Wiskundemeisjes

Penrose-betegelingen in Middeleeuwse Islamitische mozaïeken?

In Science verscheen vorige week een artikel van Peter Lu en Paul Steinhardt. Ze hebben ontdekt dat in bepaalde Islamitische mozaïeken bijzondere patronen zitten, die lijken op de beroemde Penrose-betegelingen.

Penrose-betegelingen

Een Penrose-betegeling is een vlakvulling die aan speciale eigenschappen voldoet. Zo'n betegeling kun je maken met de volgende tegels, die ook wel pijl en vlieger genoemd worden:

Deze tegels kunnen aan elkaar worden gelegd en het hele vlak opvullen. Je mag ze echter niet op elke willekeurige manier aan elkaar leggen: als twee zijden aan elkaar liggen, moeten de rode en groene lijnen aan elkaar passen.

Maar wat is er nou zo bijzonder aan een Penrose-betegeling? Je kunt het vlak toch ook opvullen met alleen vierkantjes of driehoekjes, of met rechthoeken zodat er een baksteenpatroon ontstaat? Het verschil met deze eenvoudigere patronen is dat een Penrose-betegeling zichzelf nooit herhaalt: hij is niet periodiek. Oftewel: je kunt een Penrose-betegeling niet zódanig verschuiven dat hij weer op zichzelf terecht komt. Bij een baksteenpatroon kan dat wel: als je alles precies 1 baksteen naar rechts verschuift, is het patroon precies hetzelfde.

Het bijzondere aan deze pijl en vlieger van Penrose is dat alle vlakvullingen die je ermee kan maken niet-periodiek zijn. De vlieger en pijl zijn niet het enige paar tegels met deze eigenschap. Er bestaat bijvoorbeeld ook een paar ruiten met gekleurde boogjes erop waarvoor dat ook geldt.

Je kunt een Penrose-betegeling maken op de volgende manier. We beginnen hier met een ster.

Nu kun je daar een nieuwe figuur van maken door gebruik te maken van een zogenaamde deflatie-regel. Je vult elke halve vlieger op met (halve) Penrose-tegeltjes op de volgende manier:

Na een stap vervang je opnieuw alle halve vliegers op bovenstaande manier. Elke halve pijl vervang je zo:

Het blijkt dat alle nieuwe halve vliegers en pijlen die je in de vergroting krijgt, weer precies netjes grenzen aan een andere halve vlieger of pijl. Daardoor bestaat de nieuwe figuur die je vindt inderdaad weer uit hele vliegers en pijlen in plaats van halve. Na twee van deze stappen vind je de volgende figuur:

Zo kun je natuurlijk verdergaan. Als je na elke stap alle tegeltjes vergroot totdat ze even groot zijn als de vlieger en pijl waarmee je begon, vind je een steeds grotere figuur van Penrose-tegeltjes, die je willekeurig ver kunt voortzetten.

De vlakvulling die je uiteindelijk wil hebben vult het hele vlak, dus die kun je niet na een eindig aantal stapjes vinden: een figuur die uit een eindig aantal tegeltjes bestaat blijft uit eindig veel tegeltjes bestaan na het toepassen van de deflatie-regel. Maar er bestaat een limiet van dit proces: je ziet dat na het steeds toepassen van een bepaald aantal (in ons geval vier) stappen, een steeds groter stuk van de betegeling niet verandert. Voor elk punt in het vlak weet je dus dat de omgeving van dat punt na een bepaald veelvoud van vier stappen niet meer verandert als je weer vier stappen doet. Het idee is hier hetzelfde als bij de betegeling van een veelhoek met driehoekjes, zoals we hier lieten zien.

Je kunt ook een Penrose-betegeling maken door met andere figuurtjes van vliegers en pijlen te beginnen. Ook als je bijvoorbeeld met één pijl begint, of met één vlieger, vind je een Penrose-betegeling.

