Wiskundemeisjes
Internetbureau Rotterdam 
Archief voor oktober 2006
In september schreven we al een stukje over de leuke rekenprijsvraag van Pythagoras over Coster-getallen. Een Coster-getal is een geheel getal dat je met +, -, x en : kunt maken uit zijn eigen cijfers, waarbij elk cijfer precies twee keer wordt gebruikt. In de meer dan vijftig reacties op dat stukje zijn jullie als een dolle aan de slag gegaan om grote Coster-getallen te zoeken en algemene formules te bewijzen. Matthijs Coster (die de Coster-getallen verzon) stuurde ons een overzicht van de stand van zaken. De volgende tekst is van hem afkomstig. We hopen dat in de reacties op dit stukje weer de nodige vragen beantwoord zullen worden!
De speurtocht naar Coster-getallen heeft velen in de greep. Niet alleen scholieren zijn op zoek naar Coster-getallen onder de 200, maar er wordt ook naarstig gezocht naar grotere Coster-getallen. Op 16 januari, daags na de sluitingstermijn van de prijsvraag zal de redactie van het wiskundetijdschrift Pythagoras een lijst van Coster-getallen bekendmaken.
Tot op heden ontving de redactie al diverse inzendingen. De meest gangbare methode was het berekenen van N=2a 3b, waarbij a en b forse getallen zijn. Zo laat Tim op Wiskundemeisjes zien dat 2764 3382 een Coster-getal is. Inmiddels is echter bekend dat het grootste Coster-getal nooit gevonden zal worden, want er zijn oneindig veel Coster-getallen. Neem de rij 45, 4545, 454545, 45454545, .... In hun reacties op de Wiskundemeisjes laten Albert Hendriks en Arjen Stolk zien dat vanaf lengte 32 al deze getallen Coster-getallen zijn. Eerder stuurde David Kloet de rij 55555555, 5555555555555555, ... in, die ook allen Coster-getallen zijn.
Daarmee is een deel van de prijsvraag tot een goed einde gebracht. Maar desondanks kan iedereen nog inzenden en meedingen naar de schoonheidsprijs. Na de sluitingstermijn gaat de jury bekijken wie de meest originele inzending had. Hierbij nog vier interessante problemen om nog over na te denken.
Probleem 1: Probeer het kleinste Coster-getal te vinden groter dan 10n, voor n = 5,6,....
Probleem 2: De bewijzen dat er oneindig veel Coster-getallen bestaan die tot nog toe bij de redactie, zijn gebaseerd op de constructie van een oneindige reeks van Coster-getallen, zoals 55555555, 5555555555555555, ... en 45,4545,454545,45454545,.... Aan een dergelijke reeks gaan we een waarde toekennen, namelijk het aangepaste meetkundige gemiddelde. We nemen het product van de cijfers, als deze cijfers groter of gelijk aan 3 zijn. Elke combinatie van 1 en 2 laten we samen meetellen als een 3. De resterende tweeën tellen als 2. De resterende enen tellen mee als de derdemachtswortel uit 3. De motivatie is dat je probeert om zo groot mogelijke getallen te maken door toepassen van de gebruikelijke bewerkingen. Kleine getallen moet je zoveel mogelijk samenvoegen tot factoren 3. De vraag is nu om voor een reeks van Coster-getallen dit aangepaste meetkundig gemiddelde (zeg maar Coster-waarde) te minimaliseren.
Probleem 3: Onderzoek de binaire Coster-getallen. Tot nog toe vond ik 1,2,3,7,15 en 63. Zijn er meer?
Probleem 4: Nu gaan we kijken naar Coster-getallen in het 3-tallig stelsel. Zijn er oneindig veel Coster-3-getallen? Wat is de kleinst mogelijke Coster-3-waarde?
(Ionica)
ps Deze tekst is een sterk ingekorte versie (met wat minder mooie wiskundige formules), wie de hele tekst van Matthijs Coster wil lezen kan deze pdf-file downloaden. In deze file gaat hij ook dieper in op de gebruikte methodes en zijn ideeën over probleem 3.
Een wiskundige en een techneut zitten naast elkaar bij een voordracht van een natuurkundige. Het onderwerp is Kaluza-Klein-theorie, waarbij natuurkundige processen zich afspelen in negen, twaalf of meer dimensies. De wiskundige geniet zichtbaar van de voordracht, maar de techneut snapt er niets van en kijkt verward om zich heen. Aan het eind van het praatje, zegt de wiskundige tegen hem dat hij het echt een prachtige voordracht vond. De techneut vraagt hem hoe hij dit soort dingen in godsnaam kan begrijpen. De wiskundige antwoordt dat hij in zijn hoofd een plaatje ziet van de processen. "Maar hoe kun je nou een plaatje maken van negen dimensies?", vraagt de techneut. "Nou, dat is heel eenvoudig", antwoordt de wiskundige, "je maakt een plaatje in N dimensies en dan laat je N naar negen gaan..."
