Wiskundemeisjes

Als reactie op het advies van de resonansgroep wiskunde (zie ook ons stukje), heeft het ministerie van OCW een aantal veranderingen aangebracht in de nieuwe concept-examenprogramma's die in augustus 2007 ingaan. Het gaat om kleine veranderingen, want op het moment dat de resonansgroep gevraagd werd zich te buigen over de programma's waren de leermiddelen eigenlijk al bijna klaar.

In 2009 (havo) en 2010 (vwo) gaan echt nieuwe examenprogramma's in. Tegen die tijd zullen de aanbevelingen van de resonansgroep opnieuw worden meegenomen. Dan zal ook het CEVO, na overleg met deskundigen, docenten en schoolleiders, bekijken of het haalbaar en wenselijk is een deel van het centraal examen zonder grafische rekenmachine te toetsen.

Hier kun je het hele besluit van het ministerie lezen.

(Jeanine)

Ook het Freudenthal Instituut (FIsme) geeft zijn mening in het onderwijsdebat (zie ook hier en hier).

Jan van Maanen schreef deze brief, waaruit duidelijk wordt dat het FIsme de problematiek van het wiskundeonderwijs te ingewikkeld vindt om die alleen vanuit het perspectief van aansluiting tussen middelbare school en hoger onderwijs te bekijken. Over het voorstel om het examen op te splitsen in een deel met en een deel zonder grafische rekenmachine zegt hij:

De Resonansgroep kiest voor wijzigingen in het curriculum die weinig rekening houden met de complexiteit van het onderwijs. Karakteristiek voor deze opstelling van de Resonansgroep is het voorstel het examen te splitsen in een deel zonder GR en een deel met. De implicatie is dat we de leerling ontnemen wat hij zou moeten leren: verstandig te kiezen uit beide aanpakken, door hem/haar voor te schrijven de rekenmachine voor tien uur wél, en daarna níet te gebruiken. Zo traint men aapjes, zo helpt men leerlingen niet om zich tot zelfstandig denkende mensen te ontwikkelen.

Van Maanen sluit positief af met een voorstel tot samenwerking:

Wij stellen dan ook voor een gelegenheid te creëren waarin de diverse partijen zoals die zich nu manifesteren elkaar zodanig kunnen ontmoeten dat een constructief gesprek op gang komt, waarin van diverse kanten samengewerkt kan worden aan wat een gemeenschappelijk ideaal zou kunnen zijn: wiskunde die voor de leerling waard is geleerd te worden, bruikbaar is voor vervolgopleiding en een eerlijk en aantrekkelijk beeld van de discipline als wetenschap geeft.
Wij zijn graag bereid het initiatief daartoe te nemen.

(Jeanine)

Na het onderwijsrumoer van de afgelopen weken, dient zich een nieuwe speler aan in het discussieveld: de onderwijsraad, het adviesorgaan voor de regering op het gebied van onderwijs.

De raad reageert niet direct op de bevindingen van de resonansgroep of de NVvW, maar baseert zijn eigen conclusies op een rapport uit augustus van het IVA Beleidsonderzoek en Advies. In één casus in dit rapport worden de aansluitingsproblemen tussen het vwo en de bèta-faculteit van de Universiteit Twente behandeld. Die problemen ontstaan vooral door een gebrek aan wiskundige kennis. Het IVA constateert ongeveer dezelfde problemen als de resonansgroep en de docenten op de universiteiten:

Opgemerkt wordt dat leerlingen in het studiehuis vooral contextrijke wiskunde krijgen. Bovendien hebben ze niet meer geleerd om kennis over wiskunde op te slaan. Wel hebben ze geleerd hulpmiddelen goed te hanteren. Maar waarom een probleem op een bepaalde manier aangepakt moet worden juist weer niet. Ook wordt opgemerkt dat er minder onderwijstijd voor wiskunde beschikbaar is in het VWO.
Aangegeven wordt dat Twente niet de enige universiteit is die dit signaleert, maar dat eenzelfde beeld bij meerdere universiteiten en hogescholen bestaat conform de constateringen uit het landelijke evaluatierapport Tweede Fase.
Bovendien merkt men op dat het niveau in de loop der jaren geleidelijk aan lager is geworden. In Delft en Eindhoven, waar men al langer toetst, ziet men de divergentie steeds wat groter worden. Als mogelijke oorzaak hiervoor wijst men op het toenemend gebruik van hulpmiddelen, ook bij de eindexamens zelf.

en:

Eén van de geïnterviewden geeft aan dat het probleem aan beide kanten zit: de universiteiten willen binnen het reguliere curriculum geen verdere concessies meer doen (en kunnen dat bovendien ook niet). De aanpassingen hebben al zoveel mogelijk plaatsgevonden op basis van de input die de twee gedetacheerde wiskundedocenten hebben geleverd (zie hierboven). Terwijl het VO zegt: “dit zijn de studenten die jullie voortaan krijgen”. De studenten moeten echter vanaf het begin een bepaald niveau hebben.