Islamitische mozaïeken

Peter Lu en Paul Steinhardt hebben op verscheidene plaatsen Islamitische mozaïeken gevonden met patronen die heel erg lijken op Penrose-betegelingen. In de patronen die zij interessant vinden komen vijf tegels voor. De patronen zijn uiteindelijk nog iets ingewikkelder, omdat op deze vijf tegels ook nog lijnen getekend zijn. Maar aan de basis ligt duidelijk steeds een vlakvulling die vijf speciale tegels gebruikt.

Die vijf tegels zijn veelhoeken (een ruit, een "strikje", een regelmatige tienhoek, een regelmatige vijfhoek en een niet-regelmatige zeshoek) en alle zijden van deze vijf tegels zijn precies even lang. Deze tegels kunnen opgevuld worden met tegels van dezelfde vorm, die allemaal met dezelfde factor verkleind zijn.

Je ziet dat aan de rand halve tegels gebruikt zijn. Maar als je een vlakvulling hebt van de vijf tegels, passen die halve tegels gelukkig weer precies aan de halve tegels aan de randen van de aangrenzende figuren, zodat je inderdaad een nieuwe vlakvulling krijgt die uit hele tegeltjes bestaat. Opvullen van een grote tegel met de kleinere tegeltjes is net zo'n soort regel als de deflatie-regel in de Penrose-betegeling.

Lu onderzocht een paar duizend foto's van patronen in moskeeën. Hoewel tienhoekige patronen vaker voorkwamen, waren de patronen bijna allemaal periodiek. Maar toen vond hij een foto van een mozaïek uit 1453 op een boog in het Darb-i Imam grafcomplex in Isfahan, Iran. Samen met Steinhardt kwam hij tot de conclusie dat dit mozaïek erg lijkt op een Penrose-betegeling.

In dit patroon komen alleen de vijfhoeken, zeshoeken en het "strikje" als tegel voor:

Het bljkt dat je die drie tegels kunt opvullen met de vliegers en pijlen van Penrose!

Dus op deze manier kun je het mozaïek opvullen met Penrose-tegels. Maar is het nu ook een Penrose-betegeling? Allereerst kloppen niet alle tegeltjes precies: op een paar plekken liggen de vliegers en pijlen aan elkaar op een manier die niet mag. Dat kan worden verholpen door een "strikje" en een zeshoek om te wisselen. Volgens Lu en Steinhardt zijn deze defecten oppervlakkig en kunnen ze best veroorzaakt zijn door de bouwers of een reparateur.

Een ander kenmerk van een Penrose-betegeling is echter dat hij het hele (oneindige) vlak vult. Als je een eindige betegeling hebt van Penrose-tegeltjes, dan kun je zonder uitbreidregel niet zeggen dat het een Penrose-betegeling is. Het mozaïek dat Lu en Steinhardt gevonden hebben, levert inderdaad een eindig stukje van een Penrose-betegeling op, maar ze geven geen regel om het gevonden mozaïek uit te breiden. Lu en Steinhardt merken wel op dat dat in principe kan.

Lu en Steinhardt zijn niet de eersten met een dergelijke vondst. In 1992 concludeerde Emil Makovicky uit Denemarken al dat patronen op een tombe in Maragha, Iran, ook aanleiding geven tot een Penrose-betegeling. Lu en Steinhardt zeggen echter dat ze serieuze problemen gevonden hebben in zijn technische reconstructie en zijn algehele conclusies.

Hoe dan ook: het mozaïek is mooi, en levert na het opvullen van de tegels met Penrose-tegeltjes inderdaad een stukje van een Penrose-betegeling op. Dat geeft natuurlijk geen reden om te concluderen dat de Perzen in de middeleeuwen al wisten wat een Penrose-betegeling was, maar dat doen Lu en Steinhardt dan ook niet. Hun conclusie luidt, na het bestuderen van een heleboel mozaïeken, dat er rond het jaar 1200 een conceptuele doorbraak plaatsgevonden heeft bij het construeren ervan, waardoor dergelijke wiskundig ingewikkeldere patronen verzonnen konden worden.

(Jeanine)