Wiskundemeisjes

Ben je tussen de 12 en 19 jaar oud en vind je puzzels leuk? Misschien heb je ze dan al gezien: wiskundige kaarten met puzzels erop! Vanaf vandaag worden ze uitgedeeld op scholen, maar ze staan ook alle vijf op de site van Bricks. Hieronder zie je bijvoorbeeld puzzel 3.

In deze sudoku zitten ook nog 5 magische 3x3-vierkanten: de dik omlijnde vakjes en de 4 kleurvlakken. De 4 kleurvlakken zijn identiek. Trouwens, op één punt zijn alle vijf de magische vierkanten identiek. Een magisch 3x3-vierkant bevat de getallen 1 t/m 9 en de som van alle kolommen, van alle rijen en van beide diagonalen is hetzelfde.

Kijk op de site van Bricks wat je met je oplossing moet doen. Houd die site ook in de gaten als het niet lukt om een oplossing te vinden, want in de loop van deze week verschijnen er soms opeens nieuwe hints!

Als je vier of vijf puzzels op kunt lossen, maak je kans op zo'n fijne iPod nano, of op nog meer leuke prijzen. Meedoen kan tot 31 mei.

(Jeanine)

Voor wie van puzzels houdt is de website van Peter Hendriks een leuke tip. Elke week publiceert hij daar een puzzel.

De puzzel van deze week is de volgende:

De vijtien blokken op het bord zijn in drie kleuren geschilderd. Tegenover elkaar liggende zijden op een blok hebben dezelfde kleur.

Een blok kan omgerold worden als ernaast een lege plek is. Zo kan (bijvoorbeeld) het blok op positie 3 naar positie 7 gerold worden, en komt er een gele zijde boven. Vervolgens zou het blok op 2 naar 3 gerold kunnen worden, waarbij rood boven komt.

De opgave van deze week is om, in zo weinig mogelijk zetten (rollingen), de bovenkanten van alle blokken in dezelfde kleur te krijgen.

Hoe moeten de blokken worden gerold?

Mail je antwoord naar Peter Hendriks!

(Jeanine)

Er staan twee broers op een splitsing en jij wil weten welke kant je op moet. Je weet dat één van de broers altijd liegt, de andere spreekt altijd de waarheid. Je mag maar één vraag stellen. Wat doe je?

Na deze strip geeft ook xkcd zijn geheel eigen versie van dit probleem.

(Jeanine)

De Universitaite Wiskunde Competitie (UWC voor vrienden) staat bekend om de lastige vragen. Deze keer staat er een vraag in die niet heel moeilijk lijkt (maar schijn kan bedriegen).

Zeventien studenten doen mee aan een toernooi met drie sporten: badminton, squash en tennis. Elk tweetal studenten speelt tegen elkaar in precies één van de drie sporten. Laat zien dat er een groep van minstens drie studenten bestaat waarin onderling gestreden wordt in één en dezelfde sport.

Iedereen mag tot 1 maart oplossingen insturen, kijk op de site van de UWC voor meer informatie en de originele Engelse formulering van het probleem.

(Ionica)

Eerder deze week plaatsten we een raadsel over muntjes op de tafel. In de reacties heeft Maarten al de juiste oplossing gegeven. Wil je het antwoord ook van iemand anders horen? Het raadsel is verzonnen door Peter Winkler en in dit fragment (mp3) babbelt hij eerst wat over bridge voor hij uitlegt waarom het inderdaad altijd lukt met 400 munten. Het geluidsfragment komt uit The Math Factor, een serie podcasts over wiskunde vol lastige raadsels. Om de week komt er vanuit Arkansas een nieuwe aflevering met steeds een andere gast. De wiskundemeisjes zouden zoiets ook wel in Nederland willen hebben, heeft een van jullie vrienden bij de radio?

(Ionica)

Het is weer eens tijd voor een leuke puzzel. Later deze week volgt de oplossing!

Stel dat je een rechthoekige tafel hebt waarop 100 munten van dezelfde grootte liggen. De munten liggen nergens over elkaar heen. De munten liggen zo dat je op geen enkele plek nog een 101ste muntje ertussen kan leggen - elke open ruimte tussen de munten is daar net te klein voor. Je kan ook aan de randen nergens een muntje meer erbij schuiven dat niet direct van de tafel valt.

Bewijs nu dat je de hele tafel kunt bedekken met 400 van deze zelfde muntjes. Hierbij mogen de muntjes elkaar natuurlijk wel overlappen, maar er mag geen stukje van de tafel zijn waarop geen muntje ligt.
(Ionica)

Hoe staat het met jullie inzendingen voor de Coster-getallen prijsvraag van Pythagoras? Tot 15 januari kun je inzenden, er is dus nog even tijd!

Odette de Meulemeester (van KSO Glorieux in Ronse, België) stuurde ons deze leuke kerstkaart met kerstmannen en een bijna-Coster-getal!

Als dank willen we natuurlijk best reclame maken voor deze leuke website over pentomino's waar ze ons naar verwees, waar je kunt meedoen aan een andere wedstrijd, waar je ook nog eens een TI-84 plus kunt winnen (maar alleen als je tussen de 12 en 18 jaar bent en natuurlijk een maximale oplossing opstuurt)!

(Jeanine)

De volgende puzzel komt uit Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions: The First Scientific American Book of Puzzles and Games van de onvolprezen Martin Gardner.

