Wiskundemeisjes

Naar aanleiding van het briljante liedje I'm not the smoothest operator in my class schreef ik samen met Jos Brakenhoff het volgende wiskunde-liefdesversje. Als je zelf ook een wiskundevers of -liedje hebt geschreven, schroom niet en post het in de comments! (Als het te lang is, mag het ook per mail.)

Mensen die bereid zijn om dit versje met ons tot een liedje te maken, of zelf een beter liedje hebben geschreven dat wij mogen meezingen, kunnen zich ook melden!

De verliefde wiskundige

Ik houd van haar karakter,
haar lichaam is perfect,
graag had ik het eens uitgebreid
met zoenen overdekt.

Ze is open en zeer origineel,
haar maat een mooi getal,
ze heeft veel klasse, is discreet
en trouw in elk geval.

We zijn elkaars inverse,
want samen zijn we een.
We hebben parallellen
en raakvlakken gemeen.

Complex was de verhouding wel,
die is nooit echt ontloken:
het meisje bleek imaginair,
mijn ideaal gebroken.

(Jeanine & Jos)

Via Henry Gillow-Wiles kreeg ik een filmpje van vijf jongens die ergens in een gang a-capella een liefdesliedje zingen. Maar wat voor liefdesliedje! Elke zin zit vol met wiskundige begrippen, die ook prima over de liefde kunnen gaan. Mijn favoriet is de titel van deze post. De zingende jongens zijn wiskundige promovendi uit Texas en ze hebben als The Klein Four Group een heel repertoire met dit soort nummers. Download dat filmpje hier zelf.

Hieronder staat ook de hele tekst voor wie niet alles kan verstaan. Zijn er mensen die zoiets in het Nederlands doen? Of willen doen?

Finite simple group of order two

The path of love is never smooth
But mine's continuous for you
You're the upper bound in the chains of my heart
You're my Axiom of Choice, you know it's true

But lately our relation's not so well-defined
And I just can't function without you
I'll prove my proposition and I'm sure you'll find
We're a finite simple group of order two

I'm losing my identity
I'm getting tensor every day
And without loss of generality
I will assume that you feel the same way

Since every time I see you, you just quotient out
The faithful image that I map into
But when we're one-to-one you'll see what I'm about
'Cause we're a finite simple group of order two

Our equivalence was stable,
A principal love bundle sitting deep inside
But then you drove a wedge between our two-forms
Now everything is so complexified

When we first met, we simply connected
My heart was open but too dense
Our system was already directed
To have a finite limit, in some sense

I'm living in the kernel of a rank-one map
From my domain, its image looks so blue,
'Cause all I see are zeroes, it's a cruel trap
But we're a finite simple group of order two

I'm not the smoothest operator in my class,
But we're a mirror pair, me and you,
So let's apply forgetful functors to the past
And be a finite simple group, a finite simple group,
Let's be a finite simple group of order two
(Oughter: "Why not three?")

I've proved my proposition now, as you can see,
So let's both be associative and free
And by corollary, this shows you and I to be
Purely inseparable. Q. E. D.

(Ionica)

Met Guido Schmeits schreef ik deze week voor Kennislink een artikel over de stelling van Desargues. Of eigenlijk schreven we een artikel over Marleen Kooiman, een zeventienjarige scholiere die in haar profielwerkstuk deze stelling generaliseerde. Heel terecht kreeg ze van de UvA een prijs voor het beste werkstuk (hoewel de eerlijkheid me gebiedt toe te geven dat ik de andere genomineerde werkstukken niet heb gezien, maar dit lijkt me lastig te overtreffen.)

Toen ik het eerste bericht over Marleen's werk las, vroeg ik me twee dingen af:

1. Wat is in godsnaam die stelling van Desargues?
2. Waarom mocht ik geen profielwerkstuk maken op de middelbare school? Het moet toch fantastisch zijn om als scholier in een vak te duiken dat je echt leuk vindt, te praten met mensen op de universiteit en als klap op de vuurpijl iets nieuws te verzinnen? Ik moest in mijn eindexamenjaar maandenlang allerlei vreselijke experimenten doen bij scheikunde, plantjes kweken bij biologie en veren ijken bij natuurkunde. Ik had veel liever iets aan wiskunde gedaan. Meestal ben ik niet zo bezig met onderwijs, maar bij deze zeg ik: "Hoera voor het profielwerkstuk!".

