Wiskundemeisjes
Internetbureau Rotterdam 
Archief voor categorie 'Geschiedenis'
(Speciaal voor de kerstvakantie: een lang stuk over het vierkleurenprobleem dat ik schreef voor de site van Reken mee met abc (die binnenkort online komt.))
In 1852 was Francis Guthrie bezig om een kaart van de Engelse counties netjes in te kleuren. Netjes betekent in dit geval dat hij wilde zorgen dat elke twee aan elkaar grenzende counties verschillende kleuren hadden, zodat duidelijk was waar counties begonnen en eindigden. Guthrie ontdekte dat hij maar vier verschillende kleuren nodig had. Hij vroeg zich af of je misschien voor elke landkaart genoeg zou hebben aan vier kleuren. Daarmee was het befaamde vierkleurenprobleem geboren.
De kaart met de verschillende staten van Amerika is ook met vier kleuren in te kleuren. Guthrie vermoedde dat dit voor elke kaart zou lukken.
Guthrie vroeg aan de bekende wiskundige De Morgan hoe hij zijn vermoeden moest bewijzen. De Morgan had geen flauw idee, maar werd gegrepen door het probleem. Hij stuurde de vraag nog dezelfde dag naar de beroemde Hamilton met de opmerking "Als jij met een of ander slim voorbeeld komt waardoor ik een dom dier lijk, dan zal ik voortaan moeten zwijgen als de sfinx...". Gelukkig voor hem kwam Hamilton niet met een slim voorbeeld van een landkaart waarvoor vijf kleuren nodig waren of met een eenvoudig bewijs. Integendeel: Hamilton schreef enkele dagen later terug: "Het is niet erg waarschijnlijk dat ik binnenkort iets zal proberen te doen met dat viertal kleuren van jou". De Morgan bleef daarna bij wiskundigen aandringen dat ze naar een oplossing moesten zoeken.
Het duurde een tijd voor er resultaten geboekt werden. De eerste die het lukte om iets te bewijzen, was Arthur Cayley in 1878. Hij bewees dat het genoeg was om alleen te kijken naar landkaarten waar steeds precies drie landen in een punt bij elkaar komen. Het lukte hem niet om het probleem verder op te lossen; in zijn artikel gaf hij ook aan waar de moeilijkheden van een bewijs lagen. Read the rest of this entry »
Ik ben dol op het maken van top 10-lijstjes, maar ik was nooit op het idee gekomen om een lijst met mijn favoriete algoritmes te maken (ik heb trouwens wel een top 3 van favoriete bewijsmethodes). Jack Dongarra en Francis Sullivan kwamen wel op dat idee en maakten een lijst van de beste algoritmes van de 20ste eeuw, zie deze pdf. Klassiekers als Monte Carlo, fast Fourier transform en (wie gebruikt hem niet) quicksort worden genoemd. Ik kan me min of meer vinden in de genoemde algoritmes, maar er is natuurlijks niets leuker dan verzinnen welke dingen ook op de lijst hadden gemoeten. Ik mis bijvoorbeeld het LLL-algoritme, het prachtige basis reductie algoritme dat door Jan en alleman gebruikt wordt.
(Ionica)
Vandaag wordt Benoît Mandelbrot 82 jaar. Hij is vooral bekend door de naar hem vernoemde Mandelbrot fractals. Sterker nog: Mandelbrot bedacht in 1975 de naam fractals voor deze zichzelf herhalende structuren. Hieronder zien jullie zo'n fractal, het plaatje is trouwens gemaakt met het eerder genoemde 3D-XplorMath.
Mandelbrot ontdekte dat zichzelf herhalende structuren een belangijke rol spelen in verschillende gebieden (bijvoorbeeld in economische modellen en vloeistofdynamica). Hij publiceerde veel artikelen en is nog steeds actief als wiskundige.
