Wiskundemeisjes

Papier vouwen, bacteriën en rente

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Sommige mensen hebben de onbedwingbare neiging om een bizar record op hun naam te zetten, zoals je kunt zien in Guinness World Records (denk aan: een zo groot mogelijk ukelele-ensemble, zoveel mogelijk Big Macs eten, of de grootste smoothie brouwen). Niets mis met een beetje competitiedrang!

Eerder dit jaar verbraken leerlingen uit Massachusetts onder leiding van hun wiskundedocent ook een record: ze vouwden een vel papier dertien keer dubbel. Nou ja, een vel: vier kilometer wc-papier. Als je denkt dat dat makkelijk is, probeer dan maar eens hoe vaak je de voorpagina van de Volkskrant kunt dubbelvouwen.

Bij elke vouw wordt het resultaat twee keer zo dik. Het herhaaldelijk dubbelvouwen van een vel papier is dus een mooi voorbeeld van exponentiële groei: in elke stap wordt de dikte van het resultaat met hetzelfde getal vermenigvuldigd, in dit geval met 2.

Een vel papier is ongeveer 0,1 mm dik. Na één keer vouwen is het resultaat dus 0,2 mm, na twee keer 0,4 mm, en na dertien keer is het resultaat mm dik, ruim tachtig centimeter. En daarna gaat het hard, want na nog een keer vouwen heb je mijn lengte al bereikt, na twintig keer vouwen ga je over de honderd meter, en na 51 keer zijn we voorbij de afstand van de aarde tot de zon.

De groei waar we de beste intuïtie voor hebben is lineaire groei, waarbij er in elke stap (dus per uur, dag, of jaar, bijvoorbeeld) evenveel bij komt. Het verschil wordt duidelijk als we naar een hypothetisch petrischaaltje met een bacterie kijken. Als die bacterie niet deelt, maar je stopt er elk uur een bacterie bij, dan heb je na twintig uur 21 bacteriën. Dat is lineaire groei.

Maar in feite verloopt de groei van bacteriën exponentieel. Zolang er geen tekort aan ruimte of voedsel is, delen de bacteriën en verdubbelt de populatie binnen een bepaalde tijd, zeg een uur. Dus na één uur zijn er twee bacteriën, na twee uur vier, enzovoorts, en na twintig uur zijn er maar liefst bacteriën.

In beide situaties zal het schaaltje op een bepaald moment vol zijn, al duurt dat bij de lineaire groei veel langer. Als je een twee keer zo groot schaaltje hebt, kunnen de lineair groeiende bacteriën daar twee keer zo lang mee doen, maar de exponentieel groeiende bacteriën hebben daar maar één extra uur profijt van!

Ook geld op een spaarrekening groeit exponentieel, zij het veel langzamer. Als je geld op de bank zet tegen een rente van 2 procent, dan wordt het bedrag elk jaar met 1,02 vermenigvuldigd. Na 35 jaar is je geld verdubbeld. (Helaas houdt de inflatie nu bijna gelijke tred met de rente.)

En nu blijkt meteen ook hoe bizar hoog de 18,5 procent rente is die Griekenland over zijn leningen zou moeten betalen als het niet op noodleningen kon teren. Elk jaar wordt de schuld 1,185 keer zo groot, dus als de schuld niet afgelost wordt, is het bedrag na tien jaar maar liefst , dus bijna vijfeneenhalf, keer zo groot geworden!