Wiskundemeisjes

Pythagoras

Een Pythagoreïsch drietal is een drietal positieve gehele getallen , en waarvoor geldt dat .

Er is precies één Pythagoreïsch drietal met . Wat is dit drietal?

Logischerwijs verdwaald

We zijn op een eiland met drie typen bewoners: waarheidsprekers, die altijd de waarheid spreken, leugenaars, die altijd liegen, en willekeurders, die puur willekeurig (alsof ze een eerlijke munt hebben opgegooid) de waarheid spreken of liegen. Je komt bij een tweesplitsing in de weg, je wilt naar de hoofdstad toe en één van de wegen leidt daarheen, maar je weet niet welke. Er staan drie bewoners bij de spliting, van elk type één, en je weet niet wie welk type is. De bewoners weten dit wel van elkaar. Je mag twee ja/nee-vragen stellen om de weg te vragen.

Kun je er altijd achter komen wat de goede weg is? Zo ja, hoe? En zo nee, waarom niet?

Een vierkant is verdeeld in zeven stukken, waarmee je drie even grote vierkanten kunt leggen: een wit, een gestreept en een grijs vierkant. De zijde van het grote vierkant is 1.

Een zijde van één van de stukken is met een vraagteken aangegeven. Hoe lang is die zijde?

Deze week begeleid ik weer een wiskundekamp! Om jullie te laten meegenieten van al het leuks dat we daar doen, verschijnen deze week wat kleine puzzels van kamp op deze site, met dank aan Maurice en Henno. Gebruik vooral de spoiler tags als je over je oplossing schrijft in de reacties.

De som

Een onbekend getal van drie cijfers heeft de volgende eigenschap: als we de volgorde van de cijfers omkeren en het verkregen getal met vier vermenigvuldigen en bij optellen, dan is het resultaat 1607. Wat is ?

Het driedeurenprobleem is een klassieker. Voor wie het niet kent, leggen we het nog één keer uit.

Wilberd van der Kallen mailde ons over een nieuwe variant van deze puzzel. Hij kwam deze versie tegen in de Mathematical Intelligencer, in een ingezonden brief van A.S. Landsberg.

Landsberg stelt een spel met drie deuren voor waarbij een echtpaar mag proberen een auto te winnen. Er zijn drie deuren, met daarachter een auto, een autosleutel, of een geit - één per deur natuurlijk. De man moet de auto vinden, de vrouw de autosleutel. Alleen als ze beiden slagen krijgen ze de auto mee.

Eerst mag de man proberen de auto te vinden. Hij krijgt twee kansen. Hij opent een deur en als daar de auto niet staat mag hij nog een deur proberen. Kans van twee op drie volgens Bartjens. Intussen is zijn vrouw elders. De deuren worden weer dicht gedaan, de man wordt afgevoerd en nu mag de vrouw proberen om de sleutel te vinden. Ook zij mag twee deuren openen. Weer kans van twee op drie volgens Bartjens.

Niemand wil de geit - zelfs niet als hij extreem schattig is.

Het echtpaar mag van tevoren overleggen, maar er is geen contact tussen ze zodra het spel begonnen is. Nu komt het ongelofelijke: Ze kunnen een strategie afspreken die een kans van twee op drie op de auto levert!

Wie van jullie ziet hoe het echtpaar moet spelen?

Vorige week vrijdag werd Hendrik Lenstra benoemd tot Ridder in de Orde van de Nederlandse Leeuw. Eerder die dag werden er ter ere van Hendriks zestigste verjaardag een aantal voordrachten gegeven.

Richard Groenewegen noemde in zijn voordracht een leuk probleem dat Hendrik bij zijn promotie kreeg van John Conway en Mike Paterson. Het is A headache-causing problem (pdf). Hieronder een voorbeeld uit het artikel.

Drie mannen zitten in een kamer met elk een niet-negatief geheel getal op hun voorhoofd. Zeg bijvoorbeeld dat Arthur, Bertram en Engelbert elk een 2 op hun voorhoofd hebben. Iedere man kan alleen de twee getallen van de anderen zien en niet dat van zichzelf. Op een schoolbord dat ze alledrie kunnen zien schrijft een blinde vrouw de getallen 6, 7 en 8 en vertelt de mannen dat één van deze getallen de som is van de drie getallen op hun voorhoofden. Vervolgens vraagt ze aan Arthur of hij nu weet welk getal hij op zijn voorhoofd heeft. Als hij het niet weet, stelt ze dezelfde vraag aan Bertram. Als hij het ook niet weet, dan gaat ze naar Engelbert. Als hij niet kan zeggen welk getal er op zijn voorhoofd staat, dan begint ze een nieuwe ronde vragen bij Albert. Het spel stopt zodra er iemand `Ja' zegt.

