Wiskundemeisjes

Vanaf nu presenteren de wiskundemeisjes elke laatste donderdag van de maand een vast item: de favoriete (nog levende!) wiskundige van... Wij hebben zelf namelijk geen goed overzicht wie de grote wiskundigen van deze tijd zijn. Het leek ons leuk om dat aan verschillende gerespecteerde professoren te vragen. Want we kennen namen als Pythagoras, Fermat, Gauss en Euler wel, maar wie zijn de helden van de 20ste en 21ste eeuw?

Het spits van deze rubriek wordt afgebeten door Manjul Bhargava.

Deze jonge professor aan Princeton heeft het 290 vermoeden bewezen, hierover heeft Jeanine een apart stuk geschreven: De 290 stelling. We vragen aan Manjul Bhargava wie hij de grootste wiskundige van deze tijd vindt. Hij noemt eerst verschillende namen, maar als hij maar één iemand mag noemen, dan kiest hij Abelprijswinnaar Jean-Pierre Serre. "Omdat deze man een levende legende is, wiens werk veel gevolgen heeft en die op zo veel gebieden heeft gewerkt en dat nog steeds doet, al wordt hij dit jaar tachtig."

Wij schreven twee keer anekdotisch over Serre in Wiskundigen zijn als... en Meet & Greet Jean-Pierre Serre. We zullen hier zijn leven en werk niet uitgebreid beschrijven, maar voor wie meer wil weten: de pagina over Serre in de Engelse Wikipedia is een goed beginpunt.

(Ionica)

Sommen van kwadraten

Een bekende stelling uit de getaltheorie vertelt ons dat ieder positief geheel getal te schrijven is als een som van 4 kwadraten. Deze stelling is in 1770 door Lagrange bewezen. Het begin van het lijstje ziet er als volgt uit.

Anders geformuleerd zegt de stelling van Lagrange dat de uitdrukking x² + y² + z² + u² alle positieve gehele getallen als uitkomst kan hebben als je er gehele getallen in invult voor de variabelen x, y, z en u. We zeggen dat de uitdrukking x² + y² + z² + u² alle positieve gehele getallen representeert.Dit is een bijzondere eigenschap van deze uitdrukking, want voor veel andere uitdrukkingen geldt dit niet. Het is bijvoorbeeld duidelijk dat er bij x² altijd een kwadraat uitkomt en dus nooit bijvoorbeeld het getal 3. De uitdrukking x² representeert 3 dus niet.

Een voor de hand liggende vraag is de volgende: zijn er nog meer van dit soort uitdrukkingen die alle positieve gehele getallen representeren en hoe kun je zien of een bepaalde uitdrukking dat doet?

Gehele positief-definiete kwadratische vormen

De 290 stelling geeft een verrassend antwoord op deze vraag: als je van een bepaald soort uitdrukking al weet dat hij een lijstje van 29 getallen representeert, dan weet je meteen dat hij alle positieve gehele getallen representeert! Maar eerst moeten we natuurlijk bedenken wat er in de vraag bedoeld wordt met "dit soort uitdrukkingen". Een mogelijk antwoord is: gehele positief-definiete kwadratische vormen. Dat is een hele mond vol, dus laten we per woord bekijken wat dat nou precies voor vormen zijn.

Voorbeelden van kwadratische vormen zijn:
x² + y²,
x² + y² + z² + u²,
1/2 xz,
x² - 4z² en
x² + y² + z² - 14xz + 5yz.

Een kwadratische vorm is een som van termen die allemaal bestaan uit óf het kwadraat van een variabele, óf het product van twee variabelen, met een getal ervoor. De volgende uitdrukkingen zijn dus géén kwadratische vormen:
x² - 2x,
x² + 4 en
xy - 5xyz.

Merk op dat als je voor alle variabelen die voorkomen 0 invult, dat er dan altijd 0 uitkomt, wat je kwadratische vorm ook is!

Een gehele kwadratische vorm is een kwadratische vorm waarbij de getallen die voor de variabelen staan gehele getallen zijn.

