Wiskundemeisjes

Laat zien dat de twee zwart gekleurde oppervlaktes even groot zijn.

(Jeanine)

Vijf piraten hebben een schat buitgemaakt. Omdat ze hem voorlopig even niet nodig hebben, bergen ze hem op in een kluis. Ze vertrouwen elkaar niet en willen dat deze kluis alleen geopend kan worden als een meerderheid van de piraten het daarmee eens is. Bij slechts een of twee piraten gaat het feest niet door. Aan de andere kant willen ze wel dat IEDERE combinatie van 3 piraten de kluis open kan maken en ze dus niet altijd afhankelijk zijn van één piraat. Om dit te bereiken hangen ze een aantal sloten op de kluis die allemaal open moeten voordat de kluis open kan. Iedere piraat krijgt van een aantal sloten de sleutel.

(Jeanine)

Stel a = b,
dan a² = ab
en a² – b² = ab – b²,
dus (a + b)(a – b) = b(a – b)
en dus a + b = b.
Maar a = b, dus dit betekent 2b = b
en dus 2 = 1.
Wat gaat er mis?

(Jeanine)

In het land der schurken en ridders wonen twee typen bewoners: 1) Ridders, mensen die altijd de waarheid spreken; 2) Schurken, mensen die altijd liegen. Je kan niet aan een persoon zien of hij een schurk of een ridder is.

a) Iemand zegt: “Als ik een schurk ben, dan lieg ik.” Kan dit een ridder zijn?
b) Iemand zegt: “Als ik een ridder ben, dan spreek ik de waarheid.” Kan dit een schurk zijn?
c) Streep de verkeerde woorden weg, zodat de stelling klopt. Een schurk zegt: “Als ik een schurk/ridder ben, dan lieg ik/spreek ik de waarheid.”

(Jeanine)

Deze week zijn de wiskundemeisjes op Vierkantkamp, samen met een stuk of 35 jongeren uit klas 3 t/m 6 en een boel bijzonder gezellige collega-begeleiders. Maar we laten jullie natuurlijk niet in de steek: elke dag kunnen jullie fijn nadenken over een vers ochtendprobleem! We kiezen de ochtendproblemen uit de puzzels die we op kamp gaan doen.

We hebben zelf echter de hele week geen internet, dus jullie zullen er zelf uit moeten komen! Kijk hier dus elke dag om half tien 's ochtends voor een nieuwe opgave & doe gezellig mee!

(Jeanine)

Deze week is Jeanine op vakantie en ben ik ziek thuis, dus intelligente stukjes zitten er even niet in op de wiskundemeisjes. Als ik niet slaap, kijk ik filmpjes op YouTube. Hierbij twee filmpjes voor jullie.

Een rappende wiskundeleraar (formulas in da house!)

Deze week organiseert Vierkant kamp B, het wiskundekamp voor jongeren uit klas 1 en 2 van de middelbare school. Net als de deelnemers van kamp A beginnen zij elke dag met ochtendproblemen.

Ochtendprobleem 1: leeftijden
Een wiskundestudent komt een café binnen, bestelt wat te drinken en begint een gesprek met de barman. De barman vertelt de student dat hij 3 kinderen heeft. "En hoe oud zijn ze?" vraagt de student nieuwsgierig. "Welnu," zegt de barman, "het product van hun leeftijden is 72." De student denkt na en zegt na een tijdje: "Maar dat is niet genoeg, ik moet meer informatie hebben!" "Oké," zegt de barman, "als je naar buiten loopt en kijkt welk huisnummer dit café heeft, weet je de som van hun leeftijden." De student loopt naar buiten, komt even later weer terug, en zegt: "Ik weet nog steeds niet genoeg!" De barman zegt daarop: "Mijn jongste dochter is gek op ijs!"

Hoe oud zijn de kinderen en wat is het huisnummer van het café?

Ochtendprobleem 2: vierendelen
Deel het getal 45 zodanig in vier delen dat het volgende geldt: als ik bij het eerste deel 2 optel, van het tweede deel 2 aftrek, het derde deel met 2 vermenigvuldig en het vierde deel door 2 deel, krijg ik steeds dezelfde uitkomst.

Ochtendprobleem 3: blokletters
Beschouw alle getallen waarvan de naam, in blokletters geschreven, uit alleen rechte lijnstukken bestaat (bijvoorbeeld: "EEN" bestaat uit elf rechte lijnstukken). Kun je een getal vinden dat even groot is als het aantal lijnstukken dat je nodig hebt om het getal in blokletters te schrijven?

Kunnen jullie ze ook oplossen?

(Jeanine)

Je kan 'bewijzen' dat elk getal bijzonder is: stel maar eens dat er een kleinste getal is, dat niet bijzonder is. Dat is ook een speciale eigenschap, dus dit getal is toch bijzonder!

Het bovenstaande werkt stiekem toch niet zo goed, maar voor wiskundigen zijn toch bijna alle getallen bijzonder. De bekendste anekdote gaat over 1729. De Indiase wiskundige Ramanujan lag ziek op bed en Hardy kwam bij hem op bezoek. Hardy vertelde dat hij een taxi met nummer 1729 had genomen en dat hij het jammer vond dat dit zo'n saai getal was. "Nee, het is juist een heel interessant getal", antwoordde Ramanujan: "1729 is het kleinste getal dat op twee manieren als de som van twee derdemachten geschreven kan worden."