Laat ik ook vraag 1. beantwoorden voor de lezers die net als ik geen idee hadden wat de stelling van Desargues eigenlijk is. De tekst hieronder komt letterlijk uit het eerder genoemde Kennislink artikel, dus je kan ook stoppen met lezen en op de link hierboven klikken. Voor wie dat niet doet, de tekst hieronder komt van mijn co-auteur Guido. Eventuele complimentjes zal ik doorsturen naar hem!

Girard Desargues
Girard Desargues (1591 – 1661) was een Franse wiskundige en architect uit Lyon. Nog geen halve eeuw voor zijn geboorte was in Frankrijk de renaissance begonnen. Je hoeft maar aan Leonardo da Vinci te denken om te weten dat wetenschap en kunst goed samengingen in die tijd. Dat gold ook voor Desargues. Hij hield zich bezig met perspectief, iets wat de renaissancekunstenaars steeds beter onder de knie hadden gekregen. In 1648 verscheen zijn beroemde stelling in een boek van zijn vriend Abraham Bosse, een kunstenaar. Deze stelling gaat over driehoeken en perspectief.

De stelling van Desargues
Als een goed wiskundige vereenvoudigde Desargues de perspectiefproblemen van de kunstenaars net zolang, totdat hij alleen de essentie overhield. De kathedraal van Lyon was voor hem hetzelfde als een driehoek in het platte vlak.

Figuur 1.

Behalve een driehoek zie je in figuur 1 ook rechts de waarnemer (de schilder, beeldhouwer, graveur), die vanaf de zijkant naar de platte driehoek ABC kijkt. Vanuit het perspectief van deze waarnemer ligt hoekpunt B boven hoekpunt C, en hoekpunt C boven hoekpunt A. Wat de waarnemer ziet, kan hij op een vel papier vastleggen. De blauwe punten zijn de projecties van de hoekpunten A, B en C op dat vel papier.

Figuur 2.

De groene driehoek abc in figuur 2 levert voor deze waarnemer precies dezelfde projectie op als de rode driehoek ABC. Je zegt dat driehoek ABC en driehoek abc ‘in puntperspectief zijn’ ten opzichte van het punt O, het oog van de waarnemer.

Figuur 3.

Desargues kwam nu op het idee om de zijden van beide driehoeken te verlengen. Vervolgens tekende hij het snijpunt van de verlengde zijden AB en ab, van de verlengde zijden BC en bc, en van de verlengde zijden AC en ac. Desargues beweerde en bewees dat deze snijpunten alle drie op één rechte lijn liggen, de paarse lijn in figuur 3. Het omgekeerde is ook waar: als de snijpunten op één lijn liggen, dan zijn de driehoeken in puntperspectief. En dit is precies de stelling van Desargues. Het bewijs is hier te vinden.

(Ionica)

We kregen wat kritiek op de naam van onze website. Een professor mopperde dat "Wiskundemeisjes" te tuttig was. Een andere wiskundige vond dat we ons hadden moeten profileren als "math babes". Maar Jeanine en ik hebben helemaal geen zin om in een bikini wiskunde te presenteren.

Voor mannen die toch op zoek zijn naar "math babes" biedt de website How To Do Girls soelaas. In twaalf afleveringen Bikini calculus leggen Jaime Lynn en Paige uit hoe je integralen berekent, wat de kettingregel is en nog veel meer. Om dat allemaal nog leuker te maken, doen ze dat in een bikini. Op de website of Google video zijn twee filmpjes te downloaden. Zoeken op "bikini calculus" en genieten maar!

Het onderstaande plaatje laat bijvoorbeeld zien hoe je de oppervlakte onder een grafiek benadert met rechthoeken. Jamie moedigt de kijker aan om steeds kleinere rechthoeken te gebruiken: "You don't want to miss any of this, do you?"

Jamie Lynn is een ingehuurd playboy-model, maar Paige (het linkermeisje op de bovenste foto) lijkt ook echt iets te snappen van wat ze vertelt. Volgens haar biografie heeft ze een master in Nuclear Engineering van het MIT en is ze nu bezig met een PhD in Radiology. Zou ze daar ook college geven? En zoja, hoeveel studenten zouden na afloop verzuchten dat de film toch beter was?

