Wiskundemeisjes

Wiskundige servetten

Dick stuurde ons weer een goede link! Op de site van Sanny de Zoete vond hij deze geweldige priemgetalservetten:

Wat is er nou zo bijzonder aan deze servetten? De blokjes in het patroon hebben te maken met priemgetallen. De servetten zijn gebaseerd op het volgende patroon, dat Balthasar van der Pol in de jaren '50 ontwierp.

De blokjes in het patroon stellen niet precies de gewone priemgetallen voor, maar de priemgetallen in de gehele getallen van Gauss. De gehele getallen van Gauss zijn de getallen die je kunt schrijven als a+bi, waarbij a en b gehele getallen zijn en waarbij we stellen dat i²=-1. Met deze getallen kun je net zo rekenen als met gewone gehele getallen.

Ook kun je priemgetallen definiëren in deze nieuwe verzameling getallen. De gewone priemgetallen zijn gedefinieerd als: een priemgetal is een getal met precies vier delers. Het priemgetal 3 heeft bijvoorbeeld 1, -1, 3 en -3 als delers. (Merk op dat bijvoorbeeld -3 volgens deze definitie ook een priemgetal is.) Een equivalente definitie is: p is een priemgetal als geldt: als x en y getallen zijn zodat p een deler is van xy, dan is p een deler van x of van y. Deze tweede definitie kunnen we precies zo overnemen in de gehele getallen van Gauss.

Het blijkt dat alle gewone priemgetallen die bij deling door 4 rest 3 opleveren, nog steeds priem zijn. Dus als p een gewoon priemgetal is dat rest 3 geeft bij deling door 4, dan is p = p+0i een priemgetal in de gehele getallen van Gauss. De getallen 3, 11 en 19 blijven dus priem. Maar de gewone priemgetallen die bij deling door 4 rest 1 opleveren, zijn nu niet meer priem! Het is namelijk zo dat priemgetallen van dit type allemaal te schrijven zijn als een som van twee kwadraten. Bijvoorbeeld: 5=2²+1², 13=3²+2², 17=4²+1². Maar p=a²+b² is te onbinden als (a+bi)(a-bi), dus in de gehele getallen van Gauss is een gewoon priemgetal dat rest 1 geeft bij deling door 4 niet meer priem. Het blijkt dat in dit geval a+bi en a-bi wel priemgetallen zijn, en de getallen a+bi en a-bi vermenigvuldigd met -1, i of -i ook. Een dergelijk priemgetal a+bi heeft precies acht delers in de gehele getallen van Gauss: a+bi, -a-bi, -b+ai, b-ai en de triviale delers 1, -1, i en -i.

Merk op dat een getal dat rest 0 geeft bij deling door 4 sowieso nooit priem is, en dat 2 het enige priemgetal is dat rest 2 heeft bij deling door 4. Het priemgetal 2 is in priemfactoren te ontbinden als (1+i)(1-i), dus 2 is ook niet meer priem in de gehele getallen van Gauss.

Samengevat: de gewone priemgetallen die rest 3 geven bij deling door 4 blijven priem, de priemgetallen die rest 1 geven bij deling door 4 ontbinden als (a+bi)(a-bi) waarbij a en b gehele getallen zijn zodat a²+b² dat gewone priemgetal is, en het gewone priemgetal 2 heeft in de gehele getallen van Gauss de priemontbinding (1+i)(1-i).

Maar vinden we op deze manier alle priemgetallen van Gauss? Dat blijkt zo te zijn. Voor elk priemgetal van Gauss a+bi dat niet gelijk is aan p, -p, pi of -pi, met p een gewoon priemgetal, geldt dat a²+b² wel een gewoon priemgetal is. Alle priemgetallen van Gauss komen dus op de een of andere manier voort uit de gewone priemgetallen.

Hoe staan de priemgetallen van Gauss nu in het servet? Het middelste hokje stelt (0,0) voor. Het hokje (a,b) wordt nu blauw gekleurd als a+bi een priemgetal van Gauss is, en anders blijft het wit. Lees hier de uitleg van Balthasar van der Pol zelf.

Oftewel: op de horizontale en verticale assen staan de getallen (0,p), (0,-p), (p,0) en (-p,0), waarbij p een gewoon priemgetal is dat bij deling door 4 rest 3 geeft. Op alle andere plekken staan de getallen (a,b) waarvoor geldt dat a²+b² een gewoon priemgetal is dat óf gelijk aan 2 is, óf bij deling door 4 rest 1 geeft.

De dekservetten kosten 15 euro per stuk en je krijgt er een brochure met uitleg over de priemgetallen op het doek bij.

(Jeanine)