Wiskundemeisjes

Fred mailde ons over Arabesk, een mooie webwinkel vol leuke spulletjes. Arabesk verkoopt artikelen die gemaakt zijn door kunstenaars of ontwerpers die zich hebben laten inspireren door wiskunde, natuurkunde en logica.

Als je even op de site van Arabesk snuffelt ontdek je een boel leuks. Puzzels van hout en touw (die ik zelf vaak heel leuk vind, maar wel moeilijk), speelgoed, spelletjes en allerlei mooie objecten.

En er is goed nieuws: Arabesk heeft nu ook een echte winkel! Contactinformatie:

Oostzeedijk Beneden 111-115, 3061 VP Rotterdam
Openingstijden (voorlopig onder voorbehoud): dinsdag t/m zaterdag, 11.00 tot 18.00 uur
U kunt ook een afspraak maken: 010 2140361 of per e-mail.

Professor Fritz Schweiger was vorige week in Nederland. Tijdens de lunch vertelde hij de volgende -tamelijk briljante- anekdote. Neukirch had het verhaal jaren geleden zelf aan hem verteld.

Neukirch was te gast op een diner in Cambridge. Hij zat naast iemand uit een ander vakgebied. Deze man vroeg hem wat wiskundigen nu eigenlijk deden. Neukirch antwoordde dat hij dat niet zo snel kon uitleggen. Zijn tafelgenoot drong aan. "Goed", antwoordde Neukirch. "Wij wiskundigen hebben onlangs ontdekt wat de waarde van het kleinste willekeurig gekozen getal is. Dat is namelijk 37."

Iemand aan de andere kant van de tafel stond boos op: "Wat een onzin!". Deze man was een professor in de theologie. Hij voegde eraan toe: "Er is maar één getal dat er toe doet en dat is 666, het getal van het beest."

De jonge Andrew Wiles was ook in de zaal en redde de situatie. "Maar 666 is 37 maal 18, dus er is geen enkel probleem." En zo werd de status van zowel wiskunde als Neukirch bevestigd...

Canons zijn in! Na de canon van Nederland ontstonden er allerlei canons, lijsten van zaken die alle mensen zouden moeten weten. Zo schreven de wiskundemeisjes allebei al een artikel voor de Volkskrant bètacanon en zagen we grappige stripjes voorbij komen in de historische canon van Fokke & Sukke.

Nu is er dan ook een canon van de wiskunde! Hij is te vinden op www.wiskundecanon.nl. Johannes Lok en Wiggert Loonstra, twee Utrechtse wiskundestudenten, hebben voor het vak Geschiedenis van de Wiskunde een lijst opgesteld van 31 belangrijke wiskundigen uit de wereldgeschiedenis. Bij elk van deze wiskundigen hebben ze een stukje geschreven over hun leven en werk. De site is bedoeld voor iedereen; wie de wiskundemeisjes leest kan dus ook rustig een kijkje nemen op de wiskundecanon!

(Jeanine)

Derk vertelde ons dat hij laatst in het Amsterdams Historisch Museum ineens wiskundigen Freudenthal en Sittig in een filmpje voorbij zag komen - al werden ze niet bij naam genoemd. Het filmpje ging over het onderzoek De juiste maat dat de Bijenkorf in 1947 liet uitvoeren. Er waren in die tijd verschillende maatsystemen in omloop en de Bijenkorf zocht een nieuw, uniform maatsysteem. Daartoe werden bij 5001 vrouwen allerlei maten genomen en genoteerd.

Met al deze meetgegevens gingen genoemde Freudenthal en Sittig aan de slag om tot een goed maatsysteem te komen. Heleen Verhage schreef een bijzonder aardig artikel over dit onderzoek. Lees dat vooral zelf (pdf) en ontdek dat de frequentieverdeling van damestailles niet op de normale verdeling lijkt en nog veel meer!

Het filmpje is nog tot 26 augustus te zien in Amsterdam in de tentoonstelling over modehuizen. Freudenthal en Sittig schreven in 1951 trouwens ook een boek over de statistiek met de weinig verrassende titel De juiste maat, dat is misschien nog te vinden via een antiquariaat.

(Ionica)

Afgelopen weekend was ik in Frankrijk op LLL25+ om de 25ste verjaardag van het Lenstra-Lenstra-Lovasz algoritme te vieren. Hierbij wat losse flarden.