Nu zijn we bij het laatste woord beland: positief-definiet. Een gehele kwadratische vorm noemen we positief-definiet in het volgende geval: als je gehele getallen invult, komt er altijd een getal groter dan 0 uit, behalve als je voor alle variabelen 0 invult, dan komt er 0 uit. De vorm x² + y² is dus inderdaad positief-definiet, want als x of y ongelijk aan 0 is, dan is x² + y² groter dan 0. Zo is het ook makkelijk te zien dat x² + y² + z² + u² positief-definiet is. De vorm x² - 4z² is niet positief-definiet: als je bijvoorbeeld x=1 en z=1 invult komt er -3 uit. Ook x² + y² + z² - 14xz + 5yz is niet positief-definiet, want deze vorm representeert -12 (neem x=1, y=0 en z=1).

De 290 stelling

Nu zijn we ver genoeg om de mededeling die de 290 stelling doet te kunnen begrijpen. Deze stelling werd onlangs bewezen door Manjul Bhargava en Jonathan P. Hanke. Het is een beetje een bizarre stelling, met 29 getallen die volledig uit de lucht lijken te vallen. De 290 stelling luidt als volgt.

Als een gehele positief-definiete kwadratische vorm de getallen 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203 en 290 (vandaar de naam!) allemaal representeert, dan representeert de vorm alle positieve gehele getallen!

De stelling zegt dus iets heel sterks: als je een gehele positief-definiete kwadratische vorm hebt, dan hoef je maar voor een eindig aantal, namelijk 29, getallen te controleren of ze door deze vorm gerepresenteerd worden. Als dat het geval is, dan weet je meteen dat alle positieve gehele getallen er uit kunnen komen! Je hoeft dus niet voor alle getallen na te gaan of ze gerepresenteerd kunnen worden, en dat is maar goed ook, want dan zou je dat voor een oneindig aantal getallen moeten doen...

En er is nog iets leuks aan de hand: Bhargava en Hanke zijn er zelfs in geslaagd om voor elk van deze 29 getallen een gehele positief-definiete kwadratische vorm te vinden die alle positieve gehele getallen representeert, behalve dat ene getal! Dat betekent dat uit dat lijstje van 29 ook echt geen enkel getal meer weg te laten valt.

Hier kun je nog meer lezen over Manjul Bhargava en de 290 stelling (in het Engels).

(Jeanine)

Willem Jan Palenstijn (met het witte petje) wees mij op dit leuke stripje waarin een bekend logica-raadsel op een wel erg originele manier wordt opgelost!

(Jeanine)

Zoals we in mei al aankondigden in Leuke boeken voor wisko's, hebben Jeanine en ik samen een artikel geschreven voor de jubileumuitgave van MaCHazine. Dit blad van de Delftse studievereniging Christiaan Huygens is deze week uitgekomen, dus nu kunnen we de nieuwe lijst leestips hier plaatsen.
Clio Cresswell - Mathematics and sex

De eerste hoofdstukken van dit boek zijn briljant. Ze gaan meer over relaties dan over seks, maar dat mag de pret niet drukken. De verhouding tussen Romeo en Julia wordt gemodelleerd als een partiële differentiaalvergelijking en het vinden van de ideale partner wordt beschreven als een optimaliseringsprobleem. Cresswell geeft tussendoor relatietips waar Dr. Phil een puntje aan kan zuigen. Het laatste deel van het boek is wat minder sterk, maar de sexy foto op de voorkant maakt veel goed.

Daniel Kehlmann - Het meten van de wereld

Deze roman over Gauss en ontdekkingsreiziger Von Humboldt brak vorig jaar alle records in Duitsland. Het meten van de wereld werd zelfs vaker verkocht dan de alomtegenwoordige Dan Brown. Voor wiskundigen is het leuk om te lezen over Gauss. Kehlmann heeft zich een jaar lang verdiept in het werk en de levens van zijn hoofdpersonen en er komt een indrukwekkende hoeveelheid feitjes voorbij. Deze roman is vooral geschikt voor mensen die op feestjes graag opscheppen met nutteloze kennis.