In 2004 verscheen het boek The (Mis)behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward dat Mandelbrot samen met Richard Hudson schreef. Hierin wordt betoogd dat de modellen die gebruikt worden voor financiële markten niet kloppen: Risico's worden stelselmatig veel te laag ingeschat. Ik heb het boek nog niet gelezen, maar Willem-Jan stuurde me dit interessante interview uit de Suddeutsche (voor wie geen problemen heeft met Duits). Vooral deze uitspraak is veelzeggend:
Würden die zehn schlimmsten Kursabstürze der vergangenen sieben Jahre aus dem S&P-500-Index herausgerechnet, stünde das US-Börsenbarometer heute doppelt so hoch. Daher werden die Risiken an den Finanzmärkten systematisch unterschätzt.
(Ionica)
Veel mensen vinden het leuk om hun stamboom te onderzoeken en te kijken tot hoe lang geleden hun voorouders bekend zijn. Wiskundigen hebben echter ook nog een ander soort voorouders: leermeesters. De eerste voorouder van een wiskundige is zijn promotor; als er ook een copromotor is telt die ook mee. De promotor van de promotor fungeert als de wiskundige opa, enzovoorts.
Het Mathematics Genealogy Project heeft een grote database aangelegd, waarin wiskundigen aan hun studenten (nakomelingen) gekoppeld worden. Zo kun je dus zelf uitvinden wie je wiskundige voorouders zijn!
De wiskundemeisjes hebben nog geen wiskundige voorouders, want we zijn nog niet gepromoveerd. Wel hebben we een toekomstige promotor. Ietwat voorbarig hebben we onze wiskundige voorouders gezocht. Bij Ionica blijkt de bekende stamboom niet zo lang: via Rob Tijdeman belanden we bij Jan Popken, Johannes van der Corput en Jan Kluyver, waar de lijn stukloop omdat zijn promotor onbekend is. Bij Jeanine is de lijn veel langer: via Hendrik Lenstra belanden we uiteindelijk via onder anderen Frans Oort, Hans Freudenthal, Hilbert, Klein en Gauss bij Otto Mencke; via een copromotor komen we uit bij Dirichlet, Lagrange, Euler, twee Bernoulli's en Leibniz, om bij Weigel te eindigen.
Neem zelf een kijkje en vind uit wie jouw wiskundige voorouders zijn of misschien ooit zullen worden!
(Jeanine)
Komende donderdag gaat het Biografisch Woordenboek van Nederlandse Wiskundigen (BWNW) online. Dit woordenboek bestaat uit korte levensschetsen van Nederlandse wiskundigen ten dienste van docenten die hun college willen verluchtigen of verrijken, studenten en scholieren die op zoek zijn naar materiaal voor een werkstuk, en wetenschapsjournalisten. Dus als je alles wilt weten over L.E.J. Brouwer, Christiaan Huygens, of Thomas Stieltjes (en wie wil dat nou niet?), kijk dan vanaf donderdag op www.bwnw.nl. Hier zie je Alex van den Brandhof aan het werk voor de site.
De opening van de website vindt 21 september plaats op het CWI en er is een afwisselend middagprogramma georganiseerd.
Programma:
15.00-15.05 Alex van den Brandhof (Vossiusgymnasium Amsterdam): Over het Biografisch Woordenboek van Nederlandse Wiskundigen. In het kader van het NWO-project 'Leraar in Onderzoek', bedoeld voor wiskundedocenten in het middelbaar onderwijs, voerde Alex van den Brandhof, leraar wiskunde aan het Vossiusgymnasium te Amsterdam, de eerste fase van de totstandkoming van het woordenboek uit.
15.05-15.35 Teun Koetsier (VU Amsterdam): L.E.J. Brouwer en Arthur Schopenhauer, een vergelijking. Brouwers mystieke kant wordt door velen als wonderlijk beschouwd. In deze bijdrage aan de biografie van L.E.J. Brouwer wordt betoogd dat er grote overeenkomsten bestaan tussen het denken van Brouwer zoals dat onder meer naar voren komt in zijn boek 'Leven kunst en mystiek', en dat van Arthur Schopenhauer.
15.35-15.40 Jan Karel Lenstra (directeur van het CWI): Opening van de BWNW website. De opening vindt plaats in aanwezigheid van Hendrik Lenstra Jr., die bij het BWNW project een belangrijke stimulerende rol heeft gespeeld.
15.40 Borrel
Om jullie nog meer te motiveren om naar deze middag te gaan, hebben we een leuke vakantiefoto van Alex van den Brandhof bemachtigd (de wiskundemeisjes staan voor niets)!
