Wiskundemeisjes

Deze column verscheen gisteren in de Volkskrant. Vanaf deze week verschijnt er daar wekelijks een column onder de titel De wiskundemeisjes leggen het nog één keer uit.

Beste Sywert van Lienden,

Jouw stembreker is natuurlijk een ontzettend lief idee. Samen zullen we alles delen, ook onze stemmen. Bij de verkiezingen op 12 september mag iedereen maar één partij kiezen, terwijl de meeste mensen een voorkeur hebben voor een bepaalde coalitie. Samen met je politieke jonge honden van G500 verzon je een slimme truc om op coalities te stemmen. Als iemand bijvoorbeeld het liefst een coalitie wil van de helft PvdA en de VVD en D66 elk een kwart, dan zoekt de stembreker drie andere kiezers die diezelfde voorkeur hebben en stuurt een stemadvies per sms. Als twee van hen PvdA stemmen en de anderen op VVD en D66, dan zijn die stemmen keurig verbrokkeld volgens hun gedroomde coalitie. (En Sywert, ik weet dat het iets ingewikkelder gaat, maar dit is om snel uit te leggen hoe het principe ongeveer werkt).

Inmiddels is er heel wat kritiek gekomen op de stembreker: kiezers kunnen het systeem makkelijk misbruiken en het systeem is gunstiger voor de middenpartijen. Maar mijn grootste bezwaar is dat je zelf niet zo goed lijkt te begrijpen wat het effect van stembreken zal zijn. Het filmpje op je site begint namelijk met: “Den Haag is versplinterd, een coalitie vormen na 12 september is bijna onmogelijk. Doorbreek die stilstand.”

Stembreker from Sywert van Lienden on Vimeo.

Toen ik dit hoorde dacht ik dat je een slimme truc had verzonnen om die eindeloze formatie makkelijker te maken. Chapeau, dacht ik, goed bezig die jongens en meisjes van G500! Want wat zou het fijn zijn als er na de verkiezingen snel een coalitie kwam.

Maar nu komt het: jouw stembreken zal de formatie juist nóg moeilijker maken. Laat ik een voorbeeld geven, of wacht, laat ik je eigen voorbeeld doorrekenen. Op je site leg je het principe van stembreken uit met zes kiezers en zes partijen. Ik heb dat voorbeeld eens vertaald naar de landelijke situatie. Wat als die zes gegeven voorkeuren de enige zijn die voorkomen en ze elk evenveel kiezers trekken? Met stembreken krijgen dan zes partijen elk 25 zetels. Dat zou een helse formatie worden, er zijn dan vier partijen nodig om een meerderheid in de Tweede Kamer te krijgen. En welke partij mag dan eigenlijk de premier leveren?

Zonder stembreken zou in jouw voorbeeld de Partij van de Dieren de grootste partij worden met zo’n 37 zetels (wat laat zien dat dit een zeer hypothetisch voorbeeld is), zijn er vier partijen met 25 zetels en één met 13. Dan is duidelijk dat Marianne Thieme premier wordt en heeft ze twee andere partijen nodig om een ruime meerderheid van 87 zetels te halen. In je eigen voorbeeld maakt stembreken het dus juist lastiger om een coalitie te vormen.

Even dacht ik dat jouw voorbeeld misschien wat ongelukkig gekozen was, maar toen bedacht ik dat het vrijwel onvermijdelijk is dat stembreken de aantallen zetels van verschillende partijen dichter bij elkaar brengt. Grote partijen raken zetels kwijt, omdat veel kiezers een stukje van hun stem aan een ander geven. Kleine partijen hebben relatief veel voordeel bij stembreken en eindigen juist met meer zetels. Als iedereen gaat stembreken, is het moeilijker om een meerderheiscoalitie te vormen en duurt het waarschijnlijk tot ver in 2013 voor er eindelijk een nieuwe regering is geformeerd.

Bedankt Sywert.

Met vriendelijke groet,

Ionica

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Wat hebben de meeste mensen nu eigenlijk nodig van wiskunde? In het dagelijks leven kom je zelden een integraal tegen, of een probleem dat roept om een differentiaalvergelijking. Wel moet je kunnen schatten hoe duur je vakantie zal zijn, bedenken of het zin heeft om je telefoon te verzekeren of begrijpen wat het betekent als de dokter zegt dat je 80% kans op volledig herstel hebt. Maar op school leer je nauwelijks hoe je dat soort alledaagse vragen kunt beantwoorden.