C.P. Snow - The two cultures

The two cultures is een toespraak van C.P. Snow uit 1959. Snow was zowel academisch wiskundige als romanschrijver. In zijn toespraak uitte Snow zijn zorg over het gebrek aan communicatie tussen verschillende vakgebieden (lees: alfa’s en bèta’s). Hij beschrijft welke problemen hierdoor ontstaan bij bijvoorbeeld ontwikkelingshulp. Hij roept beide kampen op om meer met elkaar te praten. Fijn voor ons: hij denkt dat het veel erger is dat alfa’s niet weten wat de wetten van Newton zijn, dan dat bèta’s geen Shakespeare kunnen citeren.

Barry Mazur - Imagining numbers: particularly the square root of minus fifteen

Mazur neemt zijn lezers mee langs de verschillende getallen. Hij begint –natuurlijk- bij de natuurlijke getallen en eindigt bij de complexe getallen. Voor de meeste wiskundigen wordt er weinig nieuws verteld, maar Mazur brengt dingen op een aardige manier. Hij gebruikt veel gedichten en vraagt de lezer om zich allerlei dingen voor te stellen. Ik herinner me ook nog dat hij zich afvroeg waarom in poëzie altijd rode rozen voorkomen en nooit eens gele tulpen. Wat dat met wiskunde te maken heeft kan ik even niet opzoeken, want ik heb mijn exemplaar van Imagining numbers uitgeleend. Tip: Leen dit boek alleen uit aan mensen die al iets van complexe getallen weten óf aan mensen die heel erg van wiskunde houden, want het is voor een leek lastig te lezen.

Tonke Dragt – Aan de andere kant van de deur: Zeeën van tijd

Otto, een slimme jongen die gepest wordt door zijn klasgenoten, ontdekt op een dag dat zich achter de deur van zijn kamer niet altijd de gewone overloop bevindt. Hij komt terecht in de Januaraanse ambassade, een gigantisch, organisch gebouw met een grote bibliotheek, waar zeeën van tijd zijn, waar alle klokken van hun wijzers zijn beroofd en waar de seizoenen elkaar in onvoorspelbare volgordes afwisselen. Bovenal ontmoet hij nieuwe vrienden: Christian het galgekind en Claartje zonder spiegelbeeld. Ook Einstein schijnt er asiel gekregen te hebben, net als Schrödingers kat. Het is een kinderboek, maar een echte aanrader voor bèta’s die wel houden van een fantasierijk verhaal vol mooie beelden. Het enige nadeel is dat het beloofde vervolg nog niet is verschenen, hoewel Tonke Dragt haar fans wel heeft verzekerd dat ze er hard aan werkt.

Philibert Schogt – De wilde getallen

De vijfendertigjarige wiskundige Isaac Swift denkt dat hij een beroemd probleem heeft opgelost. Er is echter een complicatie: meneer Vale, een vreemde student van middelbare leeftijd, beweert dat Swift zijn werk geplagieerd heeft. Bovendien bevindt Swift zich op het randje van overspannenheid. Het boek is een poging tot een wiskundige thriller, waarin de frustraties van een middelmatige wiskundige uitgebreid worden uitgemeten. Best een leuk boek om eens te lezen als je je verveelt op een regenachtige middag, maar de stijl is tamelijk slecht: het leest alsof het slecht vertaald is uit het Engels, terwijl het toch echt in het Nederlands geschreven is.

