Wiskundemeisjes

Nog steeds wordt op verschillende plaatsen geschreven over de wereldvreemde Perelman en zijn bewijs van het Poincaré-vermoeden. In de column Ballenverstand van Robbert Fokkink bijvoorbeeld. Die column wordt afgesloten met een variant van de bekende stelling van Gödel.

En zo stuit de wiskunde op de onvolledigheidsstelling van Fröbel: er bestaan ware beweringen waarvan de bewijzen te lang zijn om door mensenhanden te worden opgetekend.

Dit plaatje van Kamagurka verscheen kort nadat Perelman de Fieldsmedaille had geweigerd, maar ik zag hem pas gisteren voor het eerst.

(Ionica)

Deze week was ik op de workshop Geometric Patterns in Islamic Art, die gehouden werd op het Lorentz Center in Leiden. Vandaag doen we een workshop over driehoekjes die we in mei in Iran gedraaid hebben nog eens over. Deze workshop is ontwikkeld door Aldine Aaten, Michiel Kwetters, Jasper Lukkezen en mij. Hieronder staat niet de hele workshop, maar de essentie wordt hopelijk wel duidelijk. De basisideeën komen van www.mathpages.com.
We gaan een regelmatige veertienhoek betegelen met driehoekjes. (Betegelen betekent: opvullen met tegels zodat ze niet overlappen en er ook geen gaten zijn.) De makkelijkste manier om een veertienhoek te betegelen is natuurlijk de volgende.

Maar op die manier gebeurt er weinig interessants. We gaan daarom deze veertien punten verder opvullen met tegeltjes. De tegeltjes die we gaan gebruiken hebben de volgende vorm.

Hierbij is hoek α gelijk aan 360/14 graden, precies de tophoek van de 14 taartpunten hierboven.

Het leuke aan deze drie tegeltjes, is dat ze samen precies grotere versies van zichzelf kunnen opvullen, en wel zo dat alle drie de tegels evenveel vergroot worden!

Nu kunnen we de vergroting van de gele driehoek gebruiken om een nog grotere versie van deze driehoek te maken: we vullen gewoon alle drie de soorten tegeltjes in de grote gele driehoek nog eens op.

Als je dit doet voor alle veertien taartpunten, krijg je bijvoorbeeld het volgende resultaat:

In Iran maakten we uit elke punt een hele veertienhoek door er twee spiegels omheen te zetten, zoals je hier kunt zien.

Natuurlijk kun je op deze manier steeds opnieuw je punt vergroten. Zo krijg je een vlakvulling die niet-periodiek is. (Een betegeling heet periodiek als er verschuivingen zijn waarna hij er hetzelfde uit blijft zien.) Omdat de betegeling die we hier gemaakt hebben in het midden een rotatiecentrum heeft en verder nergens, weten we zeker dat zo'n verschuiving niet kan bestaan.

(Jeanine)

Veel leuker en uitdagender dan de nationale rekentoets is het wiskundetoernooi in Nijmegen. Scholieren nemen het vrijdag 22 september weer tegen elkaar op, eerst individueel en daarna in teams. Dit was een van de opgaves uit het individuele deel van 2004:

Ik weet het! Jullie ook?

(Ionica)

Doe mee aan de voorronde van de nationale rekentoets! Op hun site staat:

We kunnen niet meer rekenen, geen staartdeling maken noch kruiselings vermenigvuldigen. Zegt iedereen. Maar is dat zo? Aankomende onderwijzers moeten deze maand een rekentoets afleggen, want voor het eerst moeten ze bewijzen dat ze kunnen rekenen, willen ze de Pabo-opleiding kunnen volgen.
Wij doen mee en we dagen u uit hetzelfde te doen. Samen met de HBO-raad houdt de Volkskrant op 2 oktober de Nationale Rekentoets. Inzet van de strijd is het Gouden Telraam, ontworpen door Martijn Wildekamp. Vul de toets (gemaakt door het Cito) in. Uit de goede inzendingen selecteren we een twintigtal rekenaars, die het op 2 oktober moeten opnemen tegen de rekenaars onder de bekende Nederlanders. De strijd om het Gouden Telraam staat onder leiding van Ronald Plasterk.

