Wiskundemeisjes

Hora - bijna - est

Over een week ben ik hopelijk gepromoveerd! De voorbereidingen zijn bijna klaar (al moet ik nog een jurk kopen). Deze week ben ik door een klein groepje vrienden en collega's aan de tand gevoeld tijdens een oefenverdediging. Ik vond het heel fijn en kan zo'n sessie aan alle promovendi aanbevelen. Het is heel prettig om te merken dat je best goed weet wat er in dat proefschrift staat - en dat je ook bij lastige vragen nog wel een verhaaltje kunt vertellen.

Zoals eerder beloofd hieronder wat meer over de inhoud van mijn proefschrift On continued fraction algorithms. Op mijn site vind je het hele proefschrift en meer informatie over de verdediging op 16 juni. En hier staat een heel leuk interview uit de nieuwsbrief van de Universiteit Leiden: Wiskundemeisjes worden groot.

De samenvatting van mijn proefschrift moet voor leken (met wat goede wil) te begrijpen zijn. Hieronder het begin, je kunt het geheel downloaden: samenvatting (pdf).

Hoeveel decimalen van ken je?
Han, o lief, o zoete hartedief...

Bovenstaande dichtregel is niet alleen een liefdesverklaring, het is ook een ezelsbruggetje om de eerste decimalen van (de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter) te onthouden. Tel maar eens het aantal letters van de woorden. Er zijn veel meer van dit soort ezelsbruggetjes in allerlei talen:

How I wish I could recollect pi easily today ...

Sol y Luna y Cielo proclaman al Divino Autor del Cosmo ...

Wat u door 'n goede ezelsbrug te kennen immer met gemak onthoudt ...

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures ...

Eigenlijk heeft oneindig veel decimalen achter de komma. Wat betekent het als je alleen de eerste vijf decimalen van gebruikt? Je benadert dan met .

Misschien herinner je je een andere benadering van die vaak gebruikt wordt op school: . Deze breuk met een heel kleine noemer (7) benadert de eerste twee decimalen van . Archimedes gebruikte deze benadering al rond 200 voor Christus, maar het kan nog veel beter. Bijvoorbeeld met de breuk . Die is ongeveer gelijk aan en benadert op maar liefst zes decimalen. Deze benadering is zo goed, dat geen enkele breuk met noemer kleiner dan dichter bij ligt. Hulde dus voor de Chinese wiskundige Zu Chongzhi die in 480 (zo'n vier jaar na de val van het Romeinse rijk) met veel moeite deze benadering vond.

Archimedes en Chongzhi vonden hun benaderingen voor door veelhoeken in cirkels te tekenen. Maar je kunt voor elk willekeurig getal goede benaderingen maken met kettingbreuken.

Wat is een kettingbreuk?
Een kettingbreuk is een breuk in een breuk in een breuk, enzovoorts. Zo ziet de kettingbreuk voor er bijvoorbeeld uit:

In de breuk heb je steeds een 1, een deelstreep, een positief geheel getal en dan weer een nieuwe breuk die begint met een 1. Dit soort kettingbreuken noemen we reguliere kettingbreuken. We noteren het getal voor de breuk met , voor geldt dus . De positieve gehele getallen in de breuk noteren we als . In het voorbeeld hierboven geldt en .

Een getal dat geen breuk is, kun je op precies één manier schrijven als een oneindig lange kettingbreuk. Zulke getallen noemen we irrationaal. Kijk eens voor een mooi bewijs dat geen breuk is op Wikipedia...