In het persbericht van de onderwijsraad staan wat algemenere aanbevelingen:

Uit de peilingen blijkt geen sterke achteruitgang van de kennis voor het hele onderwijs. Een algemene conclusie dat het slecht gaat met de kennis in het onderwijs is daarom niet te trekken. Wél zijn er sterke signalen dat er een niveauverlies is voor de vakken Nederlands en wiskunde in alle onderwijssectoren.

en:

Wat wiskunde betreft is er sprake van een niveauverlies en een tekort aan reken- en formulevaardigheden. In de praktijk blijken sommige instellingen in het onderwijs nu al maatregelen te nemen om iets te doen aan deze kennistekorten bij leerlingen en studenten. De raad vraagt vo-, mbo-, hbo- en wo-instellingen systematisch na te gaan waar kennistekorten ervaren worden en daar vervolgens reparatieprogramma’s voor op te zetten. De minister moet
deze reparatieprogramma’s ruimhartig ondersteunen.

Wie is blij om dit te horen en wie niet? Laat het ons weten in de comments!

(Jeanine)

Meestal mengen de wiskundemeisjes zich niet in verhitte discussies (niet online, althans). Nu doen we het toch. Er gebeuren namelijk allerlei belangrijke dingen omtrent de wiskundevoorstellen havo en vwo voor 2007 en later.

Een paar weken geleden kwam de resonansgroep wiskunde met een advies. De resonansgroep wiskunde is door de minister van OCW opgericht om de aansluiting van het nieuw voorgestelde programma voor havo en vwo op het hbo en wo te toetsen.

De belangrijkste aanbevelingen zijn:
1. Zorg ervoor dat het ontwikkelen van reken- en formulevaardigheid weer als een rode draad door het gehele wiskundeonderwijs heenloopt.
2. Splits voor alle wiskundevakken het centrale schriftelijke eindexamen (CE) in twee delen: een deel dat zonder hulpmiddelen (grafische rekenmachine en formulekaart) wordt afgenomen, en een deel waarin wel van deze hulpmiddelen gebruik mag worden gemaakt.
3. Heroverweeg de rol van contexten in het wiskundeonderwijs.

De rol van de grafische rekenmachine (GR voor vrienden) in het middelbaar onderwijs is een terugkerend gespreksthema onder docenten die de eerstejaars studenten wiskunde onder hun hoede hebben. Vaak blijkt inderdaad dat de GR teveel gebruikt wordt, waardoor basale reken- en formulevaardigheden in het gedrang gekomen zijn. Daarom leek het mij een bijzonder goed idee om deze vaardigheden apart te toetsen, zonder GR en formulekaart. Natuurlijk zie ik ook het nut van de grafische rekenmachine, het is een goede voorbereiding op rekenen en modelleren met een computer, wat in het vervolgonderwijs vaak terug zal komen.

Het bestuur van de NVvW echter was niet blij met het advies van de resonansgroep en stuurde een gepikeerde brief. Inzet is dat het programma juist op advies van de universiteiten veranderd was: uit de academische wereld bleek vraag naar vaardigheden als zelf problemen oplossen, redeneren en bewijzen. Het bestuur van de NVvW erkent dat de grafische rekenmachine vaak verkeerd gebruikt wordt en dat daar iets aan moet gebeuren, maar ziet niets in aparte toetsing op het CE.

De NVvW ontkent dus niet dat de algebraïsche vaardigheden van leerlingen niet meer zijn wat ze vroeger waren, maar zegt dat dit gecompenseerd wordt door andere vaardigheden, zoals het gebruik van computers en redeneren. De NVvW vindt dat de resonansgroep teveel nadruk legt op de algebraïsche vaardigheden en te weinig op de andere vaardigheden die daarvoor in de plaats gekomen zijn en op de andere onderdelen van het programma. Ook geeft de NVvW zelf een aantal punten waarop het wiskundeonderwijs verbeterd kan worden. Bovendien vindt het bestuur dat ook het hbo en wo verantwoordelijkheid moet nemen voor de aansluiting tussen hbo en wo.