Georges Perec – Het leven een gebruiksaanwijzing

Perec was een schrijver die erg beïnvloed is door de wiskunde, al was hij zelf geen wiskundige. De werken van Perec zijn vaak gebaseerd op contraintes, beperkingen die hij zichzelf oplegde qua structuur. Hij heeft bijvoorbeeld een heel boek geschreven waar de letter e niet in voorkomt.
Het leven een gebruiksaanwijzing is gebaseerd op de dwarsdoorsnede van een groot appartementencomplex in Parijs. In het boek wordt het gebouw doorlopen door middel van paardensprongen, als op een schaakbord. Aan de hand van de kamer waarin je terechtgekomen bent, wordt bijvoorbeeld verteld wie in die kamer woont, soms krijg je een deel van het levensverhaal van zo’n personage te horen, soms worden vooral de voorwerpen in de kamer beschreven.
Wonderbaarlijk genoeg bleef het verhaal voor mij steeds leuk om te lezen en zijn de mensen stuk voor stuk bijzonder. De levensverhalen van de bewoners hebben vaak overeenkomsten in thematiek: zo’n bewoner had ooit een duidelijk doel in zijn leven, maar door wat voor oorzaak dan ook is het doel niet bereikt en is alle moeite vergeefs geweest. Het allerbijzonderst is de miljonair Bartlebooth, die juist zijn best doet om iets totaal nutteloos te doen met zijn leven en helemaal geen verschil te maken, maar ook dat mislukt.
Ondanks de aanzienlijke dikte heb ik het boek met erg veel plezier gelezen en ik raad iedereen dan ook zeker aan om het ook te proberen!

Bill Bryson - A short history of nearly everything

Er staat niet zo veel wiskunde in dit boek, maar wat is dit goed en geestig geschreven! Bryson schreef eigenlijk reisboeken, maar een paar jaar geleden besloot hij om zich eens in de wetenschap te verdiepen. In A short history of nearly everything beschrijft Bryson inderdaad bijna alles. En niet alleen de ontwikkelingen van de wetenschap, maar ook alle rare misstappen en vreemde hobby’s van de genieën. Ik heb een paar keer hardop gelachen om zinnen als “Almost the only thing constant about the Hubble constant has been the amount of disagreement over what value to give it.”

Gerrit Krol – Het gemillimeterde hoofd

Toen ik dit boek voor het eerst probeerde te lezen vond ik het pretentieus en de schrijver arrogant, maar nu ik het opnieuw probeerde bleek het wel een aangenaam boekje te zijn. Het is een samenraapsel van dagboekfragmenten, jeugdherinneringen, mijmeringen over meisjes, stukjes over gelezen literatuur (“van de boekenplank”), wiskundige en filosofisch getinte observaties. Van die laatste kreeg ik soms de kriebels, maar andere stukjes zijn goed of vermakelijk. Leuk voor wiskundigen en informatici zijn de fragmenten waarin de hoofdpersoon over zijn werk praat: hij voert berekeningen uit op de computers van de jaren zestig. Het boek is opgezet als een proefschrift, met een korte Engelse samenvatting en een index. Als je in die index “computer” opzoekt, word je doorverwezen naar “machine”!

Edwin A. Abbott – Flatland: A Romance of Many Dimensions

De verteller van het verhaal, A. Square, is een vierkant dat in Flatland leeft. Flatland is een vlakke wereld, een plat vlak, en de mensen kennen dus maar twee dimensies. De inwoners van het mannelijk geslacht zijn vlakke figuren, variërend van de scherpe, gelijkbenige driehoeken die tot de laagste klasse behoren, tot veelhoeken en cirkels. De cirkels vormen de hoogste klasse, want zij hebben zoveel hoeken dat je ze niet meer ziet.
De houding tegenover vrouwen wordt er bepaald door het feit dat vrouwen lijnstukken zijn. Dat levert namelijk een groot probleem op: een lijnstuk kan zichzelf bijna onzichtbaar maken, want als een vrouw zo draait dat ze in jouw kijkrichting staat, zie je alleen een punt. En als je door de scherphoekige soldaten al goed verwond kan worden, kun je je wel voorstellen wat een botsing met een vrouw zou veroorzaken.
A. Square kan ons dit verhaal vertellen omdat hij in Spaceland is geweest. Hij kreeg namelijk bezoek van een bol (stel je voor hoe een bol er uitziet in het vlak van Flatland: een cirkel die continu van grootte verandert!) die hem in de derde dimensie geïntroduceerd heeft. Maar iemand die het bestaan van een “omhoog dat geen Noorden is” verkondigt in Flatland is zijn leven niet zeker…
Deze klassieker is bijzonder grappig om te lezen vanuit wiskundig oogpunt, en tegelijkertijd is het een satire op de negentiende-eeuwse maatschappij.

