Wiskundemeisjes

Getallenrijtjes

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Je kent ze vast wel. De getallenrijtjes, een vast onderdeel van iedere IQ-test. Wat is het volgende getal in het rijtje 2, 4, 6, 8? En in het rijtje 1, 3, 6, 10? Dit tweede rijtje komt voor in de thuistest van hoogbegaafdenvereniging Mensa. En de rijtjes kunnen natuurlijk ook nog veel moeilijker zijn.

Een leuk stripje van Savage Chickens

Maar voor wiskundigen die zo’n test doen is er een complicerende factor: ze weten namelijk dat eigenlijk elk antwoord goed is! Hoe zit dat dan? In het rijtje 2, 4, 6, 8, … ligt 10 toch wel erg voor de hand als volgend antwoord! Waarom zou ook een ander getal goed kunnen zijn?

Nou, ik weet nog wel een oplossing: 2, 4, 6, 8, 6, 4, 2 zou ook een logisch vervolg kunnen zijn. Of 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, …: dan kijk je steeds naar het eindcijfer van het getal dat je krijgt door 2 op te tellen bij het vorige getal.

Nou kun je terecht zeggen: dat zijn flauwe voorbeelden. Maar er ligt een fundamenteel probleem aan ten grondslag. Je moet uit een paar getallen een patroon herkennen, en uit dat patroon weer afleiden wat de volgende getallen zijn. Het probleem is dat zo’n patroon nooit eenduidig kan worden vastgelegd door het geven van een eindig rijtje getallen.

Laten we eens naar het rijtje 1, 3, 6, 10 kijken. Het vervolg dat waarschijnlijk bedoeld wordt is: 15, 21, 28, 36. De verschillen tussen de getallen in het rijtje zijn dan 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Maar dat is niet de enige mogelijkheid. Als je in de uitdrukking achtereenvolgens 1, 2, 3 en 4 invult voor x, krijg je ook 1, 3, 6 en 10. Verder gaan door het invullen van 5, 6, 7 en 8 levert op: 1, 3, 6, 10, 12, 6, -17, -69. Dus 12 is net als 15 een goed antwoord. Sterker nog: voor elk getal dat je na 10 zou willen invullen bestaat zo’n formule!

Een andere leuke manier om ditzelfde rijtje af te maken, heeft te maken met het gooien van drie dobbelstenen. Als je met drie dobbelstenen gooit, gooi je altijd minstens drie ogen. Hoeveel manieren zijn er om drie te gooien? Dat lukt alleen door 1 met de eerste, 1 met de tweede en 1 met de derde dobbelsteen te gooien, dus dat geeft één (1) mogelijkheid. Om vier te gooien kun je 1, 1, 2 gooien, of 1, 2, 1, of 2, 1, 1. Dat zijn dus drie (3) mogelijkheden. Om vijf te gooien zijn er, jawel, zes (6) mogelijkheden. En voor zes gooien zijn er tien (10) mogelijkheden. Dus op deze manier krijgen we alweer het rijtje 1, 3, 6, 10, met als logisch vervolg het aantal mogelijkheden om zeven, acht, negen of tien te gooien, en dan ziet het rijtje er zo uit: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27.

Dit alles betekent dat zo’n IQ-test ook verwacht dat je het “eenvoudigste” patroon kunt kiezen als je er meer dan één ziet. En geef toe: kunnen inschatten wat andere mensen verwachten is natuurlijk ook een teken van intelligentie.