Maar buiten deze argumenten lijkt de brief deels een persoonlijke aanval te zijn. Uit de volgende citaten blijkt dat de NVvW weinig genegen is de resonansgroep serieus te nemen en dat ze zich gepasseerd voelt:

Het lijkt ons evenmin verstandig om vanuit een verengd perspectief van doorstroomrelevantie absolute uitspraken te doen over de inhoud van de programma’s. We begrijpen de ijver van de Resonansgroep en het gevoel van urgentie van het probleem. Maar toch: het had de Resonansgroep gesierd als zij hier enige bescheidenheid had getoond, door te beseffen dat haar kennis van het programma en het onderwijs uit de aard der zaak beperkt is.

en:

Samen met docenten uit WO en HBO kijken we naar de aansluiting in de hoop er beiden wat van te leren en er beiden her onderwijs mee te verbeteren. Er is bij ons ook wel eens een verlangen naar een Resonansgroep voor het hoger onderwijs…

en:

De leraren waren met opzet geweerd uit de Resonansgroep. We bieden u hierbij de reactie van het veld aan en hopen dat u die in de uiteindelijke besluitvorming zult willen betrekken. Een stellingenstrijd heeft geen enkele zin, we moeten het samen doen.

Voor een uiterst degelijk commentaar op de brief van het bestuur van de NVvW verwijs ik jullie door naar de reactie van Henk Pfaltzgraff, die ook spreekt vanuit de onderwijspraktijk.

En dan nu de vraag aan onze lezers: hoe denken jullie (leerlingen, studenten, leraren, academici) over al deze onderwijsvernieuwingen? En hoe hebben jullie de overgangsproblemen tussen vwo en wo ervaren?

(Jeanine)

Uit de NRC een heel lief ikje...

Formule

„Meneer”, zei ik, in de drukte van het verlaten van de klas.

Lange Jan, onze natuurkundeleraar, deed een stap in mijn richting.

„Ja jongen, wat is er?”

„Meneer, klopt deze formule?” Ik hield hem een blaadje voor.

„Ja natuurlijk jongen, dat is de cosinusregel.”

„Oh.” Heftig teleurgesteld droop ik af. Had ik daar zo’n mooie formule gevonden, en dan bleek ie al bekend te zijn.

Jan Verbakel

(Ionica)

Op de WWW interactive multipurpose server (WIMS voor vrienden) vind je een schat aan interactieve wiskundige opgaven. Ik heb me al goed vermaakt in de categorie Mathematical recreations. Je kan bijvoorbeeld stap voor stap boodschappen die op een eenvoudige manier gecodeerd zijn ontcijferen. Wie weet wat hier staat?

"Hn twh haacsdhns D pcve been cskeo [by members hf Icrldcment!], 'Ircy, Mr.
Bcbbcge, df yhu iut dnth tpe mcapdne wrhng fdgures, wdll tpe rdgpt cnswers
ahme hut?'  D cm nht cble rdgptly th ciirepeno tpe kdno hf ahnfusdhn hf doecs
tpct ahulo irhvhke suap c questdhn."
-- Apcrles Bcbbcge

Ook heel leuk is de gravity shoot. Je ziet een aantal stippen met een bepaald gewicht en moet dan bedenken waar het zwaartepunt ligt.

Klik op het plaatje om de oplossing te zien en om te zien hoever ik daarvan af zat. Het leuke is dat je vrij snel een aardige intuïtie ontwikkelt.

Er staan voor leraren en leerlingen ook veel serieuze oefenmogelijkheden op de site, in verschillende talen. Allemaal kijken dus!

(Ionica)

Gisteren zat Ad Verbrugge - de man op de foto - aan tafel bij Zomergasten.

Hij is voorzitter van de vereniging Beter Onderwijs Nederland. Het doel van deze vereniging is (ik quote):

Het zo goed mogelijk tot bloei laten komen van de potenties van leerlingen en studenten door gedegen vakinhoudelijke en algemene vorming.

Verbrugge legde gisteren uit, wat hij concreet mist in het huidige onderwijs: de basis. Als voorbeeld noemde hij dat je als scholier geen prachtig werkstuk kan schrijven, als je de Nederlandse taal nauwelijks beheerst.

Hetzelfde geldt voor wiskunde, ook daar kan je alleen mooie resultaten behalen als je de basis beheerst. Beter Onderwijs Nederland heeft een aparte Kring Wiskunde. Deze kring heeft als belangrijke standpunten dat de grafische rekenmachine moet worden afgeschaft en dat er meer aandacht moet komen voor algebraïsche vaardigheden in de onderbouw. Ik raad iedereen met een hart voor onderwijs aan, om eens op hun site te kijken.

