Wiskundemeisjes

Aangezien we het al op talloze blogs en andere plekken op het internet zagen staan en bovendien niet heel blij werden van het onelegante brute-forcen schreven we tot nu toe niets over het laatste Rubiks-kubus-nieuws: deze week werd bekend dat een Rubiks kubus vanuit elke positie in twintig zetten of minder op te lossen is. Maar ik vrees dat we van jullie, oplettende lezers, aansporende e-mails blijven krijgen tot we het toch doen. Dus alsnog!

Het bewijs is gegeven door Morley Davidson, John Dethridge, Herbert Kociemba en Tomas Rokicki. Het getal dat nu bepaald is, staat ook wel bekend als "God's Number": aangenomen dat God altijd de allerefficiëntste serie handelingen gebruikt om de kubus op te lossen, dan is dit het grootste aantal handelingen dat hij nodig kan hebben.

Op deze site van de BBC kun je meer lezen, en op www.cube20.org lees je van alles over het nieuwe bewijs en de geschiedenis van het probleem.

Voor iedereen die er al genoeg over heeft gelezen: als toegift een linkje naar de 38 Coolest and Geekiest Rubik’s Cube Designs! Hieronder een paar voorbeelden.

Brekend nieuws: Wiskundige Vinay Deolalikar heeft een voorlopige versie verspreid van een artikel dat claimt te bewijzen dat P != NP. Deolalikar is een serieuze onderzoeker en had het bewijs alleen bedoeld voor een handvol deskundigen. Hij werkt nog aan een definitieve versie, maar zijn eerste versie circuleert nu al op internet. Ik heb vandaag weinig tijd om erover te schrijven, maar dit nieuws kan natuurlijk niet onvermeld blijven!

Voor niet-wiskundigen: lees op Kennislink wat P- en NP-problemen zijn.

Voor wiskundigen: bekijk zelf het bewijs of volg de discussie op Dick Liptons blog.

Het Nederlandse team behaalde op de Internationale Wiskunde Olympiade (internationaal afgekort als IMO) in Kazachstan maar liefst vijf bronzen medailles en een eervolle vermelding! Dat is een hele prestatie: het is de beste score die Nederland sinds 1987 gehaald heeft, en het is de eerste keer dat alle teamleden iets hebben gewonnen.

De individuele teamleden behaalden de volgende resultaten:

Harm Campmans (18 jaar, Borne): brons, 17 punten
Guus Berkelmans (16 jaar, Amstelveen): brons, 16 punten
David Kok (17 jaar, Delft): brons, 16 punten
Merlijn Staps (15 jaar, Leusden): brons, 16 punten
Madelon de Kemp (17 jaar, Nijmegen): brons, 15 punten
Daniël Kroes (16 jaar, Woerden): eervolle vermelding, 14 punten

Gefeliciteerd!

De medailleverdeling op de IMO gaat als volgt: de helft van de deelnemers krijgt een medaille, in de verhouding goud : zilver : brons = 1 : 2 : 3. Een eervolle vermelding krijg je als je geen medaille haalt, maar wel een van de opgaven helemaal foutloos opgelost hebt.

Morgen, tijdens de officiële sluitceremonie, zullen de medailles worden uitgereikt. Bovendien krijgt Nederland de olympische vlag overhandigd, want volgend jaar is Nederland gastland voor de IMO! Zie daarvoor ook www.imo2011.nl.

Gefeliciteerd Ionica!!!!! Liefs van Jeanine

(Al had Ionica natuurlijk niet zo'n gek hoedje op met een flosje eraan vanmiddag.)

Deze week werd bekend wie de Nederlandse eer gaan verdedigen op de 51ste Internationale Wiskunde Olympiade, dit jaar van 5 tot en met 14 juli in Kazachstan.

Het team bestaat uit:

Guus Berkelmans (16 jaar, Amstelveen)
Harm Campmans (18 jaar, Borne)
Madelon de Kemp (17 jaar, Nijmegen)
David Kok (17 jaar, Delft)
Daniël Kroes (16 jaar, Woerden)
Merlijn Staps (15 jaar, Leusden)

Verder heeft Jeroen Huijben (14 jaar, Goirle) de aanmoedigingsprijs gewonnen voor het beste aanstormend talent, dus hij mag ook mee!