Timothy Gowers, een vooraanstaande Britse wiskundige, vraagt zich op zijn weblog af wat het ideale wiskunde-programma is voor de meerderheid van de leerlingen die later níets met wiskunde gaan doen. Hij beschrijft hoe examenopgaven nu proberen te laten zien dat wiskunde nuttig is. Ze beginnen met een probleem uit het echte leven, dan valt er een formule uit de lucht die dit probleem blijkbaar beschrijft, waarna de leerling een hele reeks puur wiskundige vragen over de formule moet beantwoorden. De opgave is steeds bedacht vanuit de wiskunde, het probleem is erbij gezocht als aankleding.

Gowers stelt voor om het eens andersom aan te pakken: waarom beginnen we niet vanuit problemen die je in het dagelijks leven tegenkomt en kijken we vervolgens hoe je die kunt aanpakken met wiskunde? Waarbij leerlingen zelf nadenken over de methode en er geen formules uit de lucht vallen. Gowers geeft op zijn weblog een hele rits geschikte voorbeeldvragen en ze zijn bijna allemaal geweldig.

Stel bijvoorbeeld dat het zeewater één graad opwarmt, hoeveel stijgt het zeeniveau dan door de uitzetting van water? Dit is iets dat je met een paar gegevens op de achterkant van een envelop grofweg kunt berekenen.

Ook aardig is het voorbeeld van de scholier die een YouTube-filmpje wil maken waar hij in één opname achter elkaar vijf gave trucs laat zien. De trucs zijn niet allemaal even moeilijk. Elke keer als er een truc mislukt, moet hij weer opnieuw beginnen. Wat is de beste volgorde voor de trucs om te zorgen dat er zo snel mogelijk een opname is waarbij alles lukt?

OK Go gebruikte een slimme volgorde bij het maken van deze videoclip. Hij moest zestig keer over, maar meestal ging het al na een halve minuut mis.

Het is een lange lijst van praktische problemen. Als je dit soort dingen kunt, is je eigen leven makkelijker en begrijp je de wereld beter. Veel van de genoemde problemen kende ik uit populair-wetenschappelijke teksten. Ik gebruik ze al jaren in lezingen, maar ik zag ze nog nooit in een lesboek staan. Soms voelde ik me een soort gekke Henkie dat ik het algemeen publiek over dit soort wiskunde vertelde, in plaats van te praten over serieuze zaken als differentiaalvergelijkingen.

Maar Timothy Gowers is geen gekke Henkie. En ik eigenlijk ook niet. Ik zie dat niet-wiskundigen enthousiast worden als je ze dit soort vragen stelt. En ik geloof dat je hiermee beter leert om wiskundig te redeneren dan met het manipuleren van zielloze formules. Ik ga deze zomer maar eens nadenken over de ideale cursus “Wiskunde voor niet-wiskundigen”. Nu nog een plek om die te geven.

Deze column verscheen gisteren in de Volkskrant.

In onze wiskundekantine zei een professor van een niet nader te noemen ander vakgebied eens verbaasd: “Wat zijn de mensen hier aardig tegen elkaar!” Dat klopt: wiskundigen maken niet zo vaak ruzie met elkaar. Niet om inhoudelijke kwesties, in ieder geval. Als iemand iets beweert wat niet klopt, kan een ander daar namelijk een sluitend argument tegen inbrengen. En de een accepteert dat dan, neemt zijn verlies, en is in het beste geval zelfs blij dat hij iets geleerd heeft. Er is geen richtingenstrijd, de onenigheden gaan hoogstens over welke soorten vragen en argumenten het mooist of interessantst zijn.

Maar over erkenning en prioriteit zijn in de geschiedenis van de wiskunde wel ruzies uitgevochten. Een mooi verhaal is dat van de ontdekking van de formule voor de oplossingen van de derdegraads vergelijking in het Italië van de zestiende eeuw.

U kent de abc-formule wel: de oplossingen van de algemene kwadratische vergelijking worden gegeven door . Het is een voor de hand liggende vraag of zo’n formule ook bestaat voor de derdegraads vergelijking , en het antwoord is ja. Wat die formule precies is, is nu niet belangrijk, hij ziet er nogal ingewikkeld uit.