Klaas Landsman - Requiem voor Newton

Een jonge postdoc in Cambridge verdiept zich in de geschiedenis van de natuurkunde en in een aantrekkelijke studente van Stephen Hawking. Mathematisch fysicus Klaas Landsman gebruikt het flinterdunne liefdesverhaal om lekker veel over natuurkunde te vertellen. De personages praten namelijk de hele dag over fotonen, kwantumfysica of relativiteit. Ze stellen elkaar doorlopend vragen als: "Begrijp jij hoe Newton tot zijn absolute ruimte kwam?", waarop de ander dan een klein mini-college geeft. Dit boek kun je daarom beter niet als een roman proberen te lezen, de 500 voetnoten maken het lezen ook niet makkelijker. Maar je leert van dit boek een heleboel over natuurkunde en de volgende keer dat iemand jou in bed vraagt "Hoe zit het nu met die absolute ruimte bij Newton?", dan weet jij ook wat je moet zeggen.

(Ionica & Jeanine)

Christophe Ritzenthaler vertelde mij over leuke Franse strips van Jean-Pierre Petit. In deze strips maakt de held Archibald Higgins allerlei rare avonturen mee, waarin hij bovendien een boel te weten komt over wiskunde, computers of natuurkunde. Al deze strips zijn gratis te downloaden en ze mogen ook vrij vertaald worden. Veel strips zijn in het Engels vertaald, maar de strips over wiskunde zijn er nog niet in het Nederlands.

In een van de albums over wiskunde, Here's Looking at Euclid, komt Archibald Higgins in de problemen als hij de hoeken van een driehoek opmeet: de som is groter dan 180 graden! En dat is heel iets anders dan wat de alom geroemde firma Euclid & Co. hem altijd heeft verteld. Hij belt de firma op.

Ben je benieuwd hoe het verder gaat? Hier kun je het hele album downloaden. Het andere album over wiskunde, Topo the World, is hier te vinden. En alle albums kun je bekijken via deze site. Veel plezier!

(Jeanine)

Afgelopen donderdag stond er in Delta (universiteitskrant van de TU Delft) alweer een leuke column van wiskundige Robbert Fokkink. Ik citeer even een stukje:

Ooit zat ik in de auto met Togo Nishiura, een wiskundige uit Detroit. Wij vonden elkaar in een klaagzang op de belabberde wiskundekennis van de studenten van tegenwoordig. Togo's vrouw Elly zat zwijgzaam achter in de auto. Na een tijdje werd ze het zat. "Boys, according to you, which country has the best mathematicians?" Daar hoefden wij niet lang over na te denken: de Sovjet-Unie natuurlijk. In het krakerige accent van het Midden-Westen klonk het vervolgens vanaf de achterbank: "So boys, tell me, how is that country doing, economically?" Wij hielden ons stil. "My point exactly", besloot Elly, ze kruiste haar armen en staarde naar buiten. Wij hebben die autorit verder niet veel gezegd.

Eens per maand staat er zo'n column van Fokkink achterop Delta en bijna altijd vind ik die erg grappig. Erg objectief ben ik niet, want toen ik voor Delta werkte heb ik ongeveer eens per week gevraagd of deze man geen eigen column kon krijgen. Ik moest namelijk altijd erg hard lachen om de grappen van Robbert Fokkink. De vaste redactie was eerst niet zo enthousiast over het idee (straks staat er elke keer iets over wiskunde, brrr), maar na een jaar van mijn gezeur verzuchtten ze dat die wiskundige dan maar eens een proefstukje moest inleveren. Zo kwam alles goed en nu kan ik (en de andere Fokkink-fans) elke maand lachen om nieuwe grappen van Robbert Fokkink.