Van harte gefeliciteerd allemaal, want het team halen is al een hele prestatie!

Getaltheoreticus John Tate (85) is een van de grootste wiskundigen van deze tijd. Vooral voor zijn invloed kreeg hij de Abelprijs, iets als een Nobelprijs voor wiskundigen. ‘Dat niemand je werk begrijpt, is nu eenmaal ons lot.’ Door Ionica Smeets

Dit interview verscheen zaterdag in de Volkskrant.

De Noorse koning Harald V overhandigde vorige week woensdag de Abelprijs aan een zichtbaar nerveuze Tate. De 85-jarige wiskundige kreeg de onderscheiding voor zijn omvangrijke en blijvende invloed op de getaltheorie. De Abelprijs is de hoogste onderscheiding in de wiskunde, qua prestige en waarde (750.000 euro) vergelijkbaar met de Nobelprijs.

CV John Tate
1925 Geboren in Minneapolis (Verenigde Staten)

1946 Studeert af als natuurkundige; Princeton

1950 Promoveert als wiskundige; Harvard

1950 - 1953 Onderzoeker; Princeton

1953 - 1954 Gastprofessor, Columbia

1954 - 1990 Hoogleraar, Harvard

1990 - 2009 Bijzonder hoogleraar, Universiteit van Texas

2010 Abelprijs

John Tate is getrouwd en heeft drie dochters en vijf kleinkinderen.

Tate is in Oslo het stralend middelpunt van een driedaags programma vol lezingen, feesten en staatsbanketten. Zijn meegereisde familie, inclusief alle kleinkinderen, kijkt glazig bij de wiskundige voordrachten. Tates werk is maar moeilijk uit te leggen, zelfs de publiekslezingen zijn alleen voor wiskundigen te volgen. De president van de Noorse Akademie der Wetenschappen bekent in een toespraak dat hij in elk geval niets had begrepen van alle lezingen over getaltheorie. Tate lacht gelaten vanaf de eerste rij.

Later die avond zit hij er ontspannen bij in de salon van de Noorse Akademie.

Wordt u er niet moe van dat bijna niemand snapt wat u precies doet?
“Het is het grote nadeel van een carrière als wiskundige. Wiskunde is een taal die maar weinig mensen spreken, het is een kunstvorm voor liefhebbers. Soms vraagt iemand me op een cocktailparty wat ik doe. Als ik antwoord dat ik wiskundige ben, dan loopt de vragensteller vaak weg. Of hij antwoordt dat hij algebra op school wel leuk vond, maar dat hij niets van meetkunde bakte. Het is frustrerend dat je niet kunt vertellen wat je echt doet.”

Tate met de Abelprijs: ‘Ik dacht altijd dat wiskunde voor echte genieën was’

Was u altijd al dol op wiskunde?
“Als kind was ik niet met dat soort vragen bezig, ik speelde gewoon met mijn brandweerwagen. Ik hield wel van wiskunde, maar dacht er nooit serieus over na. Mijn vader was hoogleraar natuurkunde en een academische carrière was in die zin wel vanzelfsprekend.”

Ging u daarom natuurkunde studeren?
“Ik ging vooral géén wiskunde studeren. Op de middelbare school las ik Men of mathematics van E.T. Bell. Dat boek vertelt over de grote namen uit de geschiedenis van de wiskunde: Euler, Gauss, Abel, allemaal echte genieën. Ik vond het prachtig en werd bijvoorbeeld gegrepen door de schoonheid van de wet van de kwadratische reciprociteit. Maar ik kreeg het gevoel dat je alleen maar wiskunde kon doen als je een genie was. Ik wist dat ik niet zo briljant was als bijvoorbeeld Gauss en dacht dat ik niets te zoeken had bij wiskunde. Ik besefte niet dat je ook op een lager niveau fantastisch werk kunt doen. Bij natuurkunde wist ik door het voorbeeld van mijn vader dat je daarbij mooie resultaten kon behalen als je geen genie was.”