De (algemene) stelling van Paterson en Conway is dat als het aantal getallen op het bord kleiner dan of gelijk aan het aantal mannen is, het spel na een eindig aantal vragen stopt. In het grappige artikel bewijzen ze eerst dat deze stelling onjuist is (de tegenargumenten lijken sterk op die bij de puzzel met de blauwe en bruine ogen.). Daarna geven ze een bewijs dat de stelling juist is. Daarna buiten ze nog uit dat ze nu alles kunnen bewijzen! Bekijk zelf vooral de scan van het artikel die we via de blog van Tanya Khovanova vonden (een erg leuke blog trouwens!).

Inmiddels is de tv-serie Numb3rs, waarin wiskunde gebruikt wordt om misdaden op te lossen, alweer vijf seizoenen bezig. Voor slimme fans van Numb3rs en andere lezers die van puzzels houden: op de website The math behind Numb3rs (van Wolfram Research) staat bij elke aflevering van seizoen 5 een uitdagende puzzel, een (soms klassiek) probleem dat iets te maken heeft met de wiskunde die in de betreffende aflevering aan de orde is geweest. De puzzels zijn zeer verschillend van karakter en volgens mij ook van moeilijkheidsgraad, maar de meeste zijn niet makkelijk. In de hints en oplossingen staan linkjes naar de achterliggende wiskunde. Op de Wolfram Blog kun je een stukje lezen van een van de makers. Veel plezier!

Ik snap nog niet veel van This is not Tom, maar deze site is zeker een aanrader voor wie van puzzelen houdt. Na een aantal stappen kom je bijvoorbeeld bij onderstaand wiskunderaadsel.

Test #8
Name________________
Date_________

Instructions: For questions 1-4 multiply to find the answers.
For questions 5-8 divide to find the answers.

1.) (3)(4)2=
2.) (1/79)(79/2)(2)=
3.) (7)(8)=
4.) (4)(38/2)=

5.) (132)/(12)=
6.) (490)/(98)=
7.) (651)(4)/(62)=
8.) (47.5)/(.5)=

Bonus Points: What did we learn about on Thursday?

Ionica en Jeanine doen een spelletje. Ze beginnen met een lege 2008 x 2008 matrix. Om de beurt kiezen ze een reëel getal en vullen dat in op een lege plek in de matrix. Jeanine mag beginnen en het spel stopt als de hele matrix gevuld is. Ionica wint als de ingevulde matrix determinant nul heeft, Jeanine wint in alle andere gevallen. Welk wiskundemeisje heeft een winnende strategie?

Deze vraag komt uit de laatste editie van de beroemde Putnam-wedstrijd. Er zijn verschillende juiste oplossingen mogelijk, Manjul Bhargava verzon een bijzonder mooie...

In het novembernummer van Pythagoras wordt de prijsvraag van dit jaar gepresenteerd. Maar de prijsvraag is al aangekondigd op de wetenschapsdagen op het CWI en in Leiden, en staat ook al op internet!

Er zijn erg mooie prijzen te winnen, zoals deze fractalboom van Koos Verhoeff. Maar wat moet je doen?

De prijsvraag heeft een taalkundige basis. Het principe is dat je getallen uitschrijft in letters en deze telt. Een voorbeeld: het getal 13 (dertien) heeft uitgeschreven 7 letters. We noteren dit als volgt: P(13) = 7. We noemen P de Pyth-actie. Het getal 2500 kun je uitspreken als 'tweeduizend vijfhonderd' en als 'vijfentwintighonderd'.

De opdracht van de prijsvraag van dit jaar is om correcte wiskundige vergelijkingen te zoeken waarin maximaal zes verschillende getallen worden gebruikt, die ook correct blijven als je op alle getallen de Pyth-actie toepast. Zo'n vergelijking noemen we een Pythagorasvergelijking. Een simpel voorbeeld is 13 + 16 = 29, want er geldt ook: P(13) + P(16) = P(29): 7 + 7 = 14.

Voor afspraken over de schrijfwijze en voor de opdrachten (in maar liefst zes categorieën): klik hier. Insturen kan tot 1 april 2009!