Wiskundemeisjes

Aanstaande dinsdag geeft Marcus du Sautoy, die we eens naar zijn favoriete (nog levende!) wiskundige vroegen, een publiekslezing over zijn net vertaalde nieuwe boek Het symmetrie-monster (Finding Moonshine).

Hoe is het om door een briljante ingeving een eeuwenoud wiskundig vraagstuk op te lossen? En om, tien minuten later, erachter te komen dat je daarbij een denkfout hebt gemaakt? In "Het symmetrie-monster" gaat wiskundige Marcus du Sautoy op zoek naar het geheim van een van de belangrijkste natuurverschijnselen.

De lezing is op dinsdag 14 april om 17:30 in de Doelenzaal van de Universiteitsbibliotheek van Amsterdam. Toegang is gratis, maar wegens het beperkte aantal plaatsen moet je je wel aanmelden via een berichtje. Wij hebben er al zin in!

Het is weer tijd voor een nieuwe aflevering van onze rubriek over wiskundigen die op een opvallende manier om het leven zijn gekomen. Deze editie gaat over Gerhard Gentzen die aan het eind van de Tweede Wereldoorlog overleed.

Gentzen werd in 1909 geboren in Duitsland. Zijn vader was een advocaat die sneuvelde in de Eerste Wereldoorlog. Gentzen kon goed leren, bij zijn eindexamen was zelfs hij de beste van zijn school. Hij kreeg een beurs om naar de universiteit te gaan en studeerde, zoals in de tijd gebruikelijk was, aan verschillende universiteiten. In 1933 haalde hij zijn doctoraat bij Weyl in Göttingen. Een jaar later werd hij de assistent van Hilbert (van het hotel en de problemen). In de tussentijd was hij ook lid geworden van de Sturmabteilung.

Gentzen werkte aan de grondslagen van de wiskunde. Onder Hilbert werkte hij aan het axiomatiseren van de wiskunde. In diezelfde tijd bewees Gödel zijn onvolledigheidsstelling. Gentzen was eerst ongerust dat dit gevolgen had voor zijn werk, maar later schreef hij dat het resultaat van Gödel erg interessant, maar niet alarmerend was:

Man kann es auch so ausdrücken, dass sich für die Zahlentheorie kein ein für allemal ausreichendes System von Schlußweisen angeben lässt, sondern dass vielmehr immer wieder Sätze gefunden werden können, deren Beweise neuartige Schlußweisen erfordern.

Het artikel over Gentzens belangrijkste resultaat op wikipedia (Gentzen's consistency proof) heeft trouwens een expert nodig, zijn er vrijwilligers?

Gentzen was sinds 1937 lid van de NSDAP en schreef voor het nationaal-socialistische tijdschrift ``Deutsche Mathematik" (bovenstaand citaat komt daaruit). Tot 1943 bleef hij verbonden aan de universiteit van Göttingen, hoewel hij tussen 1939 en 1941 in militaire dienst moest. Na zijn habilitation in 1943 vertrok hij naar Praag om daar aan de universiteit les te gaan geven - wat een deel was van het Duitse oorlogsplan. Op 5 mei 1945 kwam de Praagse bevolking in opstand en Gentzen werd, zoals alle Duitsers in Praag, gevangen genomen. Na vier dagen kwamen de Russische troepen die Gentzen onder embarlijke omstandigheden opsloten. Een medegevangene vertelde dat Gentzen best tevreden was over de opsluiting:

I can see him lying on his wooden bunk thinking all day about the mathematical problems that preoccupied him. He once confided in me that he was really quite content since now he had at last time to think about a consistency proof for analysis...

Na drie maanden in gevangenschap stierf Gentzen aan ondervoeding.

Je kunt op het plaatje klikken voor een grotere versie. Het stripje komt van Abstruse Goose waar een boel grapjes over wiskunde enzo zijn te vinden.

Bij de jongen met het petje moest ik trouwens gelijk aan mijn goede vriend Sidney denken. Ik durf te wedden dat hij een paar seconden geleden`holy shit' zei voor hij aan zijn petje krabde en narekende of inderdaad gelijk is aan .

Inmiddels is de tv-serie Numb3rs, waarin wiskunde gebruikt wordt om misdaden op te lossen, alweer vijf seizoenen bezig. Voor slimme fans van Numb3rs en andere lezers die van puzzels houden: op de website The math behind Numb3rs (van Wolfram Research) staat bij elke aflevering van seizoen 5 een uitdagende puzzel, een (soms klassiek) probleem dat iets te maken heeft met de wiskunde die in de betreffende aflevering aan de orde is geweest. De puzzels zijn zeer verschillend van karakter en volgens mij ook van moeilijkheidsgraad, maar de meeste zijn niet makkelijk. In de hints en oplossingen staan linkjes naar de achterliggende wiskunde. Op de Wolfram Blog kun je een stukje lezen van een van de makers. Veel plezier!

