Wiskundemeisjes

Maarten vroeg ons of we Echochrome, het Escher-achtige computerspel al hadden gezien. Nee dus! Sony is bezig met dit spel voor de PlayStation® Portable (PSP voor vrienden). De eerste beelden zijn zeker intrigerend. Het lijkt meer op een mooie puzzel dan op een spelletje.

Het spel is voorlopig niet te koop, de release wordt in maart 2008 verwacht. Kunnen we in de tussentijd vast sparen voor een PSP.

Een tijdje geleden hoorde ik allerlei geluiden over een revival van het breien onder hippe, jonge mensen, maar ik geloof dat dat weer een beetje is overgewaaid (of niet?). Vroeger kon ik het een beetje, maar verder dan een recht stukje lap (dat meestal onderaan iets smaller was dan bovenaan) kwam ik niet.

Er zijn echter wiskundedames die daar hun hand niet voor omdraaien. Zo tipte Heine ons de site van Sarah-Marie Belcastro. Zij breit de mooiste wiskundige objecten en vertelt ook hoe je dat zelf kunt doen!

Een leuk voorbeeld zijn de gebreide Möbiusbanden. Het is eenvoudig om een Möbiusband te maken van papier: je neemt een strook papier, je draait één uiteinde een halve slag om en dan plak je de twee uiteinden aan elkaar. Belcastro vindt dat een beetje een zwaktebod:

This is an extrinsic-twist construction, because it starts with something untwisted and adds the twist at the end. An intrinsic-twist construction is preferable for Mobius bands, because the twist occurs as part of the construction. Luckily, we can create intrinsic-twist Möbius bands with knitting.

En hier is het resultaat:

Een ander leuk breisel van Belcastro is een torus met een graaf erop. Een graaf is een wiskundig object dat bestaat uit een aantal punten die al dan niet door lijnen met elkaar verbonden zijn. Op de torus staat de graaf die K7 heet. K7 is de volledige graaf op 7 punten, d.w.z. de graaf die bestaat uit 7 punten waarin elk punt verbonden is met elk ander punt.

Het blijkt mogelijk om de K7 op een torus te tekenen op zo'n manier dat de lijnen elkaar allemaal niet snijden! De K7 is de grootste volledige graaf waarvoor dat kan.

Het resultaat ziet er zo uit:

Ook Florine van Qulog maakt mooie wiskundige handwerkjes, maar zij doet dat door ze te haken. Haar nieuwste creatie online is deze.

(Jeanine)

In het verzameld werk van Gerrit Achterberg zijn verscheidene gedichten te vinden met een wiskundige titel en onderwerp. Een daarvan is het volgende gedicht.

EUCLIDES

Gij zijt aan het bestaande tegenstrijdig.
Buiging en ronding om u heen gelegd,
eenmaal uw beeld te buiten, trokken recht
en maakten u aan alles evenwijdig.

Nochtans moet gij binnen de perken blijven
van het gedicht dat u verdisconteert
in al het wit dat ieder woord omsluit.

GERRIT ACHTERBERG

Op de site van Aad Goddijn vond ik zijn artikel elf parallellen met een nawoord. Naast het gedicht van Achterberg heeft hij andere gedichten verzameld die te maken hebben met parallellen, en hij heeft het geheel van een nawoord voorzien. Het artikel is verschenen in Arthesis, het tijdschrift van Ars et Mathesis.

(Jeanine)

Dick stuurde ons weer een goede link! Op de site van Sanny de Zoete vond hij deze geweldige priemgetalservetten:

Wat is er nou zo bijzonder aan deze servetten? De blokjes in het patroon hebben te maken met priemgetallen. De servetten zijn gebaseerd op het volgende patroon, dat Balthasar van der Pol in de jaren '50 ontwierp.

