwden een vel papier dertien keer dubbel. Nou ja, een vel: vier kilometer wc-papier. Als je denkt dat dat makkelijk is, probeer dan maar eens hoe vaak je de voorpagina van de Volkskrant kunt dubbelvouwen.

Bij elke vouw wordt het resultaat twee keer zo dik. Het herhaaldelijk dubbelvouwen van een vel papier is dus een mooi voorbeeld van exponentiële groei: in elke stap wordt de dikte van het resultaat met hetzelfde getal vermenigvuldigd, in dit geval met 2.

Een vel papier is ongeveer 0,1 mm dik. Na één keer vouwen is het resultaat dus 0,2 mm, na twee keer 0,4 mm, en na dertien keer is het resultaat mm dik, ruim tachtig centimeter. En daarna gaat het hard, want na nog een keer vouwen heb je mijn lengte al bereikt, na twintig keer vouwen ga je over de honderd meter, en na 51 keer zijn we voorbij de afstand van de aarde tot de zon.

De groei waar we de beste intuïtie voor hebben is lineaire groei, waarbij er in elke stap (dus per uur, dag, of jaar, bijvoorbeeld) evenveel bij komt. Het verschil wordt duidelijk als we naar een hypothetisch petrischaaltje met een bacterie kijken. Als die bacterie niet deelt, maar je stopt er elk uur een bacterie bij, dan heb je na twintig uur 21 bacteriën. Dat is lineaire groei.

Maar in feite verloopt de groei van bacteriën exponentieel. Zolang er geen tekort aan ruimte of voedsel is, delen de bacteriën en verdubbelt de populatie binnen een bepaalde tijd, zeg een uur. Dus na één uur zijn er twee bacteriën, na twee uur vier, enzovoorts, en na twintig uur zijn er maar liefst bacteriën.

In beide situaties zal het schaaltje op een bepaald moment vol zijn, al duurt dat bij de lineaire groei veel langer. Als je een twee keer zo groot schaaltje hebt, kunnen de lineair groeiende bacteriën daar twee keer zo lang mee doen, maar de exponentieel groeiende bacteriën hebben daar maar één extra uur profijt van!

Ook geld op een spaarrekening groeit exponentieel, zij het veel langzamer. Als je geld op de bank zet tegen een rente van 2 procent, dan wordt het bedrag elk jaar met 1,02 vermenigvuldigd. Na 35 jaar is je geld verdubbeld. (Helaas houdt de inflatie nu bijna gelijke tred met de rente.)

En nu blijkt meteen ook hoe bizar hoog de 18,5 procent rente is die Griekenland over zijn leningen zou moeten betalen als het niet op noodleningen kon teren. Elk jaar wordt de schuld 1,185 keer zo groot, dus als de schuld niet afgelost wordt, is het bedrag na tien jaar maar liefst , dus bijna vijfeneenhalf, keer zo groot geworden!

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Deze week gaf ik samen met Bas Haring een zomercursus over exacte wetenschap. De laatste dag praatte ik over speltheorie. Eigenlijk had ik weinig met dat onderwerp, maar Bas overtuigde me ervan dat studenten van speltheorie houden. Tijdens het voorbereiden werd ik steeds enthousiaster, het vakgebied bleek veel meer dan de de saaie berekeningen die ik tijdens mijn studie moest maken.

Een prachtig voorbeeld is de beste strategie voor een spel dat te goed klinkt om waar te zijn. Een superrijk iemand nodigt je uit om tegen hem te spelen. Jullie leggen tegelijk een euro op tafel. Als er een kop en een munt naar boven liggen, moet jij hem één cent betalen. Als er twee munten naar boven liggen, krijg jij één cent. Maar (en nu komt het), als er twee koppen op tafel liggen, win je een miljoen euro. Een miljoen! Jullie gaan dit spel héél erg vaak achter elkaar spelen en je ziet de miljoenen al binnen stromen.

Wat is nu je beste strategie? Om kans te maken op een miljoen moet je kop spelen, dus je overweegt gewoon altijd kop te doen. Maar als je tegenspeler steeds munt speelt (zo loopt hij geen risico om een miljoen te verliezen), dan ben jij elke keer één cent kwijt. Op den duur wordt dat toch vervelend. Daarom is het misschien beter om consequent munt te spelen en steeds één cent te winnen. Zo maak je winst, al is het bedrag wat teleurstellend vergeleken bij die miljoenen waar je op hoopte.

Speltheorie zegt dat de beste strategie voor zowel jou als je tegenspeler is om bijna altijd munt te spelen en ongeveer één op de 100 miljoen keer kop. Je zou verwachten dat het voor je tegenstander het beste is om nóóit kop te spelen, hij zet daarbij immers een miljoen op het spel. Maar als jij zeker weet dat je tegenstander altijd munt speelt, zul jij ook altijd munt spelen en zal je bij elk spel een cent winnen. Daarom gooit je tegenstander er (heel af en toe) een kop tussendoor.

Dit soort strategieën waarbij je soms iets doet dat nogal dom lijkt, komen vaak voor. Een werper bij honkbal heeft een beste manier van gooien, maar als hij die altijd gebruikt, weet de slagman precies wat er gaat komen. Daarom zal hij af en toe een andere, minder goede, aangooi gebruiken. Of denk eens aan Michael Chang die bij de finale van Roland Garros in 1989 ineens een lullig boogballetje speelde. Zijn tegenstander was zo verbaasd dat hij niet goed reageerde. (Het filmpje staat hier, mag helaas niet embed worden.)

Het mooiste voorbeeld komt uit de biologie. Er is een gen dat je immuun maakt voor malaria. Tenminste, als je één zo’n gen hebt. Als je de pech hebt om twee van die genen te erven, krijg je de dodelijke ziekte sikkelcelanemie. Je zou denken dat zo’n gevaarlijk gen door natuurlijke selectie snel verdwijnt, maar het komt nog steeds voor in gebieden waar malaria heerst. Het voordeel van de bescherming tegen malaria weegt op tegen de zeldzame sikkelcelanemie. Het lijkt wel alsof zelfs de natuur van speltheorie houdt.