Wiskundemeisjes

Vorige week vrijdag zagen Jeanine en ik op het IMAPP symposium grootheden als Roger Penrose, Gerard 't Hooft en Don Zagier spreken. Het thema van de dag was de vraag: Waar komt het heelal vandaan? We hebben deze dag niet voor jullie als uitje aangekondigd, omdat het congres al weken van te voren volgeboekt was.

Het goede nieuws is, dat je op deze site (bijna) alle presentaties kan downloaden als filmpjes. Dit is een screenshot van de presentatie van Don Zagier.

Don Zagier (voor wie hem niet kent) was een heus wonderkind, dat op zijn 16de afstudeerde aan het MIT en op zijn 25ste al professor werd. Zijn presentatie zat vol grappen, oneliners en mooie wiskunde. Ik heb de film nog niet teruggekeken, maar ik herinner me een mooie uitspraak die bedoeld was voor de natuurkundigen in de zaal:

Maybe you don't like equations. Let me write them really big. Maybe you like big equations better? (Schrijft heel grote tekens op het bord, gevolgd door gelach uit de zaal.) Well, at least everyone likes jokes.

(Ionica)

Dit mooie plaatje is gemaakt door Richard Palais.

Palais won dit jaar de Science and Engineering Visualization Challenge die het bekende blad Science had georganiseerd. Zijn programma 3D-XplorMath is speciaal ontwikkeld om wiskunde te visualiseren. Als je zelf zulke plaatjes wil maken, dan kun je het programma hier downloaden. Je moet wel een Apple hebben, want het programma is alleen geschikt voor Mac OS X. De wiskundemeisjes hebben het al op hun iBooks staan!

Nog meer mooie plaatjes

Frank Redig tipte ons over een ander soort mooie plaatjes. Op de website van Vincent Beffara staan verschillende mooie illustraties van random krommen die heel populair geworden zijn na de uitreiking van de Fields medaille aan Wendelin Werner in augustus. Hieronder zie je van links naar rechts Diffusion Limited Aggregation, Site-Percolation en Ising Configuration. Als je meer wilt weten over de wiskunde achter deze plaatjes, klik dan op de namen.

(Ionica)

Vandaag promoveert Merlijn Sevenster aan de UvA. Zijn onderzoek gaat over spelletjes en puzzels: kun je de moeilijkheidsgraad van een spelletje of puzzel meten? Kun je de moeilijkheid van twee verschillende soorten spelletjes vergelijken? Zijn puzzels als sudoku of Zeeslag moeilijker dan spellen voor twee spelers zoals schaken en Stratego?

Sevenster maakt onderscheid tussen spellen of puzzels met volledige informatie en met onvolledige informatie. Een spel of puzzel heeft onvolledige informatie als de speler op een bepaald moment niet van de gehele situatie op de hoogte is: hij weet niet alles dat nuttig is om te weten om een strategie te bepalen. Zeeslag, Mastermind, kwartetten en Memory zijn bijvoorbeeld spellen met onvolledige informatie, terwijl bijvoorbeeld schaken en sudoku's volledige informatie hebben. Zijn spellen met onvolledige informatie moeilijker dan spellen met volledige informatie?
Sevenster gebruikt technieken uit de theoretische informatica om te bepalen wat de moeilijkheid van een spel is. De moeilijkheid is de complexiteit van het beste computerprogramma dat een "pad naar succes" vindt, dus bij een sudoku moet zo'n programma de oplossing vinden, bij een spel een winnende strategie (een strategie die er altijd voor zorgt dat jij wint, ook als de tegenspeler steeds de slimste zet doet).

Als spellen op deze manier met elkaar vergeleken worden, blijken sudoku en Zeeslag even moeilijk te zijn. Ook heeft Sevenster laten zien dat de onvolledige informatie bij het spel Scotland Yard dat spel niet moeilijker maakt dan de meeste spellen voor twee spelers met volledige informatie.

(Jeanine)

Wiskundigen geven vaak gewone woorden een heel andere betekenis. In het geval van kussen lijkt die betekenis echter wel een klein beetje op de normale betekenis van het woord. (En om de reacties voor te zijn: ja, de etymologie van deze term ligt in het biljarten, waar "kiss" ook een gebruikelijke term schijnt te zijn.)

Het kusgetal is het aantal eenheidsbollen (dat zijn bollen met straal 1) die een eenheidsbol die het midden ligt tegelijk kunnen aanraken, zonder te overlappen. In dimensie 2 zijn bollen cirkels, en dan is het kusgetal 6, zoals je kunt zien in het volgende plaatje.

