Wiskundemeisjes
Internetbureau Rotterdam 
Onderstaand artikel staat vandaag in Technisch Weekblad. Het is mijn reportage over het bezoek aan Princeton en de ontmoeting met Nash en Maskin. Een langer artikel over Nash volgt zodra het gepubliceerd is...
Negen getalenteerde scholieren wonnen een reis naar New York. Op 18 oktober hadden zij een ontmoeting met twee Nobelprijswinnaars in Princeton.
De scholieren wonnen op 19 september het Nijmeegse Wiskundetoernooi, een jaarlijkse wedstrijd tussen ongeveer honderd teams met elk vier of vijf leerlingen uit de bovenbouw van het vwo. Dion Coumans en Mirte Dekkers, promovendus respectievelijk student bij wiskunde in Nijmegen, organiseerden dit jaar het toernooi. Coumans: ‘Het toernooi is niet alleen gericht op de slimsten van de klas, we willen alle scholieren een leuke dag bezorgen. We hopen dat ze daarna aan anderen vertellen hoe leuk wiskunde kan zijn.’
Dit jaar stond het toernooi gedeeltelijk in het teken van speltheorie. De teams moesten niet alleen sommen oplossen, ze onderhandelden ook met tegenstanders om zoveel mogelijk punten te halen. Als toepasselijke hoofdprijs mochten de twee winnende teams naar Princeton om twee grote namen uit de speltheorie te ontmoeten: John Nash en Eric Maskin.
John Nash (geboren in 1928) werd bij een groter publiek bekend als het genie uit de film A beautiful mind: (2001). Hij deed op jonge leeftijd briljant werk, maar kreeg paranoïde schizofrenie en was tientallen jaren in de ban van waanideeën. Hij herstelde na dertig jaar van zijn ziekte en ontving op 66-jarige leeftijd de Nobelprijs voor economie voor zijn jeugdwerk in de speltheorie. Inmiddels is hij tachtig en komt hij nog bijna iedere dag op het Institute for Advanced Studies om te werken en collega’s te ontmoeten.
Princeton
Het is nog vroeg als de scholieren op zaterdag 20 oktober in de trein een ontbijt van bagels en muffins wegwerken. Na drie dagen in New York zijn ze op weg naar Princeton, zo’n negentig kilometer onder New York. Ze weten van tevoren niet zo goed wat ze moeten verwachten van de ontmoeting met Nash. De één hoopt stiekem dat Nash iets heel raars zal doen, zodat hij tegen zijn vrienden kan zeggen: ‘Ken je Nash, dat genie uit A Beautiful Mind? Weet je wat hij deed?’ Een ander ziet het bezoek naar Princeton sowieso als het hoogtepunt van de vijfdaagse reis naar New York.
De winnende scholieren tussen Nobelprijswinnaars John 'A Beautiful Mind' Nash (midden) en Eric Maskin (rechts van Nash).
Nash geeft een korte voordracht over de geschiedenis van zijn werk. Hij kreeg de Nobelprijs voor het introduceren van het naar hem genoemde Nash-evenwicht. Dit evenwicht treedt op in een spel met verschillende spelers waarbij samenwerking tussen de spelers niet kan worden opgelegd. Elke speler heeft een doel en kiest een strategie om dat doel te bereiken. Er is sprake van een Nash-evenwicht als een speler niet van strategie zou veranderen als hij zou weten wat de andere spelers doen. De scholieren vragen Nash of hij nog steeds actief is als onderzoeker. Hij begint een enthousiast verhaal over zijn nieuwe werk aan ideaal geld. De scholieren zijn achteraf onder de indruk. ‘Hij is echt anders dan anderen. Ik zie nooit iemand van tachtig die nog zo scherp is.’