Via hun forum kwam ik een interessant artikel tegen van Herbert Wilf. Ik kende hem van de Fine-Wilf woorden* en het boek A = B dat hij samen met Doron Zeilberger schreef. In het artikel Can there be "research in mathematical education"? verdiept hij zich in een aantal artikelen en een boek die goede voorbeelden zouden zijn van "research in mathematical education". Het resultaat: in elk door hem bestudeerd onderzoek zijn zulke ernstige fouten gemaakt, dat er geen enkele conclusie getrokken kan worden uit de onderzoeksgegevens.
(Ionica)

* Op verzoek zal ik een keer hierover schrijven!

Met Guido Schmeits schreef ik deze week voor Kennislink een artikel over de stelling van Desargues. Of eigenlijk schreven we een artikel over Marleen Kooiman, een zeventienjarige scholiere die in haar profielwerkstuk deze stelling generaliseerde. Heel terecht kreeg ze van de UvA een prijs voor het beste werkstuk (hoewel de eerlijkheid me gebiedt toe te geven dat ik de andere genomineerde werkstukken niet heb gezien, maar dit lijkt me lastig te overtreffen.)

Toen ik het eerste bericht over Marleen's werk las, vroeg ik me twee dingen af:

1. Wat is in godsnaam die stelling van Desargues?
2. Waarom mocht ik geen profielwerkstuk maken op de middelbare school? Het moet toch fantastisch zijn om als scholier in een vak te duiken dat je echt leuk vindt, te praten met mensen op de universiteit en als klap op de vuurpijl iets nieuws te verzinnen? Ik moest in mijn eindexamenjaar maandenlang allerlei vreselijke experimenten doen bij scheikunde, plantjes kweken bij biologie en veren ijken bij natuurkunde. Ik had veel liever iets aan wiskunde gedaan. Meestal ben ik niet zo bezig met onderwijs, maar bij deze zeg ik: "Hoera voor het profielwerkstuk!".

Laat ik ook vraag 1. beantwoorden voor de lezers die net als ik geen idee hadden wat de stelling van Desargues eigenlijk is. De tekst hieronder komt letterlijk uit het eerder genoemde Kennislink artikel, dus je kan ook stoppen met lezen en op de link hierboven klikken. Voor wie dat niet doet, de tekst hieronder komt van mijn co-auteur Guido. Eventuele complimentjes zal ik doorsturen naar hem!

Girard Desargues
Girard Desargues (1591 – 1661) was een Franse wiskundige en architect uit Lyon. Nog geen halve eeuw voor zijn geboorte was in Frankrijk de renaissance begonnen. Je hoeft maar aan Leonardo da Vinci te denken om te weten dat wetenschap en kunst goed samengingen in die tijd. Dat gold ook voor Desargues. Hij hield zich bezig met perspectief, iets wat de renaissancekunstenaars steeds beter onder de knie hadden gekregen. In 1648 verscheen zijn beroemde stelling in een boek van zijn vriend Abraham Bosse, een kunstenaar. Deze stelling gaat over driehoeken en perspectief.

De stelling van Desargues
Als een goed wiskundige vereenvoudigde Desargues de perspectiefproblemen van de kunstenaars net zolang, totdat hij alleen de essentie overhield. De kathedraal van Lyon was voor hem hetzelfde als een driehoek in het platte vlak.

Figuur 1.

Behalve een driehoek zie je in figuur 1 ook rechts de waarnemer (de schilder, beeldhouwer, graveur), die vanaf de zijkant naar de platte driehoek ABC kijkt. Vanuit het perspectief van deze waarnemer ligt hoekpunt B boven hoekpunt C, en hoekpunt C boven hoekpunt A. Wat de waarnemer ziet, kan hij op een vel papier vastleggen. De blauwe punten zijn de projecties van de hoekpunten A, B en C op dat vel papier.

Figuur 2.

De groene driehoek abc in figuur 2 levert voor deze waarnemer precies dezelfde projectie op als de rode driehoek ABC. Je zegt dat driehoek ABC en driehoek abc ‘in puntperspectief zijn’ ten opzichte van het punt O, het oog van de waarnemer.

Figuur 3.

Desargues kwam nu op het idee om de zijden van beide driehoeken te verlengen. Vervolgens tekende hij het snijpunt van de verlengde zijden AB en ab, van de verlengde zijden BC en bc, en van de verlengde zijden AC en ac. Desargues beweerde en bewees dat deze snijpunten alle drie op één rechte lijn liggen, de paarse lijn in figuur 3. Het omgekeerde is ook waar: als de snijpunten op één lijn liggen, dan zijn de driehoeken in puntperspectief. En dit is precies de stelling van Desargues. Het bewijs is hier te vinden.

(Ionica)