In drie dimensies is het niet zo gemakkelijk het kusgetal te bepalen. In 1694 leidde deze vraag tot een discussie tussen Isaac Newton en David Gregory: Newton dacht dat het 12 was en hij wist een manier om 12 bollen rond een centrale bol te rangschikken, maar Gregory dacht dat het met 13 ook zou kunnen. Newton bleek uiteindelijk gelijk te hebben. Het duurde tot de negentiende eeuw voor sommige wiskundigen een bewijs vonden, maar het eerste gedetailleerde bewijs is van Schütte en Van der Waerden uit 1953. Het elementairste bewijs dat er is, is echter niet heel makkelijk. Dat komt vooral doordat er oneindig veel verschillende manieren zijn om 12 bollen op een dergelijk manier rond een centrale bol te rangschikken. De buitenste 12 bollen raken elkaar niet allemaal precies, en ze kunnen dus allemaal een beetje vrij verschuiven, terwijl ze de bol in het midden blijven raken.

Het begrip kusgetal bestaat ook in hogere dimensies, maar het is nog maar voor weinig dimensies bekend. In dimensies 8 en 24 weten we het kusgetal wel: het is 240 in dimensie 8 en 196560 in dimensie 24. In feite is het bepalen van deze twee getallen makkelijker dan het bepalen van het kusgetal in dimensie 3, omdat in dimensies 8 en 24 de rangschikking van de bollen om de middelste bol uniek is, er is maar één manier om ze te laten raken aan de middelste bol (hierbij noemen we twee configuraties hetzelfde als ze in elkaar kunnen worden overgevoerd door draaien of spiegelen). Pas in 2003 werd het kusgetal in dimensie 4 bepaald door Musin, het is 24.

In andere dimensies dan 2, 3, 4, 8 en 24 weten we het kusgetal nog niet. Wel zijn er bovengrenzen bepaald: getallen waarvan we weten dat het kusgetal voor die bepaalde dimensie eronder ligt. Delsarte vond in 1970 een manier om dat te doen.

Maar nu hebben twee onderzoekers een manier gevonden die betere bovengrenzen geeft dan de methode die er al was! Frank Vallentin (van het CWI in Amsterdam) en Christine Bachoc (van de Université Bordeaux) hebben de kusgetallen voor dimensies 2, 3, 4, 8 en 24 opnieuw gevonden. Voor dimensie 5 hebben ze de bovengrens van 45 naar 44 teruggebracht, terwijl bijvoorbeeld in dimensie 10 de bovengrens met wel 27 bollen teruggebracht is. Ze hebben resultaten gebruikt van Spinozaprijswinnaar Lex Schrijver, die ook op het CWI werkt.

Zie ook het persbericht van het CWI en het artikel op kennislink. Voor de wiskundigen onder jullie: een beetje meer informatie en vooral literatuurverwijzingen naar de oudere bewijzen over dit onderwerp kun je vinden in het boek Sphere Packings, Lattices and Groups van Conway en Sloane.

(Jeanine)

1. Miss smart
Een Belgische miss-kandidate wordt een zeer moeilijke wiskundige vraag gesteld. Zie de paniek in haar ogen... (eerder op Yoshe van nu.nl)

Als je na alle fruitgrapjes iets serieuzers wilt lezen, dan staat er een aardig artikel op Kennislink over Terence Tao. In augustus kreeg de 31-jarige wiskundige al de Fields Medal als een van de jongste winnaars ooit (dit feit werd een beetje ondergesneeuwd door de weigering van Perelman). Op 19 september was hij een van de 25 winnaars van een MacArthur Fellowship. Het grappige is dat deze prijs helemaal niet speciaal voor wiskunde is, maar voor mensen met originele ideeën in hun werk op welk vakgebied dan ook. Hier was Terence Tao ook een van de jongere winnaars, tussen muzikanten, kunstenaars en wetenschappers.

Anne-Wil Hop mailde ons twee leuke jaren zeventig liedjes over vermenigvuldigen: Three is a magic number en I got six.

I got six in my right hand,
Six in my left hand,
Six on my head.
And you got six in your pocket.
Put 'em all on the floor - that's 24.
Six time four is 24, four times six

Ze komen van Schoolhouse Rock en op de site staan nog veel meer teksten, heeft iemand de andere liedjes?

(Ionica)

Gisteren was het grote wiskundetoernooi in Nijmegen, dat we al aankondigden in Een leuke opgave. Lees daar ook de reactie van deelneemster Johanneke, die helaas niet in de prijzen viel. Ruben van den Brink, de organisator van dit evenement, had ook wetenschapsjournalisten uitgenodigd om mee te doen aan het toernooi. Arnout Jaspers (de nieuwe hoofdredacteur van Pythagoras), Joep Engels (Trouw) en Pim van Tend namen de uitdaging aan. De onderstaande tekst heb ik gekopieerd uit het persbericht van RU-voorlichter en mede-organisator Iris Roggema (het is immers weekend).