Op vrijdag 15 mei organiseert de Technische Universiteit Delft een wedstrijd voor meiden uit 5 VWO. Met een team verzin je in een dag een oplossing voor een uitdagend probleem. Het model in bovenstaand plaatje heeft dan ook niets te maken met de Vogue of Glamour, je gaat deze dag een (wiskundig) model maken om de oplossing te vinden. Meer informatie vind je op de website of in de flyer (pdf). Het beste team wint een mooie laptop en het wordt vast een leuke dag, dus meld je aan of wijs anderen op deze wedstrijd!

De dames op de foto zijn trouwens ook geen ingehuurde modellen, maar heuse Delftse studentes. Op de site van Maak een model in een dag vertellen Linda (uiterst links) en Emma (in het midden) bijvoorbeeld wat zij leuk vinden aan hun wiskundestudie.

Soms levert een wandelingetje naar de boekwinkel een leuke verrassing op. Een tijdje geleden zag ik opeens een boek liggen dat mijn aandacht trok omdat het er mooi uitzag, en bovendien stonden er wat wiskundige symbolen op de kaft. (Later, toen ik het boek al uit had, kwam ik er achter dat er zelfs een hele rits decimalen van pi op de rand van het omslag, tussen de voorkant en de binnenflap, staat.) Het was "The Housekeeper and the Professor" van de Japanse schrijfster Yoko Ogawa.

Ik kocht het, en het viel zeker niet tegen! Het boek gaat over een huishoudster die aan de slag gaat bij een man met een bijzondere handicap: door een ongeluk werkt zijn geheugen niet meer goed. Zijn korte-termijngeheugen duurt tachtig minuten, en verder heeft hij alleen zijn herinneringen tot 1975 nog. Voor het ongeluk was de man een wiskundeprofessor en hij weet dus nog steeds veel over wiskunde. Hij kan niet meer werken, maar geniet wel van het oplossen van de problemen in de problemenrubriek van een wiskundetijdschrift.

De wiskunde blijkt een mooie manier te zijn om met de professor te communiceren. De eerste ontmoeting (die zich natuurlijk dagelijks min of meer herhaalt) gaat als volgt:

When I tried the doorbell on Monday, it seemed to be broken.

"What's your shoe size?"

This was the Professor's first question, once I had announced myself as the new housekeeper. No bow, no greeting. If there is one ironclad rule in my profession, it's that you always give the employer what he wants; and so I told him.

"Twenty-four centimeters."

"There's a sturdy number," he said. "It's the factorial of four." He folded his arms, closed his eyes, and was silent for a moment.

De professor blijkt een begaafd docent te zijn:

The one topic we could discuss without any worry was mathematics. Not that I was enthusiastic about it at first. In school, I had hated math so much that the mere sight of the textbook made me feel ill. But the things the Professor taught me seemed to find their way effortlessly into my brain - not because I was an employee anxious to please her employer but because he was such a gifted teacher. There was something profound in his love for math. And it helped that he forgot what he'd taught me before, so I was free to repeat the same question until I understood. Things that most people would get the first time around might take me five, or even ten times, but I could go on asking the Professor to explain until I finally got it.

Het boek gaat over de relatie tussen de huishoudster, haar zoon en de professor. De zoon en de professor blijken allebei van baseball te houden, al geeft ook dat complicaties doordat de professor nog leeft met de spelers uit 1975 in zijn hoofd. De professor heeft een koosnaam voor de zoon:

We called him the Professor. And he called my son Root, because, he said, the flat top of his head reminded him of the quare root sign.

Het boek is erg mooi geschreven en geeft een intiem portret van deze drie mensen en de invloed die ze hebben op elkaar. Je gaat als lezer vanzelf ook een beetje van ze houden. Een grote aanrader!

Deze column verscheen in De Volkskrant van 28 maart 2009.

Paradox-feesten

Stephen Fry kan het niet meer aanzien

Stephen Fry mopperde in een interview dat de jeugd niet meer weet hoe ze een feest moet geven. Vroeger, toen de mannen nog hoeden droegen, organiseerden excentrieke intellectuelen paradox-feesten. De enige manier om binnen te komen was om aan de deur een mooie paradox te vertellen. Als iemand mij uit zou nodigen voor zo’n feestje, dan zou ik komen met de paradox van Simpson. Deze paradox is heel bekend onder statistici en (nog mooier) komt heel vaak voor in de praktijk. Hij is het beste uit te leggen met een voorbeeld.