(Ionica)
Vandaag is het precies 112 jaar geleden dat Aleksandr Yakovlevich Khinchin in Rusland werd geboren. Hij bewees een mooie stelling over kettingbreuken en toevallig houd ik heel erg van kettingbreuken, dus de verjaardag van Khinchin (al is de beste man inmiddels overleden) leek me een mooie aanleiding om eens iets over kettingbreuken te vertellen.
Een kettingbreuk heeft niets te maken met fietskettingen: het is een breuk in een breuk, in een breuk, enzovoorts. Je hebt verschillende vormen kettingbreuken, maar een 'gewone' kettingbreuk ziet er zo uit:
De coefficienten ai zijn gehele positieve getallen, alleen a0 mag negatief zijn als x dat ook is. Je vindt die getallen ai door steeds het algoritme van Euclides te gebruiken (waarmee je de grootste gemene deler van twee getallen kan bepalen).
Benaderingen (met een voorbeeld om het duidelijk te maken)
Het leuke is dat je elk getal x als een kettingbreuk kan schrijven. En als dat getal x zelf niet als een gewone breuk te schrijven is (dat is bijvoorbeeld waar voor pi, wortel 2 en de gulden snede), dan gaat die kettingbreuk oneindig lang door. Je kan zo'n oneindige lange kettingbreuk dan afkappen om een benadering te vinden voor je getal x en dit geeft een reeks steeds beter wordende benaderingen.
Zoals de tussenkop al zegt, zal ik het proberen duidelijk te maken met een voorbeeld. Laten we eens kijken naar benaderingen voor pi ≈ 3.14159. De kettingbreuk voor pi begint als volgt:
De eerste afgekapte kettingbreukbenadering voor pi is 3, wat niet zo'n goede benadering is. De tweede benadering is 22/7 ≈ 3.14285. Deze benadering wordt op school vaak gebruikt en heeft de eerste twee decimalen van pi al goed. De volgende benadering is 333/106 ≈ 3.14151 en die doet de derde en vierde decimaal ook goed. Met elke volgende stap worden de benaderingen een stukje beter.
Voor ik het resultaat van Khinchin geef, nog een leuk feitje over kettingbreuken. Als je de kettingbreuk voor de gulden snede berekent, dan krijg je een kettingbreuk met alleen maar enen:
Daardoor is de gulden snede het moeilijkste getal om te benaderen met breuken. Zou dat de reden zijn dat mensen zo van deze verhouding houden?
De constante van Khinchin
Aleksandr Khinchin bewees dat voor bijna elk getal x geldt dat het meetkundige gemiddelde van de getallen ai in zijn kettingbreuk gelijk is aan een constante:
Die constante Ko heet de constante van Khinchin en is ongeveer gelijk aan 2.68545. Dat 'bijna elk getal' klinkt misschien een beetje vaag, maar voor wiskundigen is dat een heel helder gedefinieerd begrip. En dat zoiets als hierboven geldt voor bijna elke x is echt een mooi resultaat.
Dit stukje is te kort om echt veel te vertellen, maar wie meer wil weten over kettingbreuken kan eens kijken op Continued Fractions...an introduction.
In mijn eigen onderzoek werk ik trouwens aan multidimensionale kettingbreuken. Het probleem is nu om niet één getal, maar een heel rijtje getallen tegelijk met breuken te benaderen. En daarbij wil je ook nog dat elke benaderingsbreuk dezelfde noemer heeft. Waarom dat handig is en hoe je die schattingen kunt vinden, zal ik vertellen in een latere post!
(Ionica)
Vandaag is de honderdste geboortedag van Kurt Gödel (1906 - 1978). Ik ga vandaag niets over zijn leven schrijven, want informatie daarover kun je bijvoorbeeld lezen in zijn In Memoriam uit The Times of een moderner artikel van Christian Jongeneel.