(Ionica)

Gisteren vroeg Sidney in de comments bij de vorige post Het vermoeden van Goldbach (2) of iemand een verklaring had voor de 'banden' in zijn plaatjes.  Luttele uren later kregen we een bericht van wiskundestudent Arjen Stolk. Zijn verhaal was zo interessant dat we dat ook maar weer integraal plaatsen.

"Hoi Sidney en wiskundemeisjes,

Hierbij mijn verklaring voor de dikke lijnen in Sidney's prachtige plaatje bij het vermoeden van Goldbach. Uiteraard een beetje handengewapper, maar ik denk wel dat het idee klopt.

We kijken naar de verdeling van p+q modulo N. De verdeling van de priemgetallen modulo N is redelijk regelmatig: de priemen zijn evenredig verdeeld over de inverteerbare restklassen. De verdeling van de som van twee priemgetallen is echter een stuk minder regelmatig. Het is precies die asymmetrie die zorgt voor de verdikkingen in het plaatje.

Om die verdeling modulo N te bepalen, gebruiken we de Chinese reststelling en het feit dat het modulo priemgetallen niet zo heel moeilijk is. Modulo P is de kansverdeling voor de som van twee priemgetallen als volgt: de restklasse 0 heeft een kans van 1/(P-1); de restklassen 1 t/m P-1 hebben een kans van (P-2)/(P-1)^2.

Ik heb dit met de hand even uitgerekend voor 3, 5 en 7. Samen geeft dit de volgende informatie modulo 105.

Tot zover de harde wiskunde, nu het handenwapperen. Als ik nu zomaar ergens 105 opeenvolgende even getallen pak, liefst een beetje groot. Nu zal het totale aantal sommen van twee priemgetallen dat binnen dit bereik ligt zich ongeveer over deze getallen verdelen conform bovenstaande verdeling.

Dit betekent dat er dus heel veel getallen (48 van de 105) ongeveer 15/2304 van deze sommen krijgen, dus op die hoogte krijgen we een dikke streep. Een ongeveer half zo dikke streep (24 van de 105) vinden we twee keer zo hoog, bij 30/2304 van het totaal.

Het tekenen van een plaatje is een leuke oefening voor de lezer. Ik legde mijn handgetekende plaatje net naast Sidney's grafiek, en de lijntjes komen verdomd
aardig overeen.

Tot slot een vriendelijk verzoek dit soort leuke vragen niet 's avonds te posten, ik lag vanacht dus pas om half twee op bed (maar toen was het probleem wel 'opgelost':)
Groetjes,

Arjen"

Sidney Cadot is geen wiskundemeisje, maar zijn reactie op het Goldbach stuk van afgelopen zaterdag is een eigen post waard. Hij stuurde twee plaatjes die hij lang geleden maakte en schreef:

``Ik was destijds eerstejaars informatica en toen kwam ooit het vermoeden van Goldbach aan de orde. Uiteraard sloeg ik aan het rekenen - wat ik bekeek was het aantal verschillende manieren g(k) waarop een even getal k te schrijven is als som van twee priemgetallen. Het vermoeden is natuurlijk dat g(k) > 0 voor alle k even, k > 2.

Het grappige is dat de grafiek daarvan een nogal bizarre structuur heeft (zie hieronder)."

Sidney gaat verder: ``... Aan de onderste grafiek kun je zien dat het vermoeden wel waar zal zijn, maar dat is zeker niet voldoende voor jullie? ;-) Ik heb geen idee waar de band-structuur in de tweede grafiek vandaan komt (je kunt het ook al zien in de eerste grafiek trouwens). Nogal vreemd, niet dan?"

Degene in die de comments het vermoeden als eerste werkelijk bewijst (en dan dus ook echt voor ALLE even getallen groter dan 2, Sidney) krijgt van mij een Mars.

(Ionica)

Laatst kwam mijn oud-huisgenoot Ernst met een wiskundig probleem. Jaren geleden wilde hij een telefoonbeantwoorder kraken (om nobele redenen natuurlijk). Om het apparaat van een afstand te bedienen moest je een viercijferige code intoetsen. Maar, je hoefde geen enter te geven na die vier cijfers. Dus als de juiste code 1729 was, dan kwam je in het syteem als je 1729 intoetste, maar ook als je 111111729 intoetste of 172717281729 probeerde. Ernst vroeg zich af of er een slimme manier bestaat om alle mogelijke codes achter elkaar te proberen. Hoeveel toetsen moet je indrukken om 0000, 0001, 0002 en zo door tot en met 9999 te proberen? Met domweg alle combinaties achter elkaar proberen heb je 40.000 toetsen nodig. Ernst dacht dat je veel kon winnen door slimme overlappingen te kiezen.