De eerste die één type derdegraads vergelijking algemeen kon oplossen was Scipione del Ferro, rond 1515. Zo’n ontdekking ga je natuurlijk van de daken schreeuwen! Nee. Ook toen speelden economische motieven een rol: je moest geld verdienen, bijvoorbeeld door een mecenas te vinden. Dat lukte beter als jij iets kon dat niemand anders kon, en dat wilde je dan graag zo houden. Om te bewijzen dat je iets bijzonders kon, daagde je iemand uit met een set problemen die je zelf had opgelost, in de hoop dat de ander dat niet zou kunnen. En als tegenactie gaf die persoon jou ook problemen op. Een wiskundeduel, zeg maar.

Del Ferro deed dat niet, maar hij gaf de oplossing voor zijn dood wel door aan onder andere zijn leerling Fiore. Die hoorde op een bepaald moment dat Niccolò Tartaglia (dit was zijn bijnaam, “tartaglia” betekent “stotteraar”) opschepte dat hij derdegraads vergelijkingen kon oplossen. Fiore daagde hem natuurlijk uit. Fiore kon echter maar één type vergelijking oplossen, en Tartaglia slaagde erin dat type ook te kraken. Hij kon Fiore vervolgens uitdagingen terugsturen die die niet kon oplossen. Dus Tartaglia won.

Ronde twee. Gerolamo Cardano hoorde van deze wedstrijd en probeerde Tartaglia over te halen zijn oplossing te delen. Tartaglia weigerde natuurlijk. Maar nadat Cardano eeuwige geheimhouding beloofd had, naast verleidelijke uitnodigingen voor introducties bij het Milanese hof, ging hij overstag!

Cardano breidde de oplossing uit, en zijn leerling Ferrari vond zelfs de formule voor de vierdegraads vergelijking. En Tartaglia publiceerde maar niets. Toen Cardano er achter kwam dat Del Ferro ook al een gedeeltelijke oplossing had gehad, voelde hij zich niet meer verplicht tot geheimhouding en in 1545 publiceerde hij de oplossing (waarbij hij Tartaglia wel noemde). Tartaglia was woedend en een strijd vol beledigingen en uitdagingen volgde. Hij daagde Ferrari uit, en… verloor. De formule staat nu bekend als de “formule van Cardano”. Dus zijn eedbreuk heeft hem wel mooi eeuwige roem bezorgd.

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Twee weken geleden schreef Jeanine hier hoe ze op haar vakantie in Barcelona allerlei wiskunde zag. Bij mij gaat het net zo. En zelfs als er nergens wiskunde te zien is, dan denk ik er nog aan. Vorige week was ik in New York en terwijl ik wachtte op de metro naar Brooklyn, herinnerde ik me bijvoorbeeld ineens dit oude raadsel van Martin Gardner.

Een jongen die vlak naast een metrostation in Manhattan woont, heeft twee vriendinnen: één in Brooklyn en één in de Bronx. Vanaf het metrostation gaat er een downtown-metro naar Brooklyn en een uptown-verbinding naar de Bronx. De vertreksporen liggen tegenover elkaar aan hetzelfde perron. De jongen ziet allebei zijn vriendinnen even graag en laat het lot beslissen wie hij bezoekt. Elke zaterdagmiddag gaat hij op een willekeurig tijdstip naar het perron en springt in de eerste metro die het station inrijdt. Zowel naar Brooklyn als naar de Bronx vertrekt er elke tien minuten een trein. Maar op de een of andere manier, eindigt de jongen veel vaker bij zijn vriendin in Brooklyn. Hij is zelfs negen van de tien keer bij haar. Hoe komt het dat Brooklyn zoveel betere kansen heeft dan de Bronx? (Los van het feit dat tegenwoordig alle hipsters daar liever naartoe willen, maar dat terzijde.)

Zometeen het antwoord, maar eerst iets meer over Martin Gardner. Deze puzzel verscheen in één van zijn eerste columns in Scientific American. Vanaf 1957 vulde Gardner vijfentwintig jaar lang elke maand een rubriek met wiskundige raadsels, spelen en andere eigenaardigheden. Zijn column was ongekend populair.

