Wiskundemeisjes

Op een conferentiediner moeten 48 mannelijke wiskundigen -geen van allen op de hoogte van tafel-etiquette- een grote, ronde tafel delen. De tafel is al gedekt en tussen elke twee borden ligt een servet. De gastheer plaatst de wiskundigen één voor één. Zodra een wiskundige gaat zitten, pakt hij een servet links of rechts van zijn bord. Als er aan elke kant nog een servet ligt, dan kiest hij er willekeurig één van de twee. De gastheer ziet niet welke servet de wiskundige pakt. Hoe moet de gastheer de wiskundigen neerzetten om het verwachte aantal wiskundigen zonder servet zo groot mogelijk te maken?

Het meest voor de hand liggende antwoord is niet het juiste! Deze leuke puzzel komt wederom van Peter Winkler. In zijn warm aanbevolen boek Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection vertelt Winkler de oorsprong van deze puzzel.

This problem can be traced to a particular event. Princeton mathematician John H. Conway came to Bell Labs on March 30, 2001 to give a “General Research Colloquium.” At lunchtime, [Winkler] found himself sitting between Conway and computer scientist Rob Pike (now of Google), and the napkins and coffee cups were as described in the puzzle. Conway asked how many diners would be without napkins if they were seated in random order, and Pike said: “Here’s an easier question—what’s the worst order?”

De vraag van Conway is trouwens echt een stuk moeilijker!

Sommige dingen zwerven al maanden op mijn laptop, vandaar op deze woensdag een galore van slechte grappen over/met wiskunde. Als eerste een plaatje van Bizarro waarvan ik niet meer weet hoe ik eraan kom.

Dat ik (hardop!) moest lachen om het onderstaande filmpje zegt waarschijnlijk meer over mij dan over dit filmpje.

En als uitsmijter een grap voor de wiskundige fijnproevers. Wat is een anagram van banach-tarski?

Antwoord: banach-tarski banach-tarski

Vandaag weer een puzzel van wiskundekamp!

Ziek

Van een nxn-schaakbord is een aantal vakjes ziek. Deze ziekte is erg besmettelijk. Als een vakje aan minstens twee zieke vakjes grenst (met een hele zijde), wordt dat vakje ook ziek. Aan het eind van de epidemie blijkt elk vakje ziek te zijn.

Hoeveel vakjes waren er aan het begin minstens ziek?

Nog een puzzel van wiskundekamp.

Deelbaarheid

In een klaslokaal zaten 30 leerlingen. De leraar schreef een getal op het bord. Een voor een zeiden de leerlingen: "Het getal is deelbaar door 31", "Het getal is deelbaar door 30", "Het getal is deelbaar door 29", ..., "Het getal is deelbaar door 2". Volgens de leraar hadden maar twee leerlingen het fout en die kwamen ook nog direct na elkaar. Welke uitspraken waren fout?

Deze week ben ik weer op wiskundekamp met Vierkant voor wiskunde. Om jullie mee te laten genieten van al het leuks dat we gaan doen, zullen hier deze week (net als in eerdere jaren) wat kleine puzzeltjes van het kamp verschijnen.

Leugenaars

Acht begeleiders voeren een toneelstukje op. Sommige spelen de rol van leugenaar, de andere die van waarheidsspreker. Aan jullie de taak om vast te stellen wie er liegt en wie niet!

Michiel zegt: "Minstens 1 van ons liegt."
Arjen zegt: "Minstens 2 van ons liegen."
Maurice zegt: "Minstens 3 van ons liegen."
Aldo zegt: "Jos is niet het oudst."
Willem Jan zegt: "Minstens 5 van ons liegen."
Johan zegt: "Minstens 6 van ons liegen."
Jos zegt: "Ik ben het jongst en Vincent is het oudst."
Vincent zegt: "Ik ben het oudst en Jos is het jongst."

Op zoek naar informatie over Farey sequences plukte ik Introduction to number theory van Daniel E. Flath uit de bibliotheek. In de inleiding las ik

My own conscious interest in Diophantine equations goes back to a long winter's night in a St. Louis basement in 1962 when my father and I tried to solve the notorious problem of the monkey and the coconuts as presented by Martin Gardner.

Ik was gelijk benieuwd naar deze blijkbaar beruchte puzzel. Toevallig heb ik de verzamelde columns van Gardner op mijn laptop staan en een zoekopdracht 'monkey coconuts' leidde me naar The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions. Ik ga de eerste twee bladzijden van zijn column hier gewoon kopiëren, want beter opschrijven dan Gardner kan ik het toch niet.

In the October 9, 1926, issue of The Saturday Evening Post appeared a short story by Ben Ames Williams entitled "Coconuts." The story concerned a building contractor who was anxious to prevent a competitor from getting an important contract. A shrewd employee of the contractor, knowing the competitor's passion for recreational mathematics, presented him with a problem so exasperating that while he was preoccupied with solving it he forgot to enter his bid before the deadline. Here is the problem exactly as the clerk in Williams's story phrased it:

"Five men and a monkey were shipwrecked on a desert island, and they spent the first day gathering coconuts for food. Piled them all up together and then went to sleep for the night. But when they were all asleep one man woke up, and he thought there might be a row about dividing the coconuts in the morning, so he decided to take his share. So he divided the coconuts into five piles. He had one coconut left over, and he gave that to the monkey, and he hid his pile and put the rest all back together.

By and by the next man woke up and did the same thing. And he had one left over, and he gave it to the monkey. And all five of the men did the same thing, one after the other; each one taking a fifth of the coconuts in the pile when he woke up, and each one having one left over for the monkey. And in the morning they divided what coconuts were left, and they came out in five equal shares. Of course each one must have known there were coconuts missing ; but each one was guilty as the others, so they didn't say anything. How many coconuts were there in the beginning?"