Ik wilde dit leuke probleem zelf oplossen, om aan Ernst te bewijzen hoe nuttig wiskunde is in het dagelijks leven in het algemeen en bij het kraken van telefoonbeantwoorders in het bijzonder. Samen met mijn kamergenoot Sierk begon ik eens met codes van twee cijfers in het binaire stelsel, want we wilden het onszelf niet gelijk té moeilijk maken. In dit geval zijn de mogelijke codes 00, 01, 10, 11. Die kan je in een reeks van vijf cijfers allemaal testen, met 00110 bijvoorbeeld.

Ook voor alles codes van drie cijfers (000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 en 111) kwamen we snel tot een mooie korte reeks:

0001110100.

We zagen wel dat korter niet ging, elk getal (behalve de eindcijfers) wordt in drie codes gebruikt. De vetgedrukte 1 zit bijvoorbeeld in 001, 011 en 111.

Maar toen zaten we vast. Een mooie reeks voor alles codes van vier cijfers was lastiger te vinden. En voor het echte probleem met viercijferige codes bestaande uit 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en 0 zagen we zo snel helemaal geen oplossing.

Zweedse hulptroepen
Het werd toch wel lastig om de vraag van Ernst even snel te beantwoorden - ons eigen onderzoek moest ook doorgaan. Maar hoera voor google! Ik vond de weblog van Stefan Geens. Deze Zweedse journalist stelde precies dezelfde vraag als Ernst. Al ging het bij hem niet om telefoonbeantwoorders, maar om een appartementencomplex in Oslo dat codes in plaats van sleutels gebruikte. Hij stelde zich voor dat je midden in de nacht door de sneeuw naar huis liep en als je dan ein-de-lijk bij je appartement was, je de code niet meer wist. Hoeveel toetsen moet je dan met je verkleumde vingers indrukken om binnen te komen?
Geens werkt op deze pagina prachtig naar het algemene antwoord toe. Hij begint net als wij met simpele reeksen 0-en en 1-en, loopt op een gegeven moment vast, maar komt dan terecht op de juiste wiskundige pagina's en uiteindelijk duikelt hij zelfs allerlei recente publicaties op over dit onderwerp. Het antwoord is dat je om alle combinaties van vier cijfers te proberen je maar 10.003 toetsen hoeft in te drukken. Dat betekent dat je (op de drie begincijfers na) elk getal in deze reeks in vier codes tegelijk probeert. Zo'n reeks heeft een mooie regelmaat, om maar eens een stukje te nemen:

...4639 4739 4839 4939 5439 5539 5639 5739 5839 5939 6439 6539 6639 6739 6839...

Deze reeksen getallen heetten De Bruijn reeksen en er is veel meer over te vertellen. Maar dat doet Geens zo goed, dat ik suggereeer dat je nu snel op bovenstaande link klikt.

(Ionica)

p.s. Toen ik dit probleem een paar dagen later aan mijn promotor vertelde, had hij voor ik klaar was met vertellen al een boek over De Bruijn reeksen uit de kast getrokken.

Danica McKellar speelde vroeger in The Wonder Years. In Nederland hebben we haar daarna niet meer zo vaak gezien, maar in Amerika is ze nog steeds een bekende actrice. Ze speelde bijvoorbeeld in het vierde seizoen van The West Wing. Tussendoor haalde ze even een bachelor wiskunde aan de University of California, Los Angeles (dat was natuurlijk lekker dicht bij Hollywood).

Als studente werkte ze mee aan een artikel over percolatie, wat behoorlijk stoer is voor een lagerejaars. Inmiddels is Danica weer full-time aan het acteren, maar ze blijft wiskunde promoten. Ze beantwoordt vragen van scholieren op Math-a-ton. De vragen die ze beantwoordt zijn niet echt moeilijk:

Mike gave me 1/5 of an orange, then Martha gave me 2/4 of an orange. What percentage of a whole orange do I have now?

Maar Danica legt alles leuk en enthousiast uit. Wat zou het goed zijn als er ook zoiets in Nederland gebeurde! Ik stel voor dat Katja Schuurman een gesubsidieerde studieplek bij wiskunde krijgt, of dat Jeanine een rol in Onderweg naar morgen gaat spelen.
(Ionica)