Waardoor stapte u over naar wiskunde?
“In die tijd kon je als student gratis studieboeken krijgen en ik maakte daar dankbaar gebruik van. Na het eerste semester keek ik naar mijn boekenplank. Daar stonden twintig wiskundeboeken en één natuurkundeboek. Toen besloot ik naar wiskunde over te stappen.

Bij de overstap had ik veel geluk, ik kreeg Emil Artin als begeleider toegewezen. Ik herinner me hoe in de koffiekamer een medestudent hem enthousiast aanwees en dat ik vroeg wie Emil Artin in vredesnaam was. Toen bleek dat één van mijn favoriete wiskundeboeken, Moderne Algebra door Van der Waerden, gebaseerd was op lezingen van Artin en Emmy Noether. Op de kaft stond alleen Van der Waerden, ik had nooit gezien dat de andere namen op de eerste bladzijde stonden.

Nog toevalliger was dat bleek dat juist Artin de wet van de kwadratische reciprociteit had gegeneraliseerd, het resultaat dat me zo greep als tiener. Ik had me geen betere begeleider kunnen wensen.”

Een grote invloed op de getaltheorie
John Tate werkte vooral aan getaltheorie. In dit vakgebied zijn er veel vragen van de vorm “heeft deze vergelijking een oplossing in de gehele getallen?”. Euclides bewees bijvoorbeeld ruim tweeduizend jaar geleden dat de vergelijking a² +b² = c² oneindig veel oplossing heeft in gehele getallen. De vraag of vergelijking aⁿ + bⁿ = cⁿ, voor machten n groter dan twee, geheeltallige oplossingen heeft, bleef eeuwenlang onbeantwoord. Pas in 1994 bewees Andrew Wiles dat al deze vergelijkingen geen oplossingen hebben in de gehele getallen (behalve flauwe met nullen en enen). Dit resultaat staat bekend als de Laatste Stelling van Fermat en het bewijs zou onmogelijk zijn geweest zonder een wiskundig gereedschap bedacht door Tate: het Tate-moduul.

Het Tate-moduul vormt een brug tussen meetkunde en algebra. Het transformeert een meetkundig object in een algebraïsch voorwerp. Het meetkundige object is onbruikbaar bij bewijzen in de getaltheorie, maar bevat wel de structuur van het oorspronkelijke probleem. Het Tate-moduul vergeet de afstanden die in meetkunde belangrijk zijn en vervangt die door relaties, nuttig voor algebra en getaltheorie. Hierdoor blijft de oorspronkelijke structuur in zekere zin bewaard. Het Vermoeden van Tate gebruikt dit moduul om een klassiek resultaat uit de meetkunde in de getaltheorie te kunnen toepassen. Tate bewees één special geval van dit vermoeden, hiermee was het mogelijk om allerlei bestaande problemen zoals de Laatste Stelling van Fermat aan te pakken. Het algemene vermoeden is één van de grote open problemen in de getaltheorie.

Veel van de hoofdlijnen van huidig onderzoek borduren voort op Tates ideeën en constructies. Een lange reeks wiskundige begrippen draagt zijn naam, naast het Tate-moduul en vermoeden zijn er Tate’s algoritme, Tate-Shafarevich groepen en de Sato-Tate vermoedens. De lijst kan bijna willekeurig lang doorgaan. Wiskundigen grappen dat je ook de Tate-index zou kunnen invoeren: de tijd die het duurt bij een voordracht over getaltheorie voordat de naam Tate valt.

Welk van uw resultaten vindt u zelf het belangrijkste?
“Op die vraag kan ik geen antwoord geven. De eerste Abelprijswinaar Jean-Pierre Serre zei eens dat dit is als een moeder vragen wat haar favoriete kind is. Zelfs als een moeder een lievelingskind heeft, zal ze dat nooit hardop tegen iemand zeggen.”

U werkte ook buitengewoon veel met anderen samen, hoe ging dat?
“Tegenwoordig publiceren veel onderzoekers met mensen die ze nog nooit ontmoet hebben. Dat kan dankzij email. Ik heb ook wel brieven geschreven met collega’s. Maar ik hield er vooral van om met anderen te praten over wiskunde. Vaak kreeg ik na zo’n gesprek ineens een ingeving. Ik had altijd het gevoel dat de ander datzelfde idee ook moest hebben na dat gesprek.”

