Wiskundemeisjes

196 of, o 691

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

“Mooie zeden in Ede, zei oom.” Als kind bladerde ik uren in mijn moeders exemplaar van Battus’ Opperlandse taal&letterkunde. Hele stukken leerde ik uit mijn hoofd, waaronder die klassieke omkeerzin. Prachtig vond ik palindromen als levensnevel, moorddroom of nepmarsrampen.

Spelen met letters vind ik nog steeds leuk, maar minstens zo graag speel ik met cijfers. Ook daar heb je mooie palindromen. Een fijn voorbeeld is het priemgetal 11933316181512171330203317121518161333911 (dit getal is alleen te delen door één en zichzelf). Als je van dit getal steeds de eerste en laatste twee cijfers weghaalt, dan krijg je een rijtje met allemaal palindroompriemen. Het eindigt met 2, het enige even priemgetal. Ook aardig is 1030301, de derde macht van 101 (dat zelf een omkeerpriem is).

We weten nog een heleboel niet over symmys in de getallen. Bestaan er bijvoorbeeld oneindig veel palindroompriemen? Hoe groter de getallen, hoe schaarser de palindromen. Tussen de 100 en 999 is één op de tien getallen een palindroom, want bij elke twee begincijfers geeft één van de tien mogelijke eindcijfers een palindroom. Tussen 100.000 en 999.999 is de score nog maar één op de duizend. Bij elke twee cijfers die erbij komen, neemt het percentage palindromen met een factor tien af. Ook priemgetallen zijn steeds zeldzamer in de hogere regionen. Niemand weet of er desondanks toch oneindig veel palindroompriemen zijn.

Nog veel intrigerender is het 196-probleem. Je kunt palindromen soms maken uit gewone getallen. Neem een getal, keer het om en tel het op bij wat je had. Herhaal dit tot je een palindroom krijgt. Als je begint met 32, dan krijg je 32+23 =55 en ben je in één stap klaar. Begin je met 39, dan ga je via 39+93 = 132 naar 132+231 = 363. Als je met een getal onder de honderd begint, dan eindig je altijd bij een palindroom. Al kan het best even duren, vanaf 89 moet je maar liefst 24 stappen maken voordat je eindelijk bij 8813200023188 komt.

Kom je uiteindelijk altijd uit bij een palindroom? Wiskundigen vermoeden dat er getallen zijn waarbij het niet lukt. Het kleinste voorbeeld is 196 (vandaar dat dit het 196-probleem heet). Meer dan een biljoen stappen zijn er al doorgerekend en er verschijnt maar geen palindroom. Het is moeilijk om te bewijzen is dat er nóóit een palindroom komt, want het zou altijd kunnen dat bij een volgende stap ineens een mooie symmetrie tevoorschijn komt. De kans daarop is natuurlijk wel steeds kleiner, omdat in de grote getallen minder en minder palindromen voorkomen. Er zijn meer getallen zoals 196 waarvan we niet weten of ze op een palindroom uitkomen. De slimmeriken hebben vast al geraden dat 691 ook een probleemgeval is. Onder de duizend zijn er in totaal dertien van zulke getallen. En daarboven nog veel meer.

Levert een oplossing van dit 196-probleem ook maar iets op? Krijgen we er snellere computers door? Veiligere auto’s? Nog meer welvaart? Waarschijnlijk niet. Maar wie net als ik van Opperlans houdt, begrijpt dat het daar helemaal niet om gaat bij dit soort problemen.