Cartoon over Martin Gardner uit 1996, hij was dus zeer terecht ook columnist voor Skeptical Inquirer.

Gardner was zelf geen wiskundige, hij studeerde filosofie en had na zijn middelbare school geen wiskundevak meer gevolgd. Het schrijven van zijn maandelijkse column in Scientific American was voor hem vrijwel een full-time baan. Hij las boeken en wetenschappelijke tijdschriften, bezocht conferenties en correspondeerde met vooraanstaande wiskundigen. Dankzij hem vonden onderwerpen als fractals, Hex, Penrose-betegelingen en Game of life hun weg naar een groot publiek. Zelf zei hij bescheiden dat hij niet meer deed dan het werk van anderen zo helder mogelijk opschrijven. Hij was tot zijn dood in 2010 actief en schreef naast zijn columns ook tientallen boeken. Hij schreef natuurlijk over wiskunde, maar ook over pseudowetenschap, goochelen en het werk van Lewis Carroll. Hij is nog steeds een groot voorbeeld voor iedereen die over wiskunde schrijft, en zijn werk is nauwelijks gedateerd.

De oplossing van het metro-raadsel is een voorbeeld van iets dat heel eenvoudig is zodra je er op de juiste manier naar kijkt. Het antwoord zit in de vertrektijden. De metro naar de Bronx komt altijd één minuut na die van de Brooklyn. Dus alleen als de jongen net in die minuut aankomt, pakt hij de metro naar de Bronx. In alle andere gevallen gaat hij naar Brooklyn. Omdat hij op een willekeurig moment het station inloopt, is de kans negen op tien dat hij in Brooklyn eindigt.

Lees het verzameld werk van Martin Gardner en dan zul je ook overal wiskunde zien.

ps Hieronder nog een filmpje met meer van mijn wiskundige gedachten uit New York

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Op allerlei onverwachte plekken kom je wiskunde tegen, zelfs op vakantie. Zo was ik laatst in Barcelona en, zoals het goede toeristen betaamt, gingen we de Sagrada Familia bezichtigen.

Al sinds 1882 wordt er aan de Sagrada Familia gebouwd, in 1883 kreeg architect Antoni Gaudí (1852 – 1926) de leiding. Gaudí is ook verantwoordelijk voor Park Güell (en indirect dus ook voor al die gemozaïekte salamanders die je in Barcelona op elke straathoek kunt aanschaffen).

Gaudí werkte tot zijn dood fanatiek aan de Sagrada (hij ging zelfs op de bouwplaats wonen!) en maakte een heleboel maquettes en schetsen. Helaas is veel verloren gegaan door een brand tijdens de Spaanse burgeroorlog, dus moesten de latere architecten reconstrueren wat Gaudí van plan was, en de rest zelf aanvullen met nieuwe plannen.

Een hoog gebouw met veel torens en ingewikkelde gewelven bouwen, is niet gemakkelijk. Hoe zorg je er bijvoorbeeld voor dat de pilaren en gewelven stabiel staan?

Gaudí verdiepte zich onder andere in de kettinglijn. Een kettinglijn is de vorm die een ketting aanneemt als je hem vrij laat hangen en alleen aan de uiteindes vasthoudt. Op het moment dat de ketting stilhangt, is een evenwichtstoestand ontstaan tussen de drie krachten die op elke schakel werken: de zwaartekracht en de twee spankrachten (links en rechts). Op dat evenwichtsmoment zijn er in die ketting alleen trekkrachten aanwezig in de richting van de ketting zelf.

Als je zo’n kettinglijn op de kop zou zetten, zouden alle drukkrachten dus ook precies in de richting van de boog zelf lopen, waardoor er niet van bijvoorbeeld opzij aan de boog getrokken wordt en hij dus heel stevig staat. De kettinglijn is al bekend sinds de zeventiende eeuw (onder andere Christiaan Huygens en Galileo Galilei hielden zich ermee bezig).

Maar een gewelf is ingewikkelder dan een poort of boog, die in principe maar twee-dimensionaal zijn. Voor een boog kun je nog redelijk eenvoudig controleren of hij in evenwicht is: je kijkt of je een kettinglijn kunt maken die (op de kop) dezelfde vorm heeft als de boog die je in gedachten had.