Hij schrijft vaak (maar niet altijd) over wiskunde. Hier is nog een quote:

In de Verenigde Staten zat ik in het vliegtuig naast een vriendelijke jongeman, die er achter kwam dat ik een wiskundige ben. "A math professor, that is sooo cool", jubelde hij. Dit was de eerste en ongetwijfeld meteen ook de laatste keer dat mijn professie zo uitbundig werd begroet. Het moest ook wel gebeuren in de Verenigde Staten, want daar wonen heel veel van die hinderlijk positieve Ratelbanden.

De rest van zijn columns is te vinden in het archief van Delta, onder lifestyle. Mijn favoriet gaat over negatieve getallen, laatst zag ik dat iemand hem in de gang bij informatica had opgehangen. Lees zelf waarom: Negatieve getallen.

(Ionica)

Ik kocht vanmiddag een fijn Moleskine notitieboekje en kreeg daarbij een kaart met een mooie quote van Picasso. Nou weet ik natuurlijk best dat hij deze uitspraak geenszins wiskundig bedoelt, maar toch verdient hij wel een plaatsje bij de wiskundemeisjes:

There's nothing more difficult than a line.

(Jeanine)

Gisteren heb ik de hele dag geknutseld bij Atelier van Dommelen. Mijn oma is dit jaar tachtig geworden en ik wilde graag zelf iets voor haar maken. Alleen was het een klein probleem dat ik nogal onhandig ben en dat mijn knutselprojecten door familieleden meestal achter kasten of op donkere zolders worden gehangen.

Maar bij beeldend kunstenares Liset van Dommelen kon ik een konijn beschilderen. Zij deed alle moeilijke dingen (zagen, schuren, heel kleine hoekjes) en ik hoefde alleen maar te bedenken wat ik erop wilde hebben. Na het vak Tilings and dynamical systems en alle Iran-verhalen van Jeanine over mooie tegelingen, was er maar een conclusie mogelijk: ik ging een Penrose-konijn voor mijn oma maken. Zo ziet een (stukje van een) Penrose tegeling eruit:

Na een paar uur knippen van vormpjes, voorzichtig met potlood voortekenen en daarna met een heel klein kwastje schilderen was dit het resultaat:

Zoals jullie zien, zijn de tegels niet helemaal netjes en heb ik soms een beetje gesmokkeld. Maar dat is natuurlijk artistiek. Wie denkt dat hij beter kan, mag zelf bij Van Dommelen een eigen konijn gaan maken!

(Ionica)

ps Als een van jullie mijn oma kent, niks zeggen hoor! Ze krijgt haar kadootje pas over een maand...

Leo Beenhakker bevestigt in een interview met Graphic Ghana wat de wiskundemeisjes al langer vermoedden: voetbal is geen wiskunde.

...But football is not played on paper, it is played on a pitch. This game is not mathematics and in football two plus two very rarely equals four — it’s usually three or five...

(Ionica)

Aanstaande maandag is er al weer iets leuks te doen in Leiden! Wiskundecluster Diamant organiseert een workshop over cryptografie: Diamant and security. Dit is het programma:

13:00 Opening
13:10 Pim Tuyls (Philips Research) Mathematics of Secure Key Extraction from Noisy Data
14:10 Tea break
14:30 Eric Verheul (PricewaterhouseCoopers & University Nijmegen) Mathematics of Secure Passwords
15:30 Tea Break
16:00 Paul Bakker (Fox-IT) Mathematics and Protecting Secrets in the Real World
17:00 Reception

De middag is bedoeld om academici en mensen uit het bedrijfsleven bij elkaar te brengen. Met de sprekers is dat zo te zien al gelukt. Volgens mij wordt het een leuke middag en iedereen die geïnteresseerd is in cryptografie is van harte uitgenodigd!
(Ionica)