Eric Maskin werkte verder aan de ideeën van Nash en ontving zelf vorig jaar de Nobelprijs voor economie. Hij geeft een glasheldere lezing over hoe speltheorie gebruikt kan worden om keuzeprocessen zo eerlijk mogelijk op te zetten. Bijvoorbeeld bij een gesloten bod veiling: verschillende partijen bieden op een object zonder elkaars bedragen te zien. Hoe zorg je nu dat degene wint, die het object het meeste waard vindt? Dit is bijvoorbeeld belangrijk bij het veilen van gsm-frequenties, dan moet de winnaar na de veiling ook iets gaan doen met zijn verkregen frequentie.
Maskin: ‘Laat degene met het hoogste bod winnen, maar laat hem het een-na-hoogste bod betalen. Niemand zal nu minder bieden dan hij het object waard vindt. Maar ook niemand zal meer bieden dan dat: stel dat jij denkt dat het object 10.000 euro waard is, als je dan 12.000 biedt en iemand anders biedt 11.000, dan betaal je uiteindelijk 1000 euro te veel. Met deze opzet biedt iedereen eerlijk en wint precies degene die het object het hoogste waardeert.’
Na de voordrachten volgt een wandeling door Princeton. Is het beeld dat de scholieren hebben van wiskunde veranderd door deze dag? Niet echt, al zijn ze aangenaam verrast dat wat Maskin vertelde óók wiskunde is. ‘En mijn beeld van Princeton is echt enorm gestegen’, voegt een jongen toe. Dat was ook een beetje de bedoeling van de reis. Dekkers: ‘We hopen deze scholieren extra te motiveren door ze een topuniversiteit te laten zien. Princeton is misschien haalbaar voor hen als ze hard hun best doen.’
Hendrik Lenstra
Vorige maand koos Jeffrey Shallit voor Hendrik Lenstra als zijn favoriete (nog levende!) wiskundige. Dat vonden wij erg leuk: Hendrik Lenstra is namelijk een Leidse professor die wij bijna dagelijks zien. Over Hendrik Lenstra kun je dus al een boel lezen in ons vorige stukje. Dit leek ons een mooi moment om eens aan hem te vragen wie zijn favoriet nou eigenlijk is.
Stiekem wisten we al wel dat de beroemde Jean-Pierre Serre zijn favoriet is. Maar omdat Serre al genoemd is als favoriet van zowel Manjul Bhargava als Michael Atiyah, vonden we het leuker om over een andere favoriet van Lenstra te praten: Bjorn Poonen.
Bjorn Poonen
Bjorn Poonen is professor aan MIT. Hij doet vooral onderzoek in de getaltheorie en de algebraïsche meetkunde, maar heeft ook af en toe gepubliceerd over kansrekening en informatica. Hij studeerde aan Harvard en schreef daar een mooie scriptie bij John Tate. Daarna ging hij naar Berkeley, waar hij in 1994 bij Ken Ribet promoveerde.
Eigenschappen
De eerste eigenschap van Poonen die Lenstra bewondert is zijn slimheid. Maar, zoals Lenstra opmerkt: slimheid is geen zeldzame eigenschap. Er zijn verschillende manieren om om te gaan met slimheid. Wat vaak gebeurt is dat een slim persoon een succes behaalt op jonge leeftijd en daarna daarop voortzeilt, en dus ophoudt met het leren van echt nieuwe dingen. Dat is niet wat Poonen gedaan heeft.
In bijvoorbeeld de combinatoriek komt het vaak voor dat de problemen door iedereen te begrijpen zijn, maar dat alleen de echt slimme mensen ze oplossen. Zij zijn heel breed, ze hebben een geweldig arsenaal aan methoden tot hun beschikking, ze hebben een brede trucendoos. Dat is een heel andere manier van onderzoek doen dan veel andere topwiskundigen doen: zij gaan de diepte in, hebben `zitvlees', om het oneerbiedig te zeggen. Ze weten ontzettend veel van een heel klein gebiedje.