De blokjes in het patroon stellen niet precies de gewone priemgetallen voor, maar de priemgetallen in de gehele getallen van Gauss. De gehele getallen van Gauss zijn de getallen die je kunt schrijven als a+bi, waarbij a en b gehele getallen zijn en waarbij we stellen dat i²=-1. Met deze getallen kun je net zo rekenen als met gewone gehele getallen.

Ook kun je priemgetallen definiëren in deze nieuwe verzameling getallen. De gewone priemgetallen zijn gedefinieerd als: een priemgetal is een getal met precies vier delers. Het priemgetal 3 heeft bijvoorbeeld 1, -1, 3 en -3 als delers. (Merk op dat bijvoorbeeld -3 volgens deze definitie ook een priemgetal is.) Een equivalente definitie is: p is een priemgetal als geldt: als x en y getallen zijn zodat p een deler is van xy, dan is p een deler van x of van y. Deze tweede definitie kunnen we precies zo overnemen in de gehele getallen van Gauss.

Het blijkt dat alle gewone priemgetallen die bij deling door 4 rest 3 opleveren, nog steeds priem zijn. Dus als p een gewoon priemgetal is dat rest 3 geeft bij deling door 4, dan is p = p+0i een priemgetal in de gehele getallen van Gauss. De getallen 3, 11 en 19 blijven dus priem. Maar de gewone priemgetallen die bij deling door 4 rest 1 opleveren, zijn nu niet meer priem! Het is namelijk zo dat priemgetallen van dit type allemaal te schrijven zijn als een som van twee kwadraten. Bijvoorbeeld: 5=2²+1², 13=3²+2², 17=4²+1². Maar p=a²+b² is te onbinden als (a+bi)(a-bi), dus in de gehele getallen van Gauss is een gewoon priemgetal dat rest 1 geeft bij deling door 4 niet meer priem. Het blijkt dat in dit geval a+bi en a-bi wel priemgetallen zijn, en de getallen a+bi en a-bi vermenigvuldigd met -1, i of -i ook. Een dergelijk priemgetal a+bi heeft precies acht delers in de gehele getallen van Gauss: a+bi, -a-bi, -b+ai, b-ai en de triviale delers 1, -1, i en -i.

Merk op dat een getal dat rest 0 geeft bij deling door 4 sowieso nooit priem is, en dat 2 het enige priemgetal is dat rest 2 heeft bij deling door 4. Het priemgetal 2 is in priemfactoren te ontbinden als (1+i)(1-i), dus 2 is ook niet meer priem in de gehele getallen van Gauss.

Samengevat: de gewone priemgetallen die rest 3 geven bij deling door 4 blijven priem, de priemgetallen die rest 1 geven bij deling door 4 ontbinden als (a+bi)(a-bi) waarbij a en b gehele getallen zijn zodat a²+b² dat gewone priemgetal is, en het gewone priemgetal 2 heeft in de gehele getallen van Gauss de priemontbinding (1+i)(1-i).

Maar vinden we op deze manier alle priemgetallen van Gauss? Dat blijkt zo te zijn. Voor elk priemgetal van Gauss a+bi dat niet gelijk is aan p, -p, pi of -pi, met p een gewoon priemgetal, geldt dat a²+b² wel een gewoon priemgetal is. Alle priemgetallen van Gauss komen dus op de een of andere manier voort uit de gewone priemgetallen.

Hoe staan de priemgetallen van Gauss nu in het servet? Het middelste hokje stelt (0,0) voor. Het hokje (a,b) wordt nu blauw gekleurd als a+bi een priemgetal van Gauss is, en anders blijft het wit. Lees hier de uitleg van Balthasar van der Pol zelf.

Oftewel: op de horizontale en verticale assen staan de getallen (0,p), (0,-p), (p,0) en (-p,0), waarbij p een gewoon priemgetal is dat bij deling door 4 rest 3 geeft. Op alle andere plekken staan de getallen (a,b) waarvoor geldt dat a²+b² een gewoon priemgetal is dat óf gelijk aan 2 is, óf bij deling door 4 rest 1 geeft.