Gödel is vooral bekend om zijn onvolledigheidsstelling. Die stelling heeft betrekking op het logische bouwsel van axioma's en stellingen dat de wiskunde is. De wiskunde is gebaseerd op axioma's, de fundamenten van de wiskunde. De axioma's zijn beweringen die je aanneemt. Door middel van de regels van de logica kun je uit die axioma's stellingen afleiden. Een stelling is dus een bewering waarvoor een bewijs, zo'n logische afleiding, is gevonden. De onvolledigheidsstelling is dus eigenlijk een meta-stelling: het is een wiskundige stelling die tegelijk iets zegt over de wiskunde zelf als formele taal.
De belangrijkste eis die wiskundigen stellen aan dit formele systeem is dat het consistent moet zijn. Dat houdt in dat in zo'n systeem alleen ware beweringen bewezen mogen kunnen worden, oftewel: als een bewering niet waar is, mag hij niet bewijsbaar zijn.
De wiskundigen uit het begin van de twintigste eeuw, bijvoorbeeld Russell en Hilbert, probeerden de hele wiskunde op die manier om te toveren tot een formele taal. Hun ultieme hoop was dat het mogelijk zou zijn om in zo'n consistent systeem alle ware beweringen ook daadwerkelijk te bewijzen.
Deze hoop werd door Gödel in 1931 de grond in geboord. Hij bewees toen namelijk zijn onvolledigheidsstelling: als je een voldoende sterk, consistent formeel systeem hebt, met de regels van de logica, dan bestaan er altijd beweringen die wel waar zijn, maar niet binnen dit systeem te bewijzen zijn! ("Voldoende sterk" betekent hier dat het systeem minstens de rekenkunde moet omvatten, wat voor een wiskundig systeem natuurlijk niet teveel gevraagd is.)
Het idee van het bewijs is gebaseerd op zelfverwijzing. Gödel is er op een slimme manier in geslaagd om binnen het systeem de volgende bewering te formuleren: "Deze bewering is onbewijsbaar". Nu zijn er natuurlijk twee mogelijkheden. De eerste mogelijkheid is dat de bewering onwaar is. Maar dan is de bewering niet onbewijsbaar, dus bewijsbaar. Dan hebben we een bewering gevonden die onwaar is en toch bewijsbaar! Maar dat is in tegenspraak met de consistentie van ons formele systeem. Deze mogelijkheid valt dus af.
De enige andere mogelijkheid is dat de bewering waar is. Maar nu volgt natuurlijk dat de bewering onbewijsbaar is. Het systeem bevat dus minstens één bewering die waar is, maar niet bewijsbaar. Omdat je dit in elk dergelijk formeel systeem kunt doen, is bewezen dat al die systemen onvolledig zijn.
Voor de wiskundige praktijk heeft de onvolledigheidsstelling veel minder gevolgen dan je misschien zou verwachten. Er is nog nooit een dergelijke zin gevonden die niet speciaal als voorbeeld geconstrueerd is met behulp van die zelfverwijzing. Dat komt natuurlijk ook omdat het in principe niet zo makkelijk is om van een bewering wel te weten dat ze waar is, terwijl er geen bewijs bestaat...
(Jeanine)
Vandaag wordt Andrew Wiles 53 jaar. Hij is een van de beroemdste levende wiskundigen, omdat hij in 1994 een eeuwenoud probleem uit de getaltheorie oploste: hij bewees de laatste stelling van Fermat. "Stelling" is hier een groot woord: in de wiskunde is een stelling een bewering waar een bewijs voor bestaat, terwijl Pierre de Fermat (1601 - 1665) zijn bewering in de kantlijn van een boek gekriebeld had met als opmerking erbij: Ik heb hiervoor een waarlijk prachtig bewijs gevonden, maar helaas is de kantlijn te klein om het te bevatten.
Fermats bewering zegt het volgende: de vergelijking xn + yn = zn heeft geen oplossingen in gehele getallen x, y en z die niet gelijk aan nul zijn als n groter dan 2 is. Als n gelijk aan 2 is zijn er wel oplossingen, er zijn er zelfs oneindig veel, en waarschijnlijk heb je er wel eens een gezien: alle drietallen gehele getallen die de zijden vormen van een rechthoekige driehoek voldoen dan (denk aan de stelling van Pythagoras).