Quote van Jürgen Klüners
(Waarbij weer eens duidelijk wordt dat wiskundigen soms net andersom denken dan anderen)
"It would be very nice if this algorithm that works well in practice, also works nice in theory."

Kolmogorov en het communistische regime
Tijdens een receptie zei ik tegen Claus Schnorr dat ik het bijzonder vond om daar zoveel wiskundigen te ontmoeten waarvan ik het werk bestudeerd had. Daarop vertelde Schnorr dat hij datzelfde gevoel had toen hij als jonge wiskundige Kolmogorov ontmoette. Schnorr en Kolmogorov raakten zelfs bevriend en maakten gezamenlijke uitstapjes. Schnorr kon allerlei mooie verhalen vertellen over Kolmogorov en het communistische regime.

Andrey Kolmogorov was uitgenodigd om te spreken op een Amerikaanse wiskundeconferentie. Hij had de uitnodiging al geaccepteerd, maar moest nog toestemming krijgen van de communistische regering om naar Amerika te reizen. De ambtenaren bedachten dat het niet de bedoeling was dat er meer kennis naar Amerika werd gebracht, dan dat er mee werd teruggenomen. Daarom mocht Kolmogorov níet naar de conferentie, maar mocht er wel een jongere vervanger gaan. Die wist namelijk nog niet zo veel en kon zo meer kennis mee terugnemen...

Het tafellaken na de lunch van Hendrik Lenstra

(Klik op de foto voor de grote versie)

Matthijs Coster opperde tijdens de lunch een methode om abc-drietallen te vinden. Hendrik Lenstra werkte snel wat voorbeelden uit. Zien jullie wat de methode is?

(Ionica)

Op het onvolprezen weblog n-Category café stelde John Baez deze week een interessante vraag: hoe groot schat je de kans dat bepaalde beroemdheden echt hebben bestaan? Baez geeft een lijst namen met daarbij zijn eigen schattingen. Bijvoorbeeld

• Adam - 5%
• Homerus - 30%
• Pythagoras - 60%
• Robin Hood - 60%
• Nicolas Bourbaki - 0%

Kijk hier voor de complete lijst van Baez en probeer vooral om zelf de kansen te schatten. De reacties zijn geweldig en lopen een beetje uit de hand als de lezers moppen gaan verzinnen met personages uit de lijst - met beginzinnen als: Osama bin Laden, Santa Claus and Pythagoras walk into a bar...

Voor het geval jullie -geheel onterecht- nog niet naar de originele pagina zijn gegaan, deze anekdote over Littlewood wil ik jullie niet onthouden: Littlewood has a story in his Miscellany, of meeting someone who said “Oh, you really exist! I thought you were just a pseudonym that Hardy put on his weaker papers.”

(Ionica - 100%)

In Science verscheen vorige week een artikel van Peter Lu en Paul Steinhardt. Ze hebben ontdekt dat in bepaalde Islamitische mozaïeken bijzondere patronen zitten, die lijken op de beroemde Penrose-betegelingen.

Penrose-betegelingen

Een Penrose-betegeling is een vlakvulling die aan speciale eigenschappen voldoet. Zo'n betegeling kun je maken met de volgende tegels, die ook wel pijl en vlieger genoemd worden:

Deze tegels kunnen aan elkaar worden gelegd en het hele vlak opvullen. Je mag ze echter niet op elke willekeurige manier aan elkaar leggen: als twee zijden aan elkaar liggen, moeten de rode en groene lijnen aan elkaar passen.

Maar wat is er nou zo bijzonder aan een Penrose-betegeling? Je kunt het vlak toch ook opvullen met alleen vierkantjes of driehoekjes, of met rechthoeken zodat er een baksteenpatroon ontstaat? Het verschil met deze eenvoudigere patronen is dat een Penrose-betegeling zichzelf nooit herhaalt: hij is niet periodiek. Oftewel: je kunt een Penrose-betegeling niet zódanig verschuiven dat hij weer op zichzelf terecht komt. Bij een baksteenpatroon kan dat wel: als je alles precies 1 baksteen naar rechts verschuift, is het patroon precies hetzelfde.