Wij weten natuurlijk dat wiskunde veel meer is dan rekenen, maar het zou toch leuk zijn als een van onze lezers op 2 oktober dat Gouden Telraam wint!

(Ionica)

Belofte maakt schuld en daarom nu een stuk over Fine-Wilf woorden. Woorden zijn eigenlijk het onderzoeksonderwerp van mijn kamergenoot Sierk Rosema, dus moeilijke vragen zal ik aan hem doorsturen. Omdat dit een echt wiskundige stukje is, begin ik met een paar definities.

Een woord w is een rijtje letters (uit een of ander alfabet, dat kan bijvoorbeeld het gewone alfabet zijn of het binaire 'alfabet' {0,1}). We schrijven zo'n woord als w = w₁w₂...w_n, waarbij w_i de i-de letter van het woord is en n de lengte van het woord.

Een woord heeft periode p als w_i+p = w_i voor elke i die tussen 1 en n-p ligt. Het zevenletterige woord

abbabba

heeft bijvoorbeeld periode 3. Dit woord heeft ook periode 6, want er geldt w₁ = w₇ en voor de volgende letters valt er niets te controleren.

Fine-Wilf woorden
Stel nu dat je een woord zoekt dat bepaalde periodes wél en andere juist níet heeft. Hoe lang kan zo'n woord dan maximaal zijn? Fine en Wilf (daar zijn ze!) keken in 1965 naar woorden met twee periodes p₁ en p₂, die de grootste gemeenschappelijke deler van p₁ en p₂ NIET als periode hebben. We noteren deze grootste gemene deler voortaan als ggd(p₁,p₂). Fine en Wilf bewezen dat zo'n woord maximaal lengte p₁ + p₂ - ggd(p₁,p₂) - 1 kan hebben. Het is niet zo moeilijk om dit maximale woord te vinden.
Een eenvoudig voorbeeld
Neem als periodes 2 en 3. Volgens de stelling van Fine en Wilf kan een woord met deze periodes 2 en 3 en zonder periode 1 (dat is ggd(2,3)) maximaal 3 letters lang zijn. Periode 1 betekent dat een woord uit allemaal dezelfde letters bestaat, dat mag dus niet voor onze oplossing. We gaan het langst mogelijk woord stap voor stap opbouwen. We beginnen met de eerste letter, laten we die a noemen:

a.

We weten dat het woord periode 2 en 3 moet hebben, dus op plaats 3 en 4 komen nu ook a's te staan, de tweede plaats is nog vrij te kiezen, die noemen we even x:

axaa.

Op de tweede plek kunnen we ook een a zetten, maar dat betekent dat het hele woord uit a's zal bestaan (omdat daarna elke tweede plek vanaf zowel de 1ste als 2de letter een moet zijn). We mogen daar dus geen a zetten. Maar als we er een andere letter zetten, b bijvoorbeeld, dan krijgen we:

abaa.

Maar dit woord heeft niet periode 2, want op de 2de en 4de plaats staan verschillende letters. Kortom: we kunnen geen niet-constant woord van vier of meer letters maken dat periodes 2 en 3 heeft. We noemen het drieletterige woord

aba

ook wel het Fine-Wilf woord voor periodes 2 en 3.
Nog een voorbeeld

Iets minder flauw is het voorbeeld voor periodes 6 en 8. Volgens de stelling van Fine-Wilf kan dit woord maximaal 8 + 6 -2 -1 = 11 letters hebben. We beginnen weer met een letter a en krijgen dan:

a23456a8a.

Deze keer noteer ik de nog onbekende letters met cijfers in plaats van x-en, zodat jullie niet op je scherm hoeven te tellen of het klopt. Er staat nu op plaats 9 een a, dus moet er op plek 3 ook een a komen, omdat het woord periode 6 heeft:

a2a456a8a.

Maar als er op plek 3 een a staat, dan moet er op plek 11 ook een a staan, want het woord heeft periode 8:

a2a456a8a0a.

En jahoor, ook op plek 5 moet een a komen:

a2a4a6a8a0a.