Lenstra bewondert mensen die beide componenten combineren, dus de slimheid en breedte hebben, maar ook hebben doorgeleerd. Een voorbeeld van zo'n wiskundige is Deligne, maar ook Poonen heeft duidelijk allebei die kanten, en dat vindt Lenstra ontzettend leuk. Poonen werkt aan problemen die iedereen kan begrijpen, maar slimheid alleen is niet voldoende om ze te kunnen oplossen: je moet ook veel theorie weten. Dat komt overeen met Lenstra's eigen voorkeur voor problemen die je wel makkelijk kunt uitleggen, maar waar een specialist voor nodig is om ze op te lossen.
Steven mailde ons het heuglijke nieuws dat er een nieuwe optimale Golomb-liniaal is gevonden. ``Wat voor liniaal?'', hoor ik jullie vragen. Een Golomb-liniaal is een reeks positieve gehele getallen waarbij geen twee getallen uit deze reeks hetzelfde verschil hebben. Een voorbeeldje maakt het volgens mij veel duidelijker dan woorden.
De reeks 0,1,4,6 vormt een Golomb-liniaal: elke twee getallen uit de reeks hebben een ander verschil.
Golomb-linialen kunnen verschillende eigenschappen hebben. Een perfecte liniaal bevat alle verschillen tussen 1 en zijn eigen lengte. Een optimale liniaal is de kortste liniaal met n getallen (waarbij kortste betekent dat het laatste getal uit de reeks zo klein mogelijk is). Het voorbeeld hierboven is zowel optimaal als perfect.
Het zoeken van optimale linialen is niet eenvoudig, sterker nog, er wordt vermoed dat dit een NP-volledig probleem is. Distributed.net maakte zaterdag bekend dat ze een optimale Golomb-liniaal met 25 getallen hebben gevonden. Hier is hij:
0 12 29 39 72 91 146 157 160 161 166 191 207 214 258 290 316 354 372 394 396 431 459 467 480.
Het duurde jaren rekenen met duizenden computers om te bewijzen dat deze Golomb-liniaal inderdaad de kortste is voor 25 getallen. De reeks zelf was overigens al in 1984 gevonden [1]. Op naar een liniaal met 26 getallen!
Het zoeken naar grote perfecte Golomb-linialen is trouwens nóg moeilijker. Vooral omdat bewezen is dat ze niet kunnen bestaan voor meer dan vijf getallen.
[1] M. D. Atkinson and A. Hassenklover, "Sets of Integers with Distinct Differences", School of Computer Science, Carlton University, Ottawa Ontario, Canada, Report SCS-TR-63, August 1984.
p.s. Vinden jullie ook niet dat zo'n voetnoot heel wetenschappelijk staat?
Eindelijk las ik A beautiful mind van Sylvia Nasar. Jaren geleden zag ik de film, maar het boek is (zoals gebruikelijk) veel beter.
Nasar heeft een boel feiten boven tafel gekregen en vertelt zeer aanstekelijk het levensverhaal van wiskundige John Nash. Voor wie het niet weet: Nash doet in zijn jonge jaren briljant werk en krijgt nét niet de Fields medaille. Rond zijn dertigste raakt hij echter in de ban van waanideeën en dwaalt hij steeds meer af van de echte wereld. Nash wordt behandeld voor schizofrenie, maar tientallen jaren is hij bezig met obsessieve complottheorieën en loopt hij als een soort zombie door de wiskundige wereld. Wonderlijk genoeg is hij in de loop der jaren langzaam hersteld en op latere leeftijd is hij niet wereldvreemder dan de gemiddelde wiskundige. In 1994 wordt zijn werk in de speltheorie alsnog bekroond met de Nobelprijs voor Economie.
Tegen mijn verwachtingen in vond ik A beautiful mind een echte page-turner. Nasar schrijft vlot en aanstekelijk. Het leven van Nash leest als een roman, daarnaast vond ik het ontzettend interessant om allerlei nieuwe dingen over (voor mij) bekende wiskundigen te ontdekken. Neem dit stukje over Kenneth Arrow en het onstaan van de door hem bewezen verkiezingsparadox (pdf):
The assignment was to demonstrate that it was okay to apply game theory, which is formulated in terms of individuals, to aggregrations of many individuals, namely nations. Arrow was aked to write a memorandum showing how it could be done. As it turned out, the memorandum became Arrow's dissertation [...] ``That was it! It took about five days to write in September 1948," he recalled. ``When every attempt failed I thought of the impossibility theorem."