Sinds die tijd hebben veel, heel veel, wiskundigen geprobeerd Fermats bewering te bewijzen, maar het lukte niemand. Speciale gevallen waren al een hele tijd afgehandeld. Dat er geen oplossingen zijn als n=4 had Fermat zelf al bewezen, het geval n=3 werd afgehandeld door Euler. Ook andere speciale gevallen werden in de loop der tijd bewezen, maar een algemeen bewijs bestond nog niet.
Andrew Wiles verzon een boel nieuwe wiskunde in zijn bewijs. In zijn bewijs wordt de getaltheorie gekoppeld aan de algebraïsche meetkunde. Hij gebruikte een bewijs uit het ongerijmde: hij nam aan dat de Fermatvergelijking wel een oplossing had, en leidde daaruit als volgt een tegenspraak af. Gerhard Frey had in 1984 laten zien dat uit een hypothetische oplossing van de Fermatvergelijking een elliptische kromme (de Freykromme) gemaakt kan worden. Kenneth Ribet bewees dat deze kromme niet modulair kan zijn. De belangrijke stelling die Wiles vervolgens bewees, is dat alle elliptische krommen modulair zijn (een speciaal geval van het vermoeden van Shimura-Taniyama), met als gevolg dat de Freykromme niet kan bestaan, en dus de hypothetische oplossing van de Fermatvergelijking ook niet.
Aangezien de laatste stelling van Fermat een heel beroemd open probleem was waar eigenlijk niemand nog serieus aan durfde te beginnen, vertelde Wiles niemand wat hij aan het doen was, behalve zijn vrouw. Na zeven jaar hard werken dacht hij dat hij het bewijs gevonden had. Na zijn presentatie werd echter een fout gevonden. Gelukkig werd, met wat hulp van andere mensen, het bewijs binnen een jaar gerepareerd, zodat Wiles geschiedenis geschreven heeft!
Leestip: Het laatste raadsel van Fermat (Fermat's last theorem) van Simon Singh, een erg goed en duidelijk boek waar het enthousiasme voor de wiskunde van af straalt!
(Jeanine)
Sophie Germain (1776 - 1831) werd op 1 april 1776 geboren in Parijs, als dochter van een rijke koopman. Meisjes van haar stand werden niet geacht wiskunde te studeren, maar wel te kunnen meepraten in conversaties over wiskunde. Daarom werden er boeken geschreven waarin wiskunde speciaal voor dames toegankelijk gemaakt werd, met titels als Newtonianismo per le Dame, waarin Newtons theorieën aan de hand van aansprekende romantische voorbeelden werden uitgelegd, aangevuld met plaatjes als dit.
Sophie Germains interesse in wiskunde werd echter gewekt door een boek over geschiedenis van de wiskunde uit haar vaders bibliotheek dat ze las op haar dertiende. Ze was onder de indruk van het verhaal over de dood van Archimedes, die zo in beslag genomen werd door zijn wiskunde dat het hem tijdens de inval van de Romeinen in Syracuse zijn leven kostte.
In 1794 werd in Parijs de Ecole Polytechnique geopend, maar vrouwen mochten er niet studeren. Sophie verzon hier iets op: ze slaagde erin haar analyse-opgaven in te leveren onder de naam van meneer Le Blanc. Hij was een student die niet zo'n goede prestaties leverde en zijn studie had gestaakt. De administratie had dit echter niet in de gaten en Sophie slaagde erin de dictaten die voor hem bestemd waren te pakken te krijgen. Uiteindelijk wilde Lagrange, de docent bij wie ze haar werk inleverde en die zelf een beroemd wiskundige was, de student die opeens zo goed geworden was graag ontmoeten en ze moest haar identiteit onthullen. Lagrange was blij verrast en werd haar mentor.
Later gebruikte ze haar pseudoniem opnieuw toen ze met de beroemde wiskundige Gauss correspondeerde over getaltheorie. Ook Gauss was onder de indruk van haar prestaties. Maar ook aan hem moest ze haar identiteit bekend maken. In 1806 vielen de legers van Napoleon Pruisen binnen. Germain vreesde voor het leven van Gauss en vroeg een bevriende generaal hem te beschermen. Dat deed hij inderdaad en hij noemde Germains naam, zodat ze in haar volgende brief wel moest vertellen wie ze eigenlijk was.