Als we nu op plaats 2 een willekeurige letter zetten, dan komt volgens dezelfde stappen als hierboven die letter ook op plaatsen 8, 10, 4, 12 en 6. Dat betekent dat het woord constant wordt als we een a kiezen en periode 2 krijgt als we een b kiezen:

abababababab.

Maar 2 is de grootste gemene deler van 6 en 8 en we zochten juist een woord dat die niet als periode had! Dit betekent dat we een letter teveel gebruikt hebben. Als we het woord tot 11 letters beperken en op de tweede plaats een b zetten, dan krijgen we volgens bovenstaande stappen

ababaxababa.

De zesde plaats is nu nog vrij te kiezen, omdat we niet dezelfde letter meer hoeven te kiezen als op de 12de plaats. Daar zetten we vrolijk een c en we hebben het Fine-Wilf woord voor periodes 6 en 8 gevonden:

ababacababa.

Deze resultaten zijn trouwens ook gegeneraliseerd voor meer dan twee periodes. De liefhebber kan ook eens nadenken over een generalisatie in meer dimensies, dat is pas echt spannend.
(Ionica)

Statistieken in de krant vertrouw ik nooit helemaal: "There are three types of lies - lies, damn lies, and statistics." Maar dat ook iets eenvoudigs als een gemiddelde af kan hangen van je standpunt was nieuw voor mij. Allen Schwenk van de Western Michigan University schreef een artikel over dit verschijnsel in het septembernummer van College Mathematics Journal en ik las erover op Math Trek.

Een voorbeeld laat duidelijk zien wat er gebeurt. Stel dat het Maascollege precies 200 leerlingen heeft en dat elke leerling dezelfde vijf vakken volgt (om het onszelf makkelijk te maken). Nederlands en Engels worden in een grote collegezaal aan alle 200 leerlingen tegelijk gegeven. Wiskunde, Geschiedenis en Economie worden in groepjes van 20 leerlingen gegeven. Wat is nu de gemiddelde grootte van een klas op deze school? Eerst nog even een grapje over gemiddeld voor we deze vraag beantwoorden...

Het schoolhoofd (die vroeger leraar wiskunde was) berekent dit gemiddelde netjes: er zijn in totaal 32 klassen (30 van 20 leerlingen en 2 van 200) en die moeten verdeeld worden over 1000 leerlingen (want elke leerling volgt vijf vakken). Dat betekent dat er gemiddeld 31.25 leerlingen in een klas zitten.

Een leerling berekent ook eens met hoeveel mensen hij gemiddeld in een klas zit. Hij heeft 3 vakken met 20 leerlingen en 2 vakken met 200 leerlingen. Het gemiddeld aantal leerlingen per klas is voor hem 460/5 = 92.

Dat is vreemd, voor een leerling is de gemiddelde grootte van een klas bijna drie keer zo groot als voor het schoolhoofd. En toch zijn allebei de gemiddeldes netjes berekend, zij het op een andere manier.
(Ionica)

Gisteren zat Ad Verbrugge - de man op de foto - aan tafel bij Zomergasten.

Hij is voorzitter van de vereniging Beter Onderwijs Nederland. Het doel van deze vereniging is (ik quote):

Het zo goed mogelijk tot bloei laten komen van de potenties van leerlingen en studenten door gedegen vakinhoudelijke en algemene vorming.

Verbrugge legde gisteren uit, wat hij concreet mist in het huidige onderwijs: de basis. Als voorbeeld noemde hij dat je als scholier geen prachtig werkstuk kan schrijven, als je de Nederlandse taal nauwelijks beheerst.

Hetzelfde geldt voor wiskunde, ook daar kan je alleen mooie resultaten behalen als je de basis beheerst. Beter Onderwijs Nederland heeft een aparte Kring Wiskunde. Deze kring heeft als belangrijke standpunten dat de grafische rekenmachine moet worden afgeschaft en dat er meer aandacht moet komen voor algebraïsche vaardigheden in de onderbouw. Ik raad iedereen met een hart voor onderwijs aan, om eens op hun site te kijken.