De dekservetten kosten 15 euro per stuk en je krijgt er een brochure met uitleg over de priemgetallen op het doek bij.

(Jeanine)

Houden de wiskundemeisjes van rekenmachines? Normaal niet zo, maar we maken een uitzondering voor deze houten rekenmachine die met knikkers werkt. Sterker nog: ik vind deze rekenmachine misschien nog wel toffer dan mijn laptop...

Dick attenteerde ons op de webpagina van Matthias Wandel waar hij uitlegt hoe hij dit prachtige stuk doe-het-zelf-werk bouwde. Hier zie je de machine in actie.

Wandel maakte nog veel meer bijzondere dingen, zijn pagina is zeker het bekijken waard!

(Ionica)

Vorig jaar schreven we al over Flatland the movie. Sjaak mailde ons dat er nu ook Flatland the film is. De film is -natuurlijk- gebaseerd op de bekende roman van Edwin A. Abbott. Al laat de trailer zien dat het verhaal een andere kant opgaat, Flatland wordt namelijk aangevallen vanuit de driedimensionale wereld. Volgens Sjaak zit er ook een satire op de hedendaagse tijd in de film verstopt...

Je kunt een (door de maker gesigneerde) dvd bestellen op de site of via Amazon.

(Ionica)

Een vriend van me heeft pi op zijn bovenarm laten tatoeëren. Dat vond ik behoorlijk stoer. Tot ik Virtual Courtney zag.

Deze wiskundige heeft de gulden snede als kettingbreuk op haar arm! De kettingbreuk van de gulden snede bestaat uit een oneindige reeks enen. De tatoeage vormt een band die in zichzelf overloopt, zodat je ook een oneindige breuk krijgt. Briljant! Waarom heb ik dit niet als eerste bedacht?

Courtney schrijft zelf op haar blog: "With my tattoo, if you start reading at one of the 1’s, it’s really “One plus one over one plus one over one plus one over….” That’s infinite! And it’s on my arm!"
(Ionica)

In de categorie wiskunde en kunst zijn er volgende week maar liefst twee leuke uitjes die je kunt maken!

Afstudeerders van de Nederlandse Film- en Televisie Academie maakten een film over Kurt Gödel. Dit is de omschrijving:

De logicus Kurt Gödel wordt aan het eind van zijn leven geconfronteerd met een werkelijkheid, die hem voor nieuwe filosofische problemen stelt en de aard van zijn bestaan in twijfel trekt.

Wij zijn benieuwd! De film is van 26 tot en met 30 juni te zien in Amsterdam. Kijk hier voor de precieze tijden. Bij de film hoort ook een mooie website. Kijk ook even naar de lange lijst met wiskundige sponsors.

Op donderdag 28 juni zingt het Groot Omroepkoor e^ιπ + 1 = 0 or, the most remarkable formula in the world, geschreven door MaNOj Kamps. Dit a capella stuk gaat samen met vier andere composities in première in Haarlem. Deze werken zijn gekozen uit 135 inzendingen voor een compositiewedstrijd. Kijk hier voor meer informatie en kaarten. We weten dat MaNoJ wel eens op de wiskundemeisjes komt, dus misschien wil hij in de reacties iets meer vertellen over zijn compositie...
(Ionica)

ps Inmiddels heeft MaNoJ inderdaad gereageerd en kun je in zijn reactie veel meer lezen over de compositie.

Wiskunde en muziek: we hebben het er hier al vaker over gehad. Sinds een maand zit ik op Last.fm en ik heb voor jullie een playlist met wiskundige liedjes samengesteld. Je kunt hieronder op de play-knop drukken om te genieten van nummers van Tom Lehrer, Xenakis en de Deense Matte Matik. Maar ook naar wiskundig verantwoorde liedjes van The Shins, Badly Drawn Boy en Built to Spill. De liedjes komen in willekeurige volgorde voorbij. Als er in de reacties goede tips komen (die ook op Last.fm staan), dan zal ik die aan de playlist toevoegen!