Germain werkte eerst vooral aan getaltheorie, daar gingen haar brieven aan Gauss ook over. Ze bereikte hierin resultaten toen ze probeerde een bewijs te vinden voor de beroemde laatste stelling van Fermat. De correspondentie hield echter plotseling op toen Gauss hoogleraar astronomie werd en zijn interesse verlegde naar de meer toegepaste wiskunde.
Hierna hield ze zich bezig met elasticiteit en ze stuurde haar bijdrage tot drie keer toe in voor een wedstrijd die in die tijd gehouden werd. Het ging erom een wiskundige theorie van elastische oppervlakken te vinden. Er werden echter steeds redenen aangevoerd om haar de prijs niet te geven, ook al was ze in het begin de enige deelnemer. Ze kreeg toen de wedstrijd heropend was een eervolle vermelding, maar een prijs kreeg ze niet. Er werd gefluisterd dat haar werk gewoon niet serieus genomen werd omdat ze een vrouw was. Poisson, die haar rivaal was op het vakgebied en ook lid van de jury, schreef wel een heel formele erkenning van haar werk, maar weigerde op een serieuze manier met haar in discussie te gaan.
In 1829 kreeg ze borstkanker. Toch maakte ze in 1830 nog twee artikelen af, toen ook nog een revolutie was uitgebroken in Parijs. In 1831 overleed ze.
(Jeanine)
Op 23 maart 1882 werd Emmy Noether (1882 - 1935) geboren. Emmy Noether was een van de beroemdste vrouwelijke wiskundigen ooit. Ze heeft een grote invloed gehad op de ontwikkeling van de abstracte algebra aan het begin van de twintigste eeuw.
In haar tijd was het niet gemakkelijk om als vrouw wiskundige te worden. Onofficieel mochten vrouwen wel studeren aan de Duitse universiteiten. Iedere docent moest echter toestemming geven als een vrouw zijn colleges wilde volgen. Emmy Noether ging studeren in Erlangen en daarna in Göttingen, waar ze colleges volgde bij onder andere Hilbert, Klein en Minkowski.
Hoewel vrouwen niet volledig mee konden doen in de academische wereld, publiceerde Emmy Noether veel en groeide haar reputatie snel. In 1915 nodigden Hilbert en Klein haar uit om terug te komen naar Göttingen. In 1919 kreeg ze toch toestemming om haar Habilitation te halen (dat is een graad die nodig is om hoofddocent te worden), maar daarvoor gaf ze toch al colleges: haar colleges werden aangekondigd als colleges van Hilbert met haar als assistent!
Eerst werkte Noether aan invariantentheorie en aan fysische problemen en ze bereikte een resultaat in de algemene relativiteitstheorie waar Einstein zich lovend over uitliet. Daarna verdiepte ze zich in de ideaaltheorie, een belangrijk onderdeel van de moderne algebra die in deze tijd steeds verder ontwikkeld werd. Toen ze in 1933 ontslagen werd omdat ze joods was, vertrok ze naar de VS.
De Nederlander Van der Waerden studeerde bij Noether in 1924 en hij baseerde het tweede deel van zijn beroemde en invloedrijke leerboek Modern Algebra op haar colleges en colleges van Artin.
Bij haar overlijden schreef Einstein een brief aan de uitgever van The New York Times, die slechts kort verslag gedaan had van Noethers overlijden, een In Memoriam, waarin hij schrijft:
Within the past few days a distinguished mathematician, Professor Emmy Noether, formerly connected with the University of Göttingen and for the past two years at Bryn Mawr College, died in her fifty-third year. In the judgment of the most competent living mathematicians, Fräulein Noether was the most significant creative mathematical genius thus far produced since the higher education of women began. In the realm of algebra, in which the most gifted mathematicians have been busy for centuries, she discovered methods which have proved of enormous importance in the development of the present-day younger generation of mathematicians. Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. One seeks the most general ideas of operation which will bring together in simple, logical and unified form the largest possible circle of formal relationships. In this effort toward logical beauty spiritual formulas are discovered necessary for the deeper penetration into the laws of nature.
(Jeanine)