Is er dan niets aan te merken op het boek? Jawel, de wiskunde zelf komt er wat karig vanaf, de weinige wiskundige ideeën die voorkomen worden niet of belabberd uitgelegd. Om echt iets leren over speltheorie of ander werk van Nash kun je beter een ander boek lezen. Ook wordt er soms iets te veel achtergrondinformatie gegeven over bijfiguren. Mijn co-promotor vond dat sommige details in het boek te persoonlijk en enigszins genant waren. Maar ik, roddelzuchtig als altijd, vond dat juist zo goed. Ik hoop dat Nasar nog een wiskundige biografie zal schrijven. Van Perelman, Grothendieck of Conway bijvoorbeeld.
ps Deze recensie schreef ik enkele weken geleden, voor ik Nasar en Nash ontmoette. Inmiddels weet ik dat Nasar waarschijnlijk niet nog een biografie gaat schrijven, omdat de meeste wiskundigen `hooguit 10.000 woorden waard zijn'.
Deze keer in onze rubriek over wiskundigen die op een originele manier aan hun einde zijn gekomen: Hypatia van Alexandrië (ongeveer 370 - 415). Van Hypatia weten we zelfs beter hoe ze stierf dan wat voor wiskunde ze deed.
Hypatia is de bekendste vrouwelijke wiskundige uit de oudheid. Ze leefde in Alexandrië (Egypte) en was de dochter van filosoof en wiskundige Theoon van Alexandrië. Waarschijnlijk kreeg ze les van haar vader. Rond het jaar 400 werd ze hoofd van de Platonische school in Alexandrië, waar ze les gaf in de wiskunde en de filosofie, vooral in wat tegenwoordig bekend staat als het neoplatonisme. Ze werd beschouwd als een charismatisch docent en ze stond ook bekend om haar schoonheid. Hoewel Hypatia ook christelijke leerlingen had (waaronder Synesius van Cyrene die later zelfs bisschop werd), werd ze door de christenen van die tijd als heidens beschouwd.
Er is geen origineel wiskundig werk van Hypatia bekend, maar wel weten we dat ze haar vader assisteerde bij het schrijven van zijn commentaar bij de Almagest van Ptolemaeus, en waarschijnlijk ook bij zijn herziene versie van de Elementen van Euclides. Zelf schreef ze commentaren bij de Arithmetica van Diophantos, de Kegelsneden van Apollonius en misschien ook bij andere astronomische werken van Ptolemaeus. Op de titels en enkele verwijzingen na is al het werk van Hypatia verloren gegaan.
De politieke situatie was erg instabiel. Orestes, de Romeinse prefect van Alexandrië en dus wereldlijk heerser, en Cyrillus, de patriarch en dus de christelijke leider van Alexandrië waren verwikkeld in een machtsstrijd. Hypatia was bevriend met Orestes. Ze werd het onderwerp van rellen tussen christenen en niet-christenen, en in 415 werd ze door een menigte fanatieke christenen op gruwelijke wijze vermoord. Ze werd naar een kerk gebracht, uitgekleed en door de straten gesleept. Er zijn bronnen die vertellen dat haar huid werd afgeschraapt met schelpen of scherven (het Griekse woord dat gebruikt wordt kan dat allebei betekenen) en dat ze in brand gestoken werd, maar volgens andere bronnen gebeurde dat toen ze al dood was.