Voor het ontwerpen van een gewelf moet je drie dimensies gebruiken. Je kunt daar een beetje mee smokkelen door naar dwarsdoorsnedes te kijken, maar echt drie-dimensionaal aan krachten rekenen is ingewikkeld. Gaudí gebruikte verschillende methodes, maar de tofste vind ik zijn hangende modellen. (Die gebruikte hij niet voor de Sagrada trouwens, maar voor een ander kerkontwerp.) Gaudí maakte van een heleboel touwtjes met gewichtjes eraan een op zijn kop hangend kerkgewelf. Oftewel: hij ontwierp het gewelf direct op stabiliteit. En door te variëren met touwtjes en gewichtjes kon hij het ontwerp meer naar zijn zin maken.

Behalve een replica van een indrukwekkend hangend model is in het museum bij de Sagrada Familia nog meer wiskunde te zien: Gaudí gebruikte kegelsnedes zoals parabolen en hyperbolen in zijn ontwerpen, en op de Sagrada staat ook nog eens een magisch getallenvierkant, waarin de som in alle rijen, kolommen, diagonalen en nog wat van die dingen steeds weer 33 is, de leeftijd van Jezus toen hij werd gekruisigd.

Al met al een aanrader voor de wiskundige toerist!

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

“Mooie zeden in Ede, zei oom.” Als kind bladerde ik uren in mijn moeders exemplaar van Battus’ Opperlandse taal&letterkunde. Hele stukken leerde ik uit mijn hoofd, waaronder die klassieke omkeerzin. Prachtig vond ik palindromen als levensnevel, moorddroom of nepmarsrampen.

Spelen met letters vind ik nog steeds leuk, maar minstens zo graag speel ik met cijfers. Ook daar heb je mooie palindromen. Een fijn voorbeeld is het priemgetal 11933316181512171330203317121518161333911 (dit getal is alleen te delen door één en zichzelf). Als je van dit getal steeds de eerste en laatste twee cijfers weghaalt, dan krijg je een rijtje met allemaal palindroompriemen. Het eindigt met 2, het enige even priemgetal. Ook aardig is 1030301, de derde macht van 101 (dat zelf een omkeerpriem is).

We weten nog een heleboel niet over symmys in de getallen. Bestaan er bijvoorbeeld oneindig veel palindroompriemen? Hoe groter de getallen, hoe schaarser de palindromen. Tussen de 100 en 999 is één op de tien getallen een palindroom, want bij elke twee begincijfers geeft één van de tien mogelijke eindcijfers een palindroom. Tussen 100.000 en 999.999 is de score nog maar één op de duizend. Bij elke twee cijfers die erbij komen, neemt het percentage palindromen met een factor tien af. Ook priemgetallen zijn steeds zeldzamer in de hogere regionen. Niemand weet of er desondanks toch oneindig veel palindroompriemen zijn.

Nog veel intrigerender is het 196-probleem. Je kunt palindromen soms maken uit gewone getallen. Neem een getal, keer het om en tel het op bij wat je had. Herhaal dit tot je een palindroom krijgt. Als je begint met 32, dan krijg je 32+23 =55 en ben je in één stap klaar. Begin je met 39, dan ga je via 39+93 = 132 naar 132+231 = 363. Als je met een getal onder de honderd begint, dan eindig je altijd bij een palindroom. Al kan het best even duren, vanaf 89 moet je maar liefst 24 stappen maken voordat je eindelijk bij 8813200023188 komt.

Kom je uiteindelijk altijd uit bij een palindroom? Wiskundigen vermoeden dat er getallen zijn waarbij het niet lukt. Het kleinste voorbeeld is 196 (vandaar dat dit het 196-probleem heet). Meer dan een biljoen stappen zijn er al doorgerekend en er verschijnt maar geen palindroom. Het is moeilijk om te bewijzen is dat er nóóit een palindroom komt, want het zou altijd kunnen dat bij een volgende stap ineens een mooie symmetrie tevoorschijn komt. De kans daarop is natuurlijk wel steeds kleiner, omdat in de grote getallen minder en minder palindromen voorkomen. Er zijn meer getallen zoals 196 waarvan we niet weten of ze op een palindroom uitkomen. De slimmeriken hebben vast al geraden dat 691 ook een probleemgeval is. Onder de duizend zijn er in totaal dertien van zulke getallen. En daarboven nog veel meer.