Williams neglected to include the answer in his story. It is said that the offices of The Saturday Evening Post were showered with some 2,000 letters during the first week after the issue appeared. George Horace Lorimer, then editor-in-chief, sent Williams the following historic wire: FOR THE LOVE OF MIKE, HOW MANY COCONUTS? HELL POPPING AROUND HERE.

Wie de rest van de column wil lezen (met daarin verschillende versies van dit probleem én methodes om de oplossing te vinden) moet vooral het boek van Gardner kopen. Enthousiaste lezers mogen (for the love of Mike) natuurlijk ook in de reacties vertellen hoeveel kokosnoten er lagen toen de mannen gingen slapen.

Het is weer eens tijd voor een fijne puzzel!

Twee robots worden met parachutes gedropt op een lange lijn. De robots laten hun parachute liggen op de plek waar ze landen en kennen maar vier verschillende instructies. Jij moet de robots zo programmeren dat ze elkaar op den duur tegenkomen. Allebei de robots krijgen hetzelfde programma en gaan dat tegelijk uitvoeren. Dit zijn de instructies die de robots kennen:

• Doe een stap naar links.
• Doe een stap naar rechts.
• Ga naar regel [nummer].
• Als je op een parachute staat, doe dan [één van de andere drie instructies].

Een voorbeeld van een programma is

1. Doe een stap naar links.
2. Ga naar regel 1.

Alleen is dit niet zo'n handig programma, omdat de robots hiermee elkaar niet gaan tegenkomen. Met wat voor programma lukt dat wél? De robotjes landen trouwens precies een geheel aantal stappen van elkaar en het programma moet uit een eindig aantal stappen bestaan.

De echte liefhebbers kunnen zich ook afvragen wat er gebeurt als de robotjes landen op een cirkel in plaats van een lijn...

Gisteren kwamen maar liefst 24 teams van wiskundestudenten naar Leiden om mee te doen aan de Limo (Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade). De opgaven waren zeker niet eenvoudig; sommige waren ook nog een behoorlijke hoeveelheid leeswerk. De studenten kregen drie uur om de tien opgaven op te lossen, maar vaak kon je met een deeloplossing ook al punten verdienen.

De kortste opgave was die van Hendrik Lenstra:

Bestaat er een positief geheel getal n dat deelbaar is door 103 met de eigenschap 2²ⁿ⁺¹ ≡ 2 mod n? Bewijs de correctheid van het gegeven antwoord.

Het was een zeer geslaagde dag, en tijdens de zonnige borrel kwam dan eindelijk de uitslag. Het team "The knights who say π" uit Leuven, dat buiten mededinging meedeed, bleek de beste score behaald te hebben. Van de teams die wel meedongen is de top 3:

• 1. "Qin Shihuangdi & Terracotta Army" van de Universiteit Utrecht
• 2. "Squeak!" van de Radboud Universiteit Nijmegen
• 3. Equivalence class heroes" van de Universiteit Utrecht

Van harte gefeliciteerd!

Deze leuke puzzel hoorde ik Peter Winkler vertellen bij The Math Factor.

In een zeer koude kamer staat een ronde ijstaart met bovenop een laag chocoladeglazuur. Kies een willekeurige hoek α en snijdt een punt af met een hoek van α graden. Draai deze punt ondersteboven. Snijd daarnaast weer een punt van α graden af, draai ook deze om en ga zo door. Als je rond bent, dan ga je gewoon verder met snijden en omdraaien van punten. Bewijs dat voor elke gekozen α al het glazuur weer aan de bovenkant is na een eindig aantal keer snijden.

Als α een deler van 360 graden is, dan is het duidelijk dat het goed gaat: stel dat je α = 30 graden kiest. Dan snijd je twaalf punten af die je één voor één omdraait. Bij de tweede ronde snijd je precies op dezelfde plaatsen als eerst en draai je de punten weer één voor één terug. Na vierentwintig keer snijden is al het glazuur dus weer aan de bovenkant.

Maar waarom werkt het ook als α geen deler van 360 is? En zelfs als α irrationaal is?

Wij moesten hier zelf best een tijd op puzzelen. Lezers die er niet uitkomen, kunnen naar het Mathematisch Instituut komen met een taart en een mes. Onze collega's Jos, Sierk en Arjen zijn bereid een demonstratie te geven in ruil voor een stuk taart!

Wild about math en blinkdagger organiseren een nieuwe wiskundecompetitie onder de naam Monday Math Madness. Elke eerste maandag van de maand staat er een puzzel op Wild about math, elke derde maandag van de maand eentje op blinkdagger. Vorige week werd de eerste puzzel gepost, met daarbij uitleg over de spelregels. Deze opgave zou over de wiskundemeisjes kunnen gaan:

A popular blog has just three categories: brilliant, insightful, and clever. Every blog post belongs to exactly one of the three categories and the category for each post is selected at random. What is the probability of reading at least one post from each category if a reader reads exactly five posts?

De winnaar krijgt een waardebon van 10 dollar voor Amazon, later in de competitie hopen de blogs wiskundeboeken, puzzels en spelletjes te kunnen uitdelen.

Wat mij trouwens opviel is dat sommige dingen blijkbaar overal hetzelfde gaan. De schrijver van Wild about math is zogenaamd verbaasd dat de matlab-freaks/ingenieurs van blinkdagger ook wiskunde hebben gehad. En ik maar denken dat het typisch Nederlands was om te beweren dat op technische universiteiten geen wiskunde wordt gedaan...