Op de website What's special about this number? kun je van een heleboel getallen onder de 10000 vinden waarom ze bijzonder zijn. De wiskundemeisjes selecteerden een paar highlights:

18 is het enige getal dat gelijk is aan twee maal de som van zijn cijfers.

121 is het enige bekende kwadraat van de vorm 1 + p + p² + p³ + p⁴, waarbij p een priemgetal is.

432 = (4) (3)³ (2)².

1160 is het maximaal aantal stukken dat je uit appel kan krijgen met 19 keer snijden.

2520 is het kleinste getal dat deelbaar is door 1 tot en met 10.

9973 is het grootste priemgetal dat uit vier cijfers bestaat.

(Ionica)

Vandaag gaat in Lunteren het eerste wiskunde zomerkamp van deze zomer van Vierkant van start! Deze week worden kinderen uit groep 6 t/m 8 van de basisschool beziggehouden met leuke puzzeltjes en problemen. De onderwerpen die uitgebreid aan de orde komen zijn knopen, fractals, kansrekening en wiskundig tekenen. Bovendien kunnen ze nadenken over koning Tuku en het tegeldoolhof en knutselen aan een creatieve opdracht!

Maar zoals op ieder Vierkantkamp het geval is, begint elke dag met een reeks ochtendproblemen, om goed wakker te worden en de geest te scherpen! Twee van de ochtendproblemen van dit jaar staan hieronder, als een goed begin van de week voor onze lezers.

Ochtendprobleem 1
Jan heeft zes kaarten waarop de cijfers 2, 3, 4, 5, 6 en 7 staan (één cijfer per kaart). Hij vormt hiermee twee getallen van elk drie cijfers. Eén van de getallen is het dubbele van het andere getal.

Welke getallen heeft Jan gevormd? (Er zijn drie mogelijkheden!)

Ochtendprobleem 2
Op een eiland zijn twee typen bewoners, ridders en schurken. Ridders spreken altijd de waarheid, en schurken liegen altijd. Een bewoner zegt: “Mijn zus en ik zijn allebei ridders of allebei schurken.”

Wat voor type bewoner is de zus?

(Jeanine)

Vandaag is het precies 112 jaar geleden dat Aleksandr Yakovlevich Khinchin in Rusland werd geboren. Hij bewees een mooie stelling over kettingbreuken en toevallig houd ik heel erg van kettingbreuken, dus de verjaardag van Khinchin (al is de beste man inmiddels overleden) leek me een mooie aanleiding om eens iets over kettingbreuken te vertellen.
Een kettingbreuk heeft niets te maken met fietskettingen: het is een breuk in een breuk, in een breuk, enzovoorts. Je hebt verschillende vormen kettingbreuken, maar een 'gewone' kettingbreuk ziet er zo uit:

De coefficienten a_i zijn gehele positieve getallen, alleen a₀ mag negatief zijn als x dat ook is. Je vindt die getallen a_i door steeds het algoritme van Euclides te gebruiken (waarmee je de grootste gemene deler van twee getallen kan bepalen).

Benaderingen (met een voorbeeld om het duidelijk te maken)
Het leuke is dat je elk getal x als een kettingbreuk kan schrijven. En als dat getal x zelf niet als een gewone breuk te schrijven is (dat is bijvoorbeeld waar voor pi, wortel 2 en de gulden snede), dan gaat die kettingbreuk oneindig lang door. Je kan zo'n oneindige lange kettingbreuk dan afkappen om een benadering te vinden voor je getal x en dit geeft een reeks steeds beter wordende benaderingen.

Zoals de tussenkop al zegt, zal ik het proberen duidelijk te maken met een voorbeeld. Laten we eens kijken naar benaderingen voor pi ≈ 3.14159. De kettingbreuk voor pi begint als volgt:

De eerste afgekapte kettingbreukbenadering voor pi is 3, wat niet zo'n goede benadering is. De tweede benadering is 22/7 ≈ 3.14285. Deze benadering wordt op school vaak gebruikt en heeft de eerste twee decimalen van pi al goed. De volgende benadering is 333/106 ≈ 3.14151 en die doet de derde en vierde decimaal ook goed. Met elke volgende stap worden de benaderingen een stukje beter.

Voor ik het resultaat van Khinchin geef, nog een leuk feitje over kettingbreuken. Als je de kettingbreuk voor de gulden snede berekent, dan krijg je een kettingbreuk met alleen maar enen:

Daardoor is de gulden snede het moeilijkste getal om te benaderen met breuken. Zou dat de reden zijn dat mensen zo van deze verhouding houden?

De constante van Khinchin

Aleksandr Khinchin bewees dat voor bijna elk getal x geldt dat het meetkundige gemiddelde van de getallen a_i in zijn kettingbreuk gelijk is aan een constante:

Die constante K_o heet de constante van Khinchin en is ongeveer gelijk aan 2.68545. Dat 'bijna elk getal' klinkt misschien een beetje vaag, maar voor wiskundigen is dat een heel helder gedefinieerd begrip. En dat zoiets als hierboven geldt voor bijna elke x is echt een mooi resultaat.

Dit stukje is te kort om echt veel te vertellen, maar wie meer wil weten over kettingbreuken kan eens kijken op Continued Fractions...an introduction.

In mijn eigen onderzoek werk ik trouwens aan multidimensionale kettingbreuken. Het probleem is nu om niet één getal, maar een heel rijtje getallen tegelijk met breuken te benaderen. En daarbij wil je ook nog dat elke benaderingsbreuk dezelfde noemer heeft. Waarom dat handig is en hoe je die schattingen kunt vinden, zal ik vertellen in een latere post!

(Ionica)