Enkele Engelse vertalingen van beschrijvingen van deze gruwelijke gebeurtenis staan op wikipedia:
Socrates Scholasticus (vijfde eeuw):
Yet even she fell a victim to the political jealousy which at that time prevailed. For as she had frequent interviews with Orestes, it was calumniously reported among the Christian populace, that it was she who prevented Orestes from being reconciled to the bishop. Some of them therefore, hurried away by a fierce and bigoted zeal, whose ringleader was a reader named Peter, waylaid her returning home, and dragging her from her carriage, they took her to the church called Caesareum, where they completely stripped her, and then murdered her by scraping her skin off with tiles and bits of shell. After tearing her body in pieces, they took her mangled limbs to a place called Cinaron, and there burnt them.
Johannes van Nikiû (zevende eeuw):
And in those days there appeared in Alexandria a female philosopher, a pagan named Hypatia, and she was devoted at all times to magic, astrolabes and instruments of music, and she beguiled many people through Satanic wiles...A multitude of believers in God arose under the guidance of Peter the magistrate...and they proceeded to seek for the pagan woman who had beguiled the people of the city and the prefect through her enchantments. And when they learnt the place where she was, they proceeded to her and found her...they dragged her along till they brought her to the great church, named Caesarion. Now this was in the days of the fast. And they tore off her clothing and dragged her...through the streets of the city till she died. And they carried her to a place named Cinaron, and they burned her body with fire.
En de interpretatie van de achttiende-eeuwse Engelse historicus Edward Gibbon zegt:
A rumor was spread among the Christians, that the daughter of Theon was the only obstacle to the reconciliation of the prefect and the archbishop; and that obstacle was speedily removed. On a fatal day, in the holy season of Lent, Hypatia was torn from her chariot, stripped naked, dragged to the church, and inhumanly butchered by the hands of Peter the Reader and a troop of savage and merciless fanatics: her flesh was scraped from her bones with sharp oyster-shells and her quivering limbs were delivered to the flames.
Vandaag een echt wiskundig nieuwtje over cryptologie! Op nu.nl las ik dat Tanja Lange (TUe) het McEliece cryptosysteem gekraakt heeft, met een ietwat overdreven kop erboven ("TUE kraakt internetbeveiliging van de toekomst"). Lange heeft met Dan Bernstein en promovenda Christiane Peters een bestaande aanval op het systeem verbeterd, zodat het inderdaad binnen een week gekraakt kan worden met 200 processoren.
De public-key-cryptosystemen die in omloop zijn, zijn erop gebaseerd dat sommige dingen extreem moeilijk uit te rekenen zijn. Zo is het moeilijk om grote getallen te factoriseren, waarop het RSA-cryptosysteem gebaseerd is, en er zijn ook systemen die gebaseerd zijn op de moeilijkheid van het uitrekenen van zogenaamde discrete logaritmen. Zodra er echter ooit een quantumcomputer gebouwd wordt, zijn deze systemen niet meer veilig, want zo'n hypothetische quantumcomputer kan zowel snel factoriseren als discrete logaritmen uitrekenen.
Het McEliece cryptosysteem, dat ook een public-key-cryptosysteem is, is gebaseerd op een heel ander principe, zodat het een van de mogelijke kandidaten is om een opvolger van de huidige systemen te worden op het moment dat de quantumcomputer dichterbij lijkt te komen. Het systeem maakt gebruik van coderingstheorie: het gebruikt de zogenaamde Goppa-codes. Het algoritme vermomt een Goppa-code als een algemene lineaire code. Goppa-codes zijn makkelijk te decoderen, maar ze zijn heel moeilijk te onderscheiden van een algemene lineaire code. Dat is het moeilijke probleem waarop het McEliece-systeem gebaseerd is.
Bernstein heeft bovendien bepaalde parameters van het systeem aangepast, waardoor het nu beter bestand is tegen nieuwe aanvallen. Klik hier voor het artikel van Lange e.a..
Volgende week komen wiskundigen uit de twee Nederlandse netwerken DIAMANT (Discrete, Interactive and Algorithmic Mathematics, Algebra and Number Theory) en GQT (Geometry and Quantum Theory) bij elkaar voor een conferentie op het Lorentz Center in Leiden. Op de woensdag is er ook ruimte ingeruimd voor middelbare-schooldocenten wiskunde. Op deze docentendag worden vier workshops gegeven over Wiskunde D-modulen waarvan het onderwerp onder een van de netwerken valt. Bovendien biedt het docenten en wetenschappers de gelegenheid om met elkaar in contact te komen.