Levert een oplossing van dit 196-probleem ook maar iets op? Krijgen we er snellere computers door? Veiligere auto’s? Nog meer welvaart? Waarschijnlijk niet. Maar wie net als ik van Opperlans houdt, begrijpt dat het daar helemaal niet om gaat bij dit soort problemen.

Hoera! Ons boek Ik was altijd heel slecht in wiskunde is bekroond met een Zilveren Tulp. Een jury van boekverkopers selecteerde het boek als een van de beste informatieve boeken van het afgelopen jaar. Uit het juryrapport: ‘een prachtig en reeds goed verkopend non-fictieboek. Het boek maakt wiskunde minder elitair en heeft een heel toegankelijke vormgeving. De jury vindt het boek een origineel concept door de vele voorbeelden uit het dagelijks leven en verschillende opdrachten.’

Wij bedanken (nu we dan eindelijk weer eens een klein speechmomentje hebben) de onvolprezen Uitgeverij Nieuwezijds en vormgever Egbert Clement van Studio Jan de Boer. Nu gaan we snel een vreugdedansje doen (en daarna Het Nederlands Viskookboek lezen, want dat won de Gouden Tulp)!

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant.

In onze vorige column kon u lezen dat er in Hilberts hotel, een hotel met oneindig veel kamers die genummerd zijn als 1, 2, 3, …, altijd plaats lijkt te zijn. Zelfs als elke kamer bezet is, kan een verdwaalde laatkomer toch een plekje krijgen: iedereen schuift een kamer op. En ook grotere groepen, soms zelfs oneindig groot, pasten er toch steeds weer in.

Dit gaf het gevoel dat alle oneindigheden in Hilberts hotel pasten. Maar wat betekent passen of “even groot” precies? Wiskundigen noemen groepen dingen “even groot” als je ze één op één aan elkaar kunt koppelen. Bijvoorbeeld: er zijn evenveel positieve gehele getallen (1, 2, 3, …) als positieve even getallen (2, 4, 6, …), want je kunt elk getal koppelen aan het dubbele: 1 aan 2, 2 aan 4, 3 aan 6, enzovoorts.

Dit type oneindig heet “aftelbaar”. Er is een duidelijke nummer 1 aan te wijzen, een nummer 2, enzovoorts. Je bent nooit klaar met aftellen, want de verzameling is oneindig, maar je kunt ze op een rijtje zetten, net als 2, 4, 6, … en de kamers in Hilberts hotel. Ook de verzameling van breuken, al lijkt die veel groter, is aftelbaar. Maar niet alle getallen zijn breuken: en zijn beroemde voorbeelden.

De verzameling van alle getallen tussen 0 en 1 is niet aftelbaar. Het bewijs is bijzonder elegant, maar vereist wel enig hersenwerk.

Getallen tussen 0 en 1 hebben een (oneindig lange) decimale ontwikkeling, bijvoorbeeld: of of .

Stel dat je wel een (oneindig lange) lijst kunt opstellen waar ze allemaal op staan. Wat blijkt? Hoe die lijst er ook uitziet, je kunt altijd een nieuw getal tussen 0 en 1 construeren dat niet op de lijst staat. Dat doe je als volgt. We beginnen met 0 en de komma. Nu gaan we de eerste decimaal van het nieuwe getal als volgt bepalen: als de eerste decimaal van het eerste getal op de lijst geen 2 is, kiezen we een 2, en als het wel een 2 was kiezen we een 1.

Nu verschilt de eerste decimaal van ons nieuwe getal van de eerste decimaal van het eerste getal op de lijst. We kiezen op dezelfde manier een tweede decimaal: als de tweede decimaal van het tweede getal op de lijst geen 2 is, kiezen we een 2, anders een 1. Enzovoorts.

Een voorbeeld van een hypothetische lijst met de constructie van een stukje van het nieuwe getal.

Dit nieuwe getal staat nergens op de lijst. Ga maar na: het is niet gelijk aan het eerste getal op de lijst, want de eerste decimaal verschilt. Het is ook niet gelijk aan het 37e getal, want de 37e decimaal verschilt. Kortom: het nieuwe getal ontbreekt op de lijst, wat de lijst ook was! Maar het zou er wel op moeten staan, want het is een getal tussen 0 en 1. Dat betekent dat de getallen tussen 0 en 1 niet op een lijst te zetten zijn, en er dus geen koppeling bestaat met de aftelbare verzameling 1, 2, 3, … . Echt een ander soort oneindig, dus!