Wetenschapsjournalisten Joep Engels, Arnout Jaspers en Pim van Tend hebben vanochtend aan de Radboud Universiteit Nijmegen de eer van de wetenschapsjournalisten hoog gehouden met een alleszins redelijke score van 280 punten uit 500. Het team wist in een uur twaalf wiskundevraagstukken uit de wiskunde-estafette voor middelbare scholieren correct te beantwoorden. De middagcompetitie - bestaande uit een cryptografievraagstuk - liet het team aan zich voorbij gaan.

De winnaars - jonge bollebozen uit Heemstede - wisten 430 punten te vergaren. De journalisten eindigden in de middenmoot. "Het voelt echt als vroeger - zo lang ingespannen achter elkaar nadenken," zei een zichtbaar vermoeide Joep Engels achteraf. Hij leverde overigens een opmerkelijk hoge bijdrage aan het puntentotaal.

Het was de vijftiende keer dat de afdeling Wiskunde deze scholierenwedstrijd organiseerde. De wiskundewedstrijd bestaat uit twee onderdelen: een tactische estafette van 20 vraagstukken in de ochtend en Sum of us; een groot complex redeneerprobleem in de middag. Dit jaar was daarvan het onderwerp cryptografie, geheimtaal. De winnaars van de Estafette én de winaars van Sum of Us winnen een vierdaagse reis naar Cambridge, de stad van Newton, vader van de moderne wiskunde.

Om de prestatie van de journalisten beter op waarde te kunnen schatten, kun je de opgaven ook zelf proberen. Je hebt een uur. En nou niet meteen gaan spieken!

Opgaven wiskundetoernooi (pdf)

Uitwerkingen wiskundetoernooi (pdf)

(Ionica)

ps De ranglijst was nog niet bekend toen dit persbericht verstuurd werd. Even later bleek dat de wetenschapsjournalisten niet in de middenmoot waren beland, maar in de top tien! Lees ook het stukje Middenmoot dat Arnout Jaspers schreef over deze dag.

Het tijdschrift Pythagoras viel vandaag bij mij in de bus en daar staat zo'n leuke rekenprijsvraag in! De vraag draait om zogenaamde Coster-getallen die Matthijs Coster speciaal voor deze prijsvraag bedacht.

Een Coster-getal is een geheel getal dat je met +, -, x en : kunt maken uit zijn eigen cijfers, waarbij elk cijfer precies twee keer wordt gebruikt. In de berekening mag je de rekenvolgorde zelf bepalen, je mag dus haakjes zetten zoveel je wilt. 'Cijfers plakken' (bijvoorbeeld van een 1 en een 2 het getal 12 maken) is niet toegestaan.

Voorbeelden van Coster-getallen zijn:

25 = 5 x 5 +2 - 2 en 256 = (2 x 5 + 6) x (2 x 5 + 6).

De opdracht is nu om een zo groot mogelijk Coster-getal te zoeken. De redactie geeft een voorzet met

127750 = 5 x 5 x 7 x (7 x (7 x (7 x 2 +1) -1) +2) + 0 + 0.

De oplossingen moeten pas januari volgend jaar ingeleverd worden, dus er is flink tijd om te puzzelen. Zijn er slimme manieren om Coster-getallen te zoeken? Moet je getallen met veel of juist weinig delers gebruiken of maakt dat niets uit? Is een groot Coster-getal vinden een kwestie van geluk hebben of slim zijn?

Ik heb net even wat dingen geprobeerd op de achterkant van een envelop en ik kwam vrij snel tot

59049 = 9 x 9 x 9 x 9 x (5+4) x (5-4) + 0 + 0.

Wie kan het beter? We beloven plechtig om geen oplossingen van onze lezers in te sturen, dat mogen jullie zelf doen!

(Ionica)

Vanmiddag verdedigt Joost Batenburg zijn proefschrift Network Flow Algorithms for Discrete Tomography. Simpel gezegd lijkt zijn onderzoek op het oplossen van een Japanse puzzel: voor een aantal richtingen weet je hoeveel zwarte vlakjes (bijvoorbeeld atomen) er in die richting te zien zijn. Met zo weinig mogelijk gegevens probeer je een reconstructie te maken van het object waar je doorheen kijkt. Toepassingen liggen bijvoorbeeld in de medische wereld en het slijpen van diamanten.
Joost legt zelf op kennislink duidelijk uit waar zijn onderzoek over gaat, dus dat hoeven we hier niet nog eens over te doen. Ook het Leidse universiteitsblad Mare besteedde deze week aandacht aan zijn onderzoek.

Joost, veel succes vanmiddag op de verdediging!

(Jeanine)