Gisteren ging ik naar de voorstelling A disappearing number, die we deze week al aankondigden. Ik was niet de enige wiskundige in de zaal: ik kwam een paar collega's tegen! En, zoals MaNOj ook al schreef in zijn reactie: ik ben erg blij dat ik erheen gegaan ben.

Het stuk bevat een paar verschillende verhaallijnen: het levensverhaal van de beroemde Indiase wiskundige Ramanujan; dat van wiskundeprofessor Ruth, die naar India gaat om de notitieboeken van Ramanujan te bekijken, en haar man Alex; een lezing door een Indiase fysicus over Ramanujan op CERN en de reis naar India van een oorspronkelijk Indiase zakenman uit Los Angeles. Alle verhalen leiden naar India en bijna allemaal leiden ze naar de schoonheid van de wiskunde.

De voorstelling begint zoals een college begint: professor Ruth schrijft een wiskundig bewijs op het bord. Het publiek krijgt onder andere de definities van de zeta-functie en de gamma-functie voorgeschoteld. Het gaat over de reeks 1+2+3+... , Ruth "bewijst" dat die gelijk is aan -1/12, wat natuurlijk niet zo is, maar deze redenering was het startpunt van Ramanujans werk aan rijen en reeksen.

Ook de wiskundige Hardy, die Ramanujan ontdekte en hem van India naar Cambridge haalde, speelt een rol. We horen zijn briefwisseling met Ramanujan, we zien hem in het koude Cambridge met Ramanujan samenwerken. We zien Ramanujan verkleumen in Engeland, we horen de brieven aan zijn familie waarin hij klaagt over het slechte eten (Ramanujan was vanuit zijn geloof vegetariër en tijdens de eerste wereldoorlog waren er in Engeland nauwelijks groenten te krijgen). Uiteindelijk loopt hij tbc op en sterft hij op jonge leeftijd in India, de wiskunde achterlatend met een boel mooie stellingen zonder bewijzen.

De verschillende verhalen zijn goed uitgewerkt en mooi met elkaar verbonden, maar ook speelden de acteurs erg goed. De multimediale aanpak van het stuk is verrassend en effectief. De schermen worden afwisselend gebruikt als overheadprojectorscherm, schoolbord, filmdoek en afscheidingsscherm; we zien daarop Ruths bewijs, citaten uit Hardy's A mathematician's apology, de beelden van een langsschietende Indiase stad vanuit een taxi, enzovoorts.

De verhalen laten zien hoe mensen geraakt kunnen worden door de schoonheid van de wiskunde, maar ook hoe de wiskunde een troost of ontsnapping kan zijn. Wiskundigen hebben namelijk naast de gewone realiteit nog een andere realiteit die daarvan losstaat: die van de wiskunde. Zowel Ruth als Hardy gaan op die manier op in de wiskunde (Ruth om met een miskraam om te kunnen gaan en Hardy om door WOI heen te komen) en Alex begrijpt daar niet zo heel veel van, hoewel hij het wel probeert. Hij is dan ook oprecht verbaasd als de fysicus hem vertelt dat Ramanujans wiskunde misschien toch toepassingen heeft in het verklaren van de gewone realiteit, in de stringtheorie.

Kortom: wie niet geweest is heeft een heel indrukwekkende avond gemist, die niet alleen leuk was voor wiskundigen: mijn niet-wiskundige vriendinnen die mee waren vonden het ook heel goed en snapten nu iets beter hoe mensen geraakt kunnen worden door wiskundige schoonheid. Het is een echte aanrader, dus als je nog eens ergens komt waar het stuk gespeeld wordt (bijvoorbeeld in Londen, tussen 5 september en 6 oktober in het Barbican theatre), ga er vooral heen!

(Jeanine)