Het bijzondere aan deze pijl en vlieger van Penrose is dat alle vlakvullingen die je ermee kan maken niet-periodiek zijn. De vlieger en pijl zijn niet het enige paar tegels met deze eigenschap. Er bestaat bijvoorbeeld ook een paar ruiten met gekleurde boogjes erop waarvoor dat ook geldt.
Read the rest of this entry »

Het uitroepteken wordt sinds 1808 gebruikt om het begrip faculteit aan te geven, 5! is bijvoorbeeld gelijk aan 1 x 2 x 3 x 4 x 5. Niet iedereen was gelijk enthousiast over deze nieuwe notatie. In 1842 klaagde Augustus de Morgan:

Amongst the worst of barbarisms is that of introducing symbols which are quite new in mathematical, but perfectly understood in common, language. Writers have borrowed from the Germans the abbrevation n! to signify 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n, which gives their pages the appearance of expressing surprise and admiration that 2, 3, 4, etc., should be found in mathematical results.

(Ionica)

Afgelopen vrijdag gaf Jan Hogendijk in Utrecht zijn oratie Vergeten Wortels. De oratie was een reis door diverse culturen die aan de wiskunde hebben bijgedragen. Hierbij een korte samenvatting van zijn toespraak.

Al 3700 jaar geleden hielden de Babyloniërs zich bezig met het volgende probleem. Hoe bereken je de lengte van de diagonaal van een vierkant als de lengte van de zijde bekend is? Op het onderstaande kleitablet (YBC 7289) kun je de vraag en oplossing zien als de zijde lengte 30 heeft.

Hier zie je een duidelijker getekende versie en eentje waarin de cijfers in moderne cijfers getranscribeerd zijn.

Jan Hogendijk onderstreept het belang van het gebruik van dit soort echte bronnen in het onderwijs. Studenten kunnen dan zelf een interpretatie uitwerken, of zelf uitvinden hoe het Babylonische getalsysteem werkt aan de hand van een kleitablet.

Ook in het werk Meno van Plato komt dit probleem voor. Socrates stelt aan een slaaf de juiste vragen en de slaaf ziet in dat het vierkant op de diagonaal een oppervlakte heeft die twee keer zo groot is als die van het vierkant op een zijde:

In moderne termen zeggen we: de diagnoaal is even lang als √2 keer de lengte van de zijde. De cijfers op het Babylonische kleitablet (42 25 35 en 1 24 51 10) geven de oplossing van het probleem. Naar moderne getallen vertaald stellen deze getallen namelijk voor:

42 25 35 = 42 + 25/60 + 35/3600 en dat is ongeveer 42,426389

en

1 24 51 10 = 1 + 24/60 + 51/3600 + 10/216000, wat ongeveer gelijk is aan 1,4142129.

Het eerste getal is ongeveer gelijk aan 30 × √2, het tweede aan √2. Die benadering is zo nauwkeurig, dat we kunnen uitsluiten dat de Babyloniërs die door metingen hebben kunnen vinden, zo precies kun je helemaal niet meten. Ze moeten dus een methode hebben gehad om dit getal te benaderen.

In de achtste eeuw ontstond in Bagdad een grote belangstelling voor de wiskunde. Daar kende men de Griekse en Indiase wiskunde en er werd veel nieuwe wiskunde ontwikkeld. Ook Al-Khwarizmi, die rond 800 leefde in het grote Islamitische rijk van die tijd, benaderde √2. Hij gebruikte hiervoor een Indiase methode. Op Kennislink kun je een artikel van Jan Hogendijk lezen over Al-Khwarizmi.

Pas veel later, vanaf de renaissance, werd ook in West-Europa wiskunde van betekenis ontwikkeld. Een bekende Nederlandse wiskundige is Ludolph van Ceulen. In zijn boek Van den Cirkel berekent hij bijvoorbeeld een benadering van π. Daarvoor heeft hij een benadering van √2 nodig, die hij berekent met de Indiase methode van Al-Khwarizmi.

Van Ceulen werd lang beschouwd als een doorzetter zonder veel origineel vermogen. Dat is onterecht: hij deed veel moeilijkere dingen dan π benaderen. De ontwikkelingen in de wiskunde moeten bovendien de 17de eeuwse landmeetkunde essentieel veranderd hebben, maar daar is nog veel niet over bekend. Jan Hogendijk pleit hier voor een rol van de historicus van de wiskunde: hij moet en kan een bijdrage leveren aan de cultuurgeschiedenis.