Via hun forum kwam ik een interessant artikel tegen van Herbert Wilf. Ik kende hem van de Fine-Wilf woorden* en het boek A = B dat hij samen met Doron Zeilberger schreef. In het artikel Can there be "research in mathematical education"? verdiept hij zich in een aantal artikelen en een boek die goede voorbeelden zouden zijn van "research in mathematical education". Het resultaat: in elk door hem bestudeerd onderzoek zijn zulke ernstige fouten gemaakt, dat er geen enkele conclusie getrokken kan worden uit de onderzoeksgegevens.
(Ionica)

* Op verzoek zal ik een keer hierover schrijven!

Gisteren zijn op het ICM (International Congress of Mathematicians) in Madrid verscheidene prijzen uitgereikt aan vooraanstaande wiskundigen.

Allereerst werden weer de beroemde Fields-medailles uitgereikt! De Fields-medailles worden eens in de vier jaar uitgereikt aan wiskundigen die baanbrekende resultaten hebben bereikt. Maar de extra eis is dat de prijswinnaars niet ouder mogen zijn dan veertig! De medaille is namelijk ook een aanmoedigingsprijs.

De winnaars van dit jaar zijn Andrei Okounkov, Terence Tao (pas 31 jaar oud, hij is een van de jongste winnaars ooit), Wendelin Werner en Grigori Perelman. Perelman is bij het grote publiek de bekendste van de vier: hij claimt in 2002 het Poincaré-vermoeden bewezen te hebben. Zijn bewijs wordt nog steeds gecontroleerd door andere wiskundigen, maar steeds meer mensen geloven dat zijn bewijs klopt. Het Clay-instituut heeft het Poincaré-vermoeden aangewezen als een van de 1 miljoen dollar problemen, dus als zijn bewijs standhoudt heeft hij recht op al dat geld. Hij lijkt echter niet uit te zijn op prijzen of geld: Perelman heeft de Fields-medaille geweigerd! Zie ook wat Noorderlicht schrijft over zijn afwezigheid bij de uitreiking en zijn verdwijning van de aardbodem. En lees het artikel over de uitreiking en Perelman in de New York Times.

Verder is gisteren de Rolf Nevanlinna-medaille (een prijs voor werk aan de wiskundige aspecten van de informatica) uitgereikt aan Jon Kleinberg. Kiyoshi Itô ontving de Carl Friedrich Gauss prijs voor toegepaste wiskunde.

Voor meer informatie over de prijzen en prijswinnaars, zie de webpagina van the International Mathematical Union.

(Jeanine)

Update 26 augustus: zie ook het artikel op Kennislink.

Hinke Osinga en Bernd Krauskopf hebben een paar jaar geleden op een erg originele manier een wiskundig object gevisualiseerd: door het te haken! Ze ontdekten dat een algoritme dat ze hadden verzonnen om het Lorenz oppervlak te construeren met een computer ook heel goed als een handleiding om het oppervlak te haken kan worden gebruikt!

Op hun website kun je meer lezen over hun gehaakte oppervlak en ook over wat het Lorenz oppervlak precies is.

(Jeanine, met dank aan Hermen Jan)

Zet de getallen 1 t/m 16 in de zestien vakjes van onderstaande figuur aan de hand van de volgende aanwijzingen:

* Elk getal komt precies eenmaal voor.
* Het getal 14 staat in een lagere rij dan het getal 1.
* Het getal 9 staat direct boven het getal 4.
* Alle getallen in de eerste kolom zijn priemgetallen.
* De som van alle getallen op een van de diagonalen is 37.
* Op twee hoekpunten komt een veelvoud van vijf te staan.
* Het getal 16 staat meer naar links en lager dan het getal 2.
* Het getal 7 staat niet in een rij waar het getal 6 of het getal 8 al staat.
* Het getal 8 staat niet direct onder, maar wel recht onder het getal 15.
* Het product van de getallen uit de vakjes die niet aan de rand liggen is 240.
* Als je de getallen van één kolom bij elkaar optelt, dan komt er bij elke kolom hetzelfde getal uit.
* Er zijn geen vakjes waarbij het getal in het horizontaal aangrenzende vakje (links, of rechts) precies 1 verschilt met het getal in dat vakje.

(Jeanine)