De onderwerpen die aan de orde komen zijn:
- Complexe getallen (Hans Sterk en Jan-Willem Knopper (TU/e))
- Cryptografie (Hans Sterk en Jan-Willem Knopper (TU/e))
- Diophantische vergelijkingen (Gunther Cornelissen en Steven Wepster (Universiteit Utrecht))
- Kansrekening (Alex van den Brandhof (Vossius Gymnasium Amsterdam))
De dag duurt van 10 tot 17 uur en wordt natuurlijk afgesloten met een borrel! Deelname is gratis en op verzoek wordt na afloop een nascholingscertificaat uitgereikt. Meer informatie en een elektronisch aanmeldformulier vind je hier.
Een tijdje geleden schreven we een stukje over de Riemann-hypothese. Daarin noemden we ook de succesvolle webklas over dit onderwerp van de UvA. En nu is er goed nieuws voor geïnteresseerde scholieren: de UvA-webklas De Riemann-hypothese: een miljoenenprobleem, onder leiding van Jan van de Craats, gaat weer van start! De webklas is geschikt voor leerlingen uit 5 en 6 vwo met wiskunde B1,2 en duurt van 3 november tot 1 december.
Er is nog meer leuks, want in het voorjaar van 2009 begeleidt Jan Brandts nog een wiskunde-webklas: Pagerank: de Wiskunde die Google groot maakte. Daarin leer je meer over hoe Google bepaalt of een website belangrijk is of niet. En je leert hoe je ervoor kan zorgen dat je eigen website wat verder bovenaan verschijnt in de zoekresultaten!
Je kunt de webklassen vaak gebruiken voor een profielwerkstuk, en meedoen kan helpen om uit te vinden of de studie wiskunde iets voor jou is. Je volgt de cursus thuis of op school, en online of via e-mail onderhoud je contact met de docent en je medestudenten. Een webklas duurt ongeveer tien uur, verdeeld over vier weken.
Meer informatie over de UvA-webklassen vind je hier, informatie over de webklas over de Riemann-hypothese staat hier en aanmelden kan daar ook.
Barbara mailde ons een tijd geleden over een leuke rekentruc: Russisch rekenen. Ze schreef dat de truc eigenlijk leuker is als je hem live krijgt uitgelegd. Dat klopt, wij zagen de truc eerder dit jaar op de Nationale Wiskunde Dagen bij de lezing van Rob Eastaway. Gelukkig staan er van dit soort dingen filmpjes op YouTube, lang leve de 21ste eeuw!.
Hadden we eerdere jaren ergens in oktober nog de zogenaamde WetenWeek, dit jaar is heel oktober uitgeroepen tot Oktober Kennismaand. Het thema is dit jaar Kraak de code, wat (zoals gebruikelijk bij dergelijke thema's) in elk wetenschapsgebied wel een leuke, zinvolle en aansprekende interpretatie heeft. Denk in de wiskunde maar aan de cryptografie, bijvoorbeeld!
Er is van alles te beleven deze maand, in heel Nederland. Alle activiteiten die door bedrijven en onderzoeksinstellingen georganiseerd worden en ook de festivals kun je vinden via www.oktoberkennismaand.nl.
Op de Open Dag (morgen) in het Science Park in Amsterdam kun je onder andere de supercomputer ontdekken bij SARA en je stoutste dromen waarmaken op het CWI. Zondag organiseert de Universiteit Leiden de jaarlijkse Wetenschapsdag. Ook de Zeeuwse Bibliotheek organiseert zondag een Wetenschapsdag. En het is zeker de moeite waard om op www.oktoberkennismaand.nl te kijken wat er verder allemaal gebeurt in jouw provincie!