En was dat ook zo?
“Gek genoeg niet.”

Collega’s vertelden dat u vaak aarzelde om uw resultaten te publiceren, waardoor kwam dat?
“Ik aarzelde helemaal niet. Het schrijven van artikelen viel me domweg zwaar. Het kostte me veel moeite om mijn resultaten op papier te krijgen. Ik schreef een pagina en verscheurde hem dan weer.”

Waarom? Vond u het niet goed genoeg?
“Dat moet je maar aan mijn psychiater vragen. Ik was in elk geval meer geïnteresseerd in het doorgaan naar een volgend probleem dan om het vorige resultaat op te schrijven. Dat was misschien niet de beste manier om te werken, maar zo ging het nu eenmaal bij mij.”

Hoe hoorde u dat u de Abelprijs had gewonnen?
“Ik werd gebeld toen ik net was opgestaan. Het was een complete verrassing, ik houd me helemaal niet bezig met dat soort dingen. Ik had geen idee op welke dag de winnaar bekend gemaakt zou worden. En ik had al helemaal nooit verwacht dat ik zou winnen.”

Heeft u nu wel een idee waarom juist u heeft gewonnen?
“Nee, dat moet u aan de jury vragen. Maar ik ben er buitengewoon blij mee.”

Woensdag vond in Parijs een kleine ceremonie plaats omdat Grigoriy Perelman de Millennium Prize voor het bewijzen van het Poincaré-vermoeden toegekend kreeg. Daar schreven we al eerder dit stukje en deze column over.

En zoals iedereen wel verwachtte: Perelman is niet komen opdagen, aldus USA Today en RIA Novosti:

CMI President James Carlson said on Tuesday he could not explain why the mathematician ignored the event in his honor and that he was waiting for Perelman to decide if he wants the money or not.

According to Carlson, the money will be sent to a charity foundation if Perelman does not claim it within one year.

Hij heeft het geld dus nog niet geweigerd en mag er nog even over nadenken. Tijdens de ceremonie werden prijzende woorden uitgesproken door enkele beroemde wiskundigen, te lezen op de site van het Clay Mathematics Institute.

Over een week ben ik hopelijk gepromoveerd! De voorbereidingen zijn bijna klaar (al moet ik nog een jurk kopen). Deze week ben ik door een klein groepje vrienden en collega's aan de tand gevoeld tijdens een oefenverdediging. Ik vond het heel fijn en kan zo'n sessie aan alle promovendi aanbevelen. Het is heel prettig om te merken dat je best goed weet wat er in dat proefschrift staat - en dat je ook bij lastige vragen nog wel een verhaaltje kunt vertellen.

Zoals eerder beloofd hieronder wat meer over de inhoud van mijn proefschrift On continued fraction algorithms. Op mijn site vind je het hele proefschrift en meer informatie over de verdediging op 16 juni. En hier staat een heel leuk interview uit de nieuwsbrief van de Universiteit Leiden: Wiskundemeisjes worden groot.

De samenvatting van mijn proefschrift moet voor leken (met wat goede wil) te begrijpen zijn. Hieronder het begin, je kunt het geheel downloaden: samenvatting (pdf).

Hoeveel decimalen van ken je?
Han, o lief, o zoete hartedief...

Bovenstaande dichtregel is niet alleen een liefdesverklaring, het is ook een ezelsbruggetje om de eerste decimalen van (de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter) te onthouden. Tel maar eens het aantal letters van de woorden. Er zijn veel meer van dit soort ezelsbruggetjes in allerlei talen:

How I wish I could recollect pi easily today ...

Sol y Luna y Cielo proclaman al Divino Autor del Cosmo ...

Wat u door 'n goede ezelsbrug te kennen immer met gemak onthoudt ...

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures ...

Eigenlijk heeft oneindig veel decimalen achter de komma. Wat betekent het als je alleen de eerste vijf decimalen van gebruikt? Je benadert dan met .