Op 24 maart was schrijver John Green in Nederland en mocht ik een lezing geven over de wiskunde in zijn werk. Het programma staat nu online en ik dacht dat jullie het misschien wel leuk zouden vinden om mijn verhaal over Venn-diagrammen, oneindigheden en liefdesformules te zien! Mijn verhaal begint na 22 minuten, maar het interview van Edward van de Vendel met John is zeker ook de moeite waard.

ps Hebben jullie ook Wetenschap 101 al gezien? Dat is de nieuwe videoblog van Govert Schilling en mij.

“Sommige oneindigheden zijn groter dan andere oneindigheden.” Dat is zo’n beetje het motto van John Greens prachtige Een weeffout in onze sterren. In het boek concludeert de 16-jarige Hazel uit deze bewering dat er meer (reële) getallen tussen 0 en 2 liggen dan tussen 0 en 1. Maar die twee oneindigheden zijn juist precies even groot! Green liet dit zijn hoofdpersoon bewust verkeerd doen. Hij vond het een mooi idee dat pubers uit gecompliceerde wiskunde onjuiste conclusies trekken en dan toch iets aan hun eigen redenering hebben.

Oneindig is ook één van de moeilijkste begrippen in de wiskunde. De metafoor van Hilberts Hotel (genoemd naar wiskundige David Hilbert) laat zien hoe raar oneindig zich gedraagt. Hilberts Hotel heeft een oneindig aantal kamers. Die kamers zijn zoals gebruikelijk in een hotel genummerd: 1, 2, 3, enzovoorts. Het hotel is vol, alle kamers zijn bezet. De logische conclusie lijkt dat er geen enkele gast meer bij past.

Dan meldt zich een wanhopige reiziger bij de balie, is er echt geen kamer meer vrij? De receptionist denkt even na en knikt dan enthousiast. Via de intercom vraagt hij alle gasten om één kamer op te schuiven: de gast in kamer 1 gaat naar kamer 2, de gast in kamer 2 naar kamer 3, enzovoorts. Daarna is kamer 1 vrij voor de reiziger en heeft nog steeds elke gast een kamer. Deze oplossing werkt voor elk eindig aantal gasten dat zich meldt aan de balie. Dat is behoorlijk tegenintuïtief: het hotel is vol, maar tegelijkertijd is er altijd plaats voor een willekeurig aantal nieuwe gasten.

En het wordt nog gekker! Een bus van InfinityTravels brengt een (zeer lange) bus met oneindig veel reizigers naar het hotel. Nu zal de receptionist toch zeker moeten zeggen dat er geen plaats is? Maar nee, ook hierop verzint hij een list: hij stuurt alle gasten naar de kamer met het dubbele van hun kamernummer. De gast in kamer 1 gaat naar kamer 2, die in kamer 2 naar kamer 4, die in kamer 3 naar kamer 6, enzovoorts. Dan komen alle kamers met een oneven nummer vrij en kunnen er in een vol hotel dus toch nog oneindig veel gasten bij. (Nu maar hopen dat er ook oneindig veel kamermeisjes zijn.)

Dan komt InfinityTravels na een speciale aanbieding met oneindig veel bussen met daarin elk oneindig veel passagiers. De receptionist kan op dezelfde manier als net oneindig veel kamers leegmaken, maar als hij dan begint met bus 1 in te laden, dan komen de passagiers in de volgende bussen nooit aan de beurt. Maar ook nu verzint de receptionist iets slims: hij begint met passagier 1 van bus 1, daarna mag passagier 1 van bus 2 komen, dan passagier 2 van bus 1 en zo zigzagt hij door alle passagiers in alle bussen en krijgt iedereen een kamer.

Schema voor het uitladen van de buspassagiers

Het lijkt alsof er altijd plaats is in Hilberts Hotel en toch is er een ander soort oneindig die er níet inpast. Sommige oneindigheden zijn groter dan andere oneindigheden. Maar dat is iets voor een volgende column.