Stel je voor dat je drie doosjes hebt, met in elk doosje twee marmeren ballen. In het eerste doosje zitten twee zwarte ballen, in het tweede doosje zitten twee witte ballen en in het laatste doosje zitten een witte en een zwarte bal. Op elk doosje zit netjes een label: WW, ZZ of ZW om aan te geven welke ballen erin zitten. Alleen... iemand heeft de labels verwisseld zodat elk doosje nu een verkeerd label heeft. Je mag steeds een bal per keer uit een doosje halen om te kijken welke kleur die heeft. Je mag daarbij niet in het doosje kijken. Hoeveel ballen moet je minstens tevoorschijn halen om te weten welke ballen in welk doosje zitten?
(Ionica)

Op de WWW interactive multipurpose server (WIMS voor vrienden) vind je een schat aan interactieve wiskundige opgaven. Ik heb me al goed vermaakt in de categorie Mathematical recreations. Je kan bijvoorbeeld stap voor stap boodschappen die op een eenvoudige manier gecodeerd zijn ontcijferen. Wie weet wat hier staat?

"Hn twh haacsdhns D pcve been cskeo [by members hf Icrldcment!], 'Ircy, Mr.
Bcbbcge, df yhu iut dnth tpe mcapdne wrhng fdgures, wdll tpe rdgpt cnswers
ahme hut?'  D cm nht cble rdgptly th ciirepeno tpe kdno hf ahnfusdhn hf doecs
tpct ahulo irhvhke suap c questdhn."
-- Apcrles Bcbbcge

Ook heel leuk is de gravity shoot. Je ziet een aantal stippen met een bepaald gewicht en moet dan bedenken waar het zwaartepunt ligt.

Klik op het plaatje om de oplossing te zien en om te zien hoever ik daarvan af zat. Het leuke is dat je vrij snel een aardige intuïtie ontwikkelt.

Er staan voor leraren en leerlingen ook veel serieuze oefenmogelijkheden op de site, in verschillende talen. Allemaal kijken dus!

(Ionica)

In september schreven we al een stukje over de leuke rekenprijsvraag van Pythagoras over Coster-getallen. Een Coster-getal is een geheel getal dat je met +, -, x en : kunt maken uit zijn eigen cijfers, waarbij elk cijfer precies twee keer wordt gebruikt. In de meer dan vijftig reacties op dat stukje zijn jullie als een dolle aan de slag gegaan om grote Coster-getallen te zoeken en algemene formules te bewijzen. Matthijs Coster (die de Coster-getallen verzon) stuurde ons een overzicht van de stand van zaken. De volgende tekst is van hem afkomstig. We hopen dat in de reacties op dit stukje weer de nodige vragen beantwoord zullen worden!

De speurtocht naar Coster-getallen heeft velen in de greep. Niet alleen scholieren zijn op zoek naar Coster-getallen onder de 200, maar er wordt ook naarstig gezocht naar grotere Coster-getallen. Op 16 januari, daags na de sluitingstermijn van de prijsvraag zal de redactie van het wiskundetijdschrift Pythagoras een lijst van Coster-getallen bekendmaken.

Tot op heden ontving de redactie al diverse inzendingen. De meest gangbare methode was het berekenen van N=2^a 3^b, waarbij a en b forse getallen zijn. Zo laat Tim op Wiskundemeisjes zien dat 2⁷⁶⁴ 3³⁸² een Coster-getal is. Inmiddels is echter bekend dat het grootste Coster-getal nooit gevonden zal worden, want er zijn oneindig veel Coster-getallen. Neem de rij 45, 4545, 454545, 45454545, .... In hun reacties op de Wiskundemeisjes laten Albert Hendriks en Arjen Stolk zien dat vanaf lengte 32 al deze getallen Coster-getallen zijn. Eerder stuurde David Kloet de rij 55555555, 5555555555555555, ... in, die ook allen Coster-getallen zijn.

Daarmee is een deel van de prijsvraag tot een goed einde gebracht. Maar desondanks kan iedereen nog inzenden en meedingen naar de schoonheidsprijs. Na de sluitingstermijn gaat de jury bekijken wie de meest originele inzending had. Hierbij nog vier interessante problemen om nog over na te denken.
Probleem 1: Probeer het kleinste Coster-getal te vinden groter dan 10ⁿ, voor n = 5,6,....
Probleem 2: De bewijzen dat er oneindig veel Coster-getallen bestaan die tot nog toe bij de redactie, zijn gebaseerd op de constructie van een oneindige reeks van Coster-getallen, zoals 55555555, 5555555555555555, ... en 45,4545,454545,45454545,.... Aan een dergelijke reeks gaan we een waarde toekennen, namelijk het aangepaste meetkundige gemiddelde. We nemen het product van de cijfers, als deze cijfers groter of gelijk aan 3 zijn. Elke combinatie van 1 en 2 laten we samen meetellen als een 3. De resterende tweeën tellen als 2. De resterende enen tellen mee als de derdemachtswortel uit 3. De motivatie is dat je probeert om zo groot mogelijke getallen te maken door toepassen van de gebruikelijke bewerkingen. Kleine getallen moet je zoveel mogelijk samenvoegen tot factoren 3. De vraag is nu om voor een reeks van Coster-getallen dit aangepaste meetkundig gemiddelde (zeg maar Coster-waarde) te minimaliseren.
Probleem 3: Onderzoek de binaire Coster-getallen. Tot nog toe vond ik 1,2,3,7,15 en 63. Zijn er meer?
Probleem 4: Nu gaan we kijken naar Coster-getallen in het 3-tallig stelsel. Zijn er oneindig veel Coster-3-getallen? Wat is de kleinst mogelijke Coster-3-waarde?

(Ionica)

ps Deze tekst is een sterk ingekorte versie (met wat minder mooie wiskundige formules), wie de hele tekst van Matthijs Coster wil lezen kan deze pdf-file downloaden. In deze file gaat hij ook dieper in op de gebruikte methodes en zijn ideeën over probleem 3.