Misschien herinner je je een andere benadering van die vaak gebruikt wordt op school: . Deze breuk met een heel kleine noemer (7) benadert de eerste twee decimalen van . Archimedes gebruikte deze benadering al rond 200 voor Christus, maar het kan nog veel beter. Bijvoorbeeld met de breuk . Die is ongeveer gelijk aan en benadert op maar liefst zes decimalen. Deze benadering is zo goed, dat geen enkele breuk met noemer kleiner dan dichter bij ligt. Hulde dus voor de Chinese wiskundige Zu Chongzhi die in 480 (zo'n vier jaar na de val van het Romeinse rijk) met veel moeite deze benadering vond.

Archimedes en Chongzhi vonden hun benaderingen voor door veelhoeken in cirkels te tekenen. Maar je kunt voor elk willekeurig getal goede benaderingen maken met kettingbreuken.

Wat is een kettingbreuk?
Een kettingbreuk is een breuk in een breuk in een breuk, enzovoorts. Zo ziet de kettingbreuk voor er bijvoorbeeld uit:

In de breuk heb je steeds een 1, een deelstreep, een positief geheel getal en dan weer een nieuwe breuk die begint met een 1. Dit soort kettingbreuken noemen we reguliere kettingbreuken. We noteren het getal voor de breuk met , voor geldt dus . De positieve gehele getallen in de breuk noteren we als . In het voorbeeld hierboven geldt en .

Een getal dat geen breuk is, kun je op precies één manier schrijven als een oneindig lange kettingbreuk. Zulke getallen noemen we irrationaal. Kijk eens voor een mooi bewijs dat geen breuk is op Wikipedia...

We zijn inmiddels terug in Nederland. Ons optreden op de Abelparty ging (ondanks een uitvallende beamer) heel goed. Nu is het tijd om jullie de beloofde roddels uit Oslo te brengen!

Roddel 1: de nieuwe president van de International Mathematical Union.

Een anonieme, maar zeer betrouwbare, bron vertelde ons dat zeer binnenkort László Lovász terugtreedt als president van de International Mathematical Union. Dezelfde bron wist te melden dat Ingrid Daubechies de nieuwe president wordt. Dat jullie het maar vast weten.

Roddel 2: de Fieldsmedailles.
Op 19 augustus worden in India de nieuwe winnaars van de Fieldsmedailles bekend gemaakt. Wij polsten eens wat wiskundigen over wie er zeker zo'n medaille zou winnen. Een Zuid-Amerikaanse wiskundige (die trouwens driemaal vroeg of ik vreemdging en me zijn kamernummer gaf voor het geval ik me zou bedenken, maar dat is een heel ander soort roddel) wist zeer zeker dat Artur Avila er één zou krijgen. Aan de andere kant zat een Britse wiskundige die zei dat er maar één medaille zeker was: die voor Ngô Bao Châu. Later volgden er nog een heleboel namen en geruchten. Terence Tao zou laatst in een brief geschreven hebben dat iemand nog in de running was voor een medaille, terwijl iemand anders zeker wist dat de winnaars al in februari waren gekozen.

In juli zullen de wiskundemeisjes een Fieldsmedailletoto organiseren, waarbij jullie ook allemaal een poging mogen doen om te voorspellen wie zo'n mooie medaille krijgt.

De wiskundemeisjes zijn weer terug op hun respectievelijke hotelkamers na een supermooie avond op kasteel Akershus. We hebben aan tafel heel wat wiskundige roddels opgevangen (daarover later meer, als we iets meer puf hebben om te typen) en we hebben een boel interessante mensen ontmoet. Hierbij de eerste (exclusieve) beelden, met dank aan topfotografe Karen Aardal .

Allereerst speciaal voor Peter: een foto met Andreas Enge. Hij geeft morgen een lezing over toepassingen van John Tates werk. Voor mensen die niet weten wie wie is bij de wiskundemeisjes: je ziet van links naar rechts Jeanine, Andreas en Ionica.

Een groot deel van de Noorse aanwezigen kwam in traditionele klederdracht. Zo ook Tora Aasland, de Noorse minister van Onderwijs en Onderzoek.

En dan...de man die het stralend middelpunt is van alle feestelijkheden: John Tate! Hij was ontzettend vriendelijk en het was heel bijzonder om even met hem te mogen praten. Hopelijk kan ik hem morgen interviewen!