Op Learn logic with Beavis and Butthead worden verschillende voorbeelden van klassieke logische fouten geïllustreerd met gesprekken van Beavis en Butthead. Er is maar een nadeel aan deze pagina: hij is veel te kort! Een voorbeeld:
Circular definition: This is where you include the concept you are defining in the definition of that concept.
Butthead: Shut up, bunghole!
Beavis : What's a bunghole?
Butthead: A bunghole is what you are, bunghole!
(Ionica)
Deze maand sprak Roger Penrose in Nijmegen op het IMAPP symposium en de wiskundemeisjes trokken hun stoute schoenen aan en vroegen hem in de lunchpauze wie zijn favoriete nog levende wiskundige is.
Roger Penrose
Roger Penrose werd geboren in 1931 en studeerde in 1955 af als wiskundige. Tijdens zijn studie bedacht hij de pseudoinverse, wat aangeeft dat Penrose al op jonge leeftijd goede ideeën had. Later bewees hij (onder andere) dat zwarte gaten kunnen onstaan bij het uitsterven van grote sterren. Hij werkte daarna veel in de kosmologie, samen met grote namen als Stephen Hawking. Tussendoor ontdekte hij in 1974 de beroemde Penrose tegeling. In latere jaren schreef hij dikke boeken waarin hij de natuurwetten uitlegt, zoals het 1099 pagina's tellende The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe. Penrose won te veel prijzen om op te noemen en werd in 1994 tot ridder geslagen voor zijn bijdragen aan de wetenschap.
Roger Penrose vindt het zo moeilijk om te zeggen wie zijn favoriete levende wiskundige is, dat hij de vraag probeert te ontwijken. Hij zegt dat het lastig is om verschillende mensen te vergelijken, omdat je het werk van mensen die je kent en het werk in je eigen vakgebied meer waardeert. Als hij dan toch één naam moet noemen, dan kiest hij voor Michael Atiyah. Waarom lees je hieronder.
Michael Atiyah
Michael Atiyah werd geboren in Londen in 1929. Zijn vader was Libanees en zijn moeder Schots. Hij groeide op in Cairo, Manchester en Sudan. Hij studeerde wiskunde in Cambridge en werkte later aan de universiteiten van Oxford en Cambridge en in Princeton. Nu is hij met emiritaat en is hij honorary professor aan de universiteit van Edinburgh.
Atiyah werkte aan veel verschillende onderwerpen, die allemaal te maken hebben met de wisselwerking tussen meetkunde, analyse, topologie en algebra. Veel van zijn resultaten worden gebruikt in de theoretische natuurkunde. Ook bracht Atiyah het werk van theoretische fysici onder de aandacht van wiskundigen. Hij was een van de grondleggers van K-theorie. Het beroemdst is hij echter door de Atiyah-Singer indexstelling, die iets vertelt over het aantal oplossingen van elliptische differentiaalvergelijkingen. In 2004 kreeg Atiyah met Isadore Singer de Abelprijs (de Nobelprijs van de wiskunde) voor hun indexstelling. Op de website van de Abelprijs legt John Rognes op een toegankelijke manier uit wat deze indexstelling is, waarom ze belangrijk is en waarvoor ze gebruikt kan worden. Klaas Landsman schreef er dit aardige artikel over in het Nieuw Archief voor Wiskunde. Atiyah heeft naast de Abelprijs nog veel meer prijzen en onderscheidingen gekregen. Hij kreeg bijvoorbeeld in 1966 de Fields Medal, hij werd in 1983 tot ridder geslagen en hij werd in 1992 benoemd tot lid in de Order of Merlin.
Penrose en Atiyah
Penrose kent Atiyah goed en bewondert hem, omdat hij Penrose in de jaren zeventig duidelijk maakte dat er een diep verband bestond tussen een fysisch probleem en theoretische wiskunde. Penrose werkte in die tijd aan twistortheorie, een idee uit de natuurkunde. (Zie deze presentatie hierover van Penrose met mooie tekeningen van zijn hand.) Twistortheorie heeft als uiteindelijke doel een formalisme te vinden dat zowel bij de algemene relativiteitstheorie past als bij de kwantummechanica (want zo'n "beschrijving van alles" bestaat nog niet). Atiyah speelde in de ontwikkeling van zijn ideeën een verhelderende rol: hij bracht Penrose op het spoor van de cohomologie van schoven, een idee uit de algebraïsche meetkunde. Penrose zag in dat een zekere functie die hij nodig had te interpreteren was in de terminologie van de cohomologie van schoven. Zelf schrijft Penrose in zijn stuk On the Origins of Twistor Theory:
The answer had to wait ten years (until the spring of 1976), after 1 had acquired some appropriate re-education from Michael Atiyah! It turned out that f was to be interpreted as a representative cocycle for an element of a holomorphic (first) sheaf cohomology group.