Wat Jan Hogendijk fascinerend vindt, is hoe de wiskunde tijdloze en tijdgebonden elementen combineert. Bij tijdgebonden elementen kun je denken aan de context en aan toepassingen. Bovendien heeft hij veel bewondering voor de wiskundigen in oude culturen.

De titel Vergeten wortels is dan ook op twee manieren uit te leggen. Allereerst verwijst hij naar het worteltrekken zelf. Tegenwoordig leren leerlingen op school niet meer met de hand worteltrekken, ze gebruiken daar een rekenmachine voor. Hogendijk heeft een aantal studenten met de hand leren worteltrekken met de methode van Van Ceulen. Op die manier kun je meer inzicht krijgen in de wiskunde.

Maar Vergeten wortels verwijst natuurlijk ook naar de wortels van de wiskunde die liggen in culturen en perioden waar wij geen weet van hebben, zoals Babylon en India. Tussen de 6de en 10de eeuw was er bijna geen wiskunde te vinden in West-Europa, de Islamitische wiskundigen en astronomen waren de leermeesters van de Europeanen. Dat is een belangrijk inzicht voor deze tijd, vindt Jan Hogendijk.

Na de wortels gaat hij verder met de vruchten. De wiskunde is na 1600 enorm gegroeid: van een wetenschap van getal en ruimte werd ze de wetenschap van structuren in het algemeen. Veel moderne dingen als cd's en pinnen zijn onmogelijk zonder complexe wiskunde, maar dat is vaak moeilijk uit te leggen aan mensen met weinig wiskundige kennis. De geschiedenis van de wiskunde kan de wiskunde een menselijk gezicht geven, in de geschiedenis zijn bovendien toegankelijke toepassingen te vinden. Op die manier kan de geschiedenis van de wiskunde het wiskunde-onderwijs verlevendigen. Het is belangrijk het imago van de wiskunde te verbeteren.

Een andere vrucht van het onderzoeken van de geschiedenis van Islamitische wiskunde is dat we op die manier relaties met Islamitische landen kunnen verbeteren. Er is daar veel belangstelling voor hun eigen wetenschappelijke traditie, maar er is nog weinig aan onderzocht. Door samenwerking kunnen we wetenschappers en studenten van hier in contact brengen met de bevolking daar en met de originele bronnen, en de wetenschappers en studenten van daar met hun eigen wortels. Zo ontstaat meer begrip voor elkaar.

Jan, de wiskundemeisjes feliciteren je van harte met je benoeming en je prachtige oratie!

(Jeanine)

Aanpassing 17 januari: de volledige tekst staat nu online.

...en hij is goed begonnen, want het eerste artikel gaat over het getal nul!

De bètacanon is een initiatief van de Volkskrant. Dit jaar zal elke zaterdag een artikel in de wetenschapsbijlage verschijnen over 'iets dat elke Nederlander zou moeten weten over wetenschap'. De stukken zullen uiteindelijke gebundeld worden tot een boek en zo een tegenhanger vormen van de Nederlandse canon. De onderwerpen worden gekozen door een commissie van wijze professoren, maar de stukken worden geschreven door jonge, talentvolle wetenschappers. Het eerste stuk heet Nul staat voor niets en is geschreven door Vincent van der Noort. Hij maakt met eenvoudige voorbeelden duidelijk hoe geweldig nul eigenlijk is:

Wij zijn eraan gewend hetzelfde symbool te gebruiken voor (bijvoorbeeld) 2 en 2000, maar eigenlijk is dat heel vreemd: of u op uw verjaardag 2 of 2000 gasten verwacht, is wel degelijk van invloed op uw boodschappenlijstje.

Vincent vertelde ons, dat het wel grappig is hoe het idee is ontstaan dat hij een artikel over nul kon schrijven. Hij had met andere wiskundigen gepraat over wat er wel en niet thuishoorde in de bètacanon en kwam er meer en meer achter dat wat wiskundigen nu interessant vinden wel erg ver afstaat van de alledaagse wereld van de krantenlezer. Uiteindelijk zei hij half ironisch tegen een Volkskrantredacteur: "Je mag al blij zijn als mensen weten wat het getal nul is". Die man werd daarna laaiend enthousiast over het idee om nul op te nemen in de canon en zo mocht Vincent dit stuk schrijven over de grootste menselijke ontdekking sinds het wiel...
(Ionica)