In 1973 werd de universiteit Berkeley in Californië aangeklaagd wegens discriminatie. Van de mannen die zich aanmeldden werd 56% afgewezen en van de vrouwen maar liefst 65%. Het was niet zo dat er veel meer aanmeldingen van vrouwen kwamen: in totaal ging het over 8442 mannen en 4321 vrouwen (om maar eens precies te zijn). Het verschil in de toelatingspercentages was zo groot dat toeval uitgesloten leek: vrouwen moesten op een of andere manier tegengewerkt worden.

Er werd eens beter naar de cijfers gekeken en de aanmeldingen bleken per faculteit afgehandeld te worden. Van de zes faculteiten lieten vier juist een hoger percentage vrouwen dan mannen toe. De andere twee faculteiten lieten iets meer mannen dan vrouwen toe, maar het verschil was niet zo groot. Het leek er juist op dat vrouwen in de meeste gevallen bevoordeeld werden. Je zou dus denken dat in totaal vrouwen meer kans hadden om aangenomen te worden.

De verklaring was dat mannen en vrouwen zich niet voor dezelfde studies inschreven. Vrouwen meldden zich massaal aan voor studies waar relatief weinig mensen werden toegelaten. Bij Engels kwamen bijvoorbeeld twee op de drie aanmeldingen van vrouwen, bij werktuigbouwkunde slechts twee op de honderd. Terwijl Engels veel aanvragen afwees en werktuigbouwkunde juist heel weinig.

Dit is Simpsons paradox: als je gegevens van twee groepen op een onhandige manier combineert, dan lijken de resultaten van de groepen om te draaien. Het verschijnsel komt ook voor in de sport: een honkballer kan bijvoorbeeld zowel in 2007 als 2008 een beter slaggemiddelde hebben dan een concurrent, terwijl de concurrent over die twee jaren samen ineens een hoger gemiddelde heeft. Veel gevaarlijker is dat het effect ook kan optreden in medicijntesten – vooral als de testgroepen van grootte verschillen. Ook een onderliggende gezamenlijke oorzaak kan een vertekend effect veroorzaken. Baby’s met een laag geboortegewicht van rokende moeders hebben een lager gemiddeld sterftecijfer dan baby’s met een laag geboortewicht van niet-rokende moeders. Dat komt natuurlijk niet doordat roken goed is voor de baby, rokende moeders krijgen gemiddeld sowieso meer kinderen met een laag geboortewicht.

Een typisch paradox-feestje

Kortom: het zou goed zijn als meer mensen weten dat de paradox van Simpson bestaat en beseffen dat ze niet zomaar gegevens bij elkaar op mogen tellen. Ik hoop dus dat ik eens word uitgenodigd voor een paradox-feest. Excentrieke intellectuelen mogen me altijd mailen.

Deze week werd bekendgemaakt wie dit jaar de Abelprijs krijgt: de 65-jarige Russisch-Franse wiskundige Mikhail Leonidovich Gromov. Hij krijgt de prijs voor zijn revolutionaire bijdragen aan de meetkunde.

Volgens het prijscommittee: “Mikhail Gromov is always in pursuit of new questions and is constantly thinking of new ideas for solutions to old problems. He has produced deep and original work throughout his career and remains remarkably creative. The work of Gromov will continue to be a source of inspiration for many future mathematical discoveries”.

De Abelprijs wordt sinds 2003 jaarlijks uitgereikt door de koning van Noorwegen. Er is een groot geldbedrag aan verbonden: de winnaar krijgt maar liefst NOK 6,000,000 (ongeveer € 700,000).

Lees hier meer over het wiskundige werk van Gromov.

... in de Evil Mad Scientist Laboratories! Na de Sierpinski-oorbellen en -koekjes zijn ze nu toe aan een nieuwe fractal: ze hebben Koch-sneeuwvlokcakejes gebakken.

Je maakt een Koch-sneeuwvlok door een regelmatige driehoek te nemen, en vervolgens steeds het midden van elke zijde te vervangen door een opstaand driehoekje, zoals in het plaatje hieronder. Als je dat proces oneindig vaak herhaalt, krijg je een mooie fractal.

Hoe je de cakejes zelf kunt maken kun je hier precies lezen. De cakejes zijn gewone cakejes, maar het glazuur is wel heel speciaal!

Vandaag in De Pers: een grote formule op de voorkant, en een wijze les: als je een wiskundig model gebruikt, ben je dan bewust van de gegevens waarop dat model gebaseerd is. Als je een model zomaar gebruikt zonder te weten wat de aannames zijn en op welke data het gebaseerd is, kun je ook niet goed inschatten in welke gevallen en situaties dat model misschien niet zo goed werkt.

Ik weet zelf niet zoveel van modelleren en financiële markten, maar dit klinkt toch als een aanbeveling die eigenlijk een open deur zou moeten zijn.

(Met dank aan Gerben!)