(Ionica & Jeanine)
Eerder lazen jullie in deel (1) en deel (2) hoe Inspecteur Netjes in contact kwam met een wiskundige en de mysterieuze reeks van Diekirch. Hierbij de oplossing, zoals het hoort ondersteboven om niet alles gelijk te verraden voor de lezers die eerst naar de oplossing kijken en dan pas naar de vraag.
(Ionica)
We schreven hier en hier al over Terence Tao, omdat hij dit jaar al een Fields Medal en een MacArthur Fellowship gekregen heeft. Nu is hij weer in de prijzen gevallen: hij kreeg ook de SASTRA Ramanujanprijs! Lees verder over Terence Tao en zijn prijs in het kennislinkartikel van Alex van den Brandhof.
(Jeanine)
Lees eerst deel 1!
We geven morgen om 16 uur het antwoord! Voor wie het eerder wil weten: het boek van Inspecteur Netjes met nog veel meer spannende zaken ligt voor zo'n 5 euro in de stripwinkel...
(Ionica)
Vorige week vrijdag zagen Jeanine en ik op het IMAPP symposium grootheden als Roger Penrose, Gerard 't Hooft en Don Zagier spreken. Het thema van de dag was de vraag: Waar komt het heelal vandaan? We hebben deze dag niet voor jullie als uitje aangekondigd, omdat het congres al weken van te voren volgeboekt was.
Het goede nieuws is, dat je op deze site (bijna) alle presentaties kan downloaden als filmpjes. Dit is een screenshot van de presentatie van Don Zagier.
Don Zagier (voor wie hem niet kent) was een heus wonderkind, dat op zijn 16de afstudeerde aan het MIT en op zijn 25ste al professor werd. Zijn presentatie zat vol grappen, oneliners en mooie wiskunde. Ik heb de film nog niet teruggekeken, maar ik herinner me een mooie uitspraak die bedoeld was voor de natuurkundigen in de zaal:
Maybe you don't like equations. Let me write them really big. Maybe you like big equations better? (Schrijft heel grote tekens op het bord, gevolgd door gelach uit de zaal.) Well, at least everyone likes jokes.
(Ionica)
Morgen promoveert Aline Honingh aan de UvA op een proefschrift dat de wiskundige kanten van toonsystemen bekijkt. Al heel lang is bekend dat je keuzes moet maken bij het stemmen van een instrument: als je op een piano op elke toon reine kwinten en reine octaven wil kunnen spelen, passen de tonen niet precies in elkaar (na een geheel aantal kwinten kom je nooit op een geheel aantal octaven), dus dan heb je oneindig veel toetsen nodig (zie ook wat wikipedia ons vertelt over de Pythagoreïsche komma).
In de loop der tijd zijn verschillende oplossingen bedacht voor dit probleem. Ons gebruikelijke toonsysteem verdeelt een octaaf in 12 gelijk stukken, deze verdeling benadert de meeste intervallen goed. Waarom is dat een goed systeem? Kunnen we een octaaf ook in een ander aantal stukken verdelen en klinkt de muziek met die tonen nog steeds mooi? Uit Honinghs onderzoek blijkt dat de optimale waarden voor dit aantal 12, 15, 19, 27, 31, 34, 41, 46 en 53 zijn. Christiaan Huygens heeft inderdaad een 31-toonsverdeling bedacht! Wie meer wil lezen kan dat doen op kennislink.
(Jeanine)
...want daar liggen twee leuke boeken over wiskunde voor weinig geld!
Voor 4 euro koop je De kortste introductie wiskunde van Timothy Gowers. In 160 bladzijden lees je waarom het moeilijk is om echte problemen met wiskundige modellen te beschrijven, waarom wortel 2 en de gulden snede irrationaal zijn, wat hyperbolische meetkunde is en nog veel meer. Wiskundigen denken misschien dat ze dit boek kunnen overslaan, maar het boek is ook erg leuk als je alle theorie al kent. Jan van de Craats vindt dat iedereen dit boek moet lezen en wie zijn wij om hem tegen te spreken?
Voor nog eens 6,50 ben je de trotse eigenaar van Het magisch labyrint, de wereld bezien door wiskundige ogen van Ian Stewart. Eerlijk gezegd heb ik er zelf nog niet veel in gelezen (ik heb het net gekocht), maar het ziet er erg leuk uit en Ian Stewart is natuurlijk altijd goed! Ik vond bij snel bladeren een leuke puzzel/opgave voor jullie. Het is een bekende wiskundige instinker.
Op dezelfde dag jarig
Probeer op de volgende vraag zo snel mogelijk een antwoord te geven, zonder pen en papier te gebruiken.
Hoeveel mensen moeten er samen in een kamer zijn om de kans dat minstens twee van hen op dezelfde dag jarig zijn groter dan 50 % te maken?
Om jullie op weg te helpen: als er 1 iemand in de kamer is, dan is deze kans 0%. Als er 366 mensen in de kamer zijn, dan is de kans 100% (we nemen de schrikkeldag 29 februari niet mee). Vanaf hoeveel mensen is de kans groter dan 50%?
(Ionica)
