Wiskundemeisjes

Morgen promoveert Aline Honingh aan de UvA op een proefschrift dat de wiskundige kanten van toonsystemen bekijkt. Al heel lang is bekend dat je keuzes moet maken bij het stemmen van een instrument: als je op een piano op elke toon reine kwinten en reine octaven wil kunnen spelen, passen de tonen niet precies in elkaar (na een geheel aantal kwinten kom je nooit op een geheel aantal octaven), dus dan heb je oneindig veel toetsen nodig (zie ook wat wikipedia ons vertelt over de Pythagoreïsche komma).

In de loop der tijd zijn verschillende oplossingen bedacht voor dit probleem. Ons gebruikelijke toonsysteem verdeelt een octaaf in 12 gelijk stukken, deze verdeling benadert de meeste intervallen goed. Waarom is dat een goed systeem? Kunnen we een octaaf ook in een ander aantal stukken verdelen en klinkt de muziek met die tonen nog steeds mooi? Uit Honinghs onderzoek blijkt dat de optimale waarden voor dit aantal 12, 15, 19, 27, 31, 34, 41, 46 en 53 zijn. Christiaan Huygens heeft inderdaad een 31-toonsverdeling bedacht! Wie meer wil lezen kan dat doen op kennislink.

(Jeanine)

...want daar liggen twee leuke boeken over wiskunde voor weinig geld!

Voor 4 euro koop je De kortste introductie wiskunde van Timothy Gowers. In 160 bladzijden lees je waarom het moeilijk is om echte problemen met wiskundige modellen te beschrijven, waarom wortel 2 en de gulden snede irrationaal zijn, wat hyperbolische meetkunde is en nog veel meer. Wiskundigen denken misschien dat ze dit boek kunnen overslaan, maar het boek is ook erg leuk als je alle theorie al kent. Jan van de Craats vindt dat iedereen dit boek moet lezen en wie zijn wij om hem tegen te spreken?

Voor nog eens 6,50 ben je de trotse eigenaar van Het magisch labyrint, de wereld bezien door wiskundige ogen van Ian Stewart. Eerlijk gezegd heb ik er zelf nog niet veel in gelezen (ik heb het net gekocht), maar het ziet er erg leuk uit en Ian Stewart is natuurlijk altijd goed! Ik vond bij snel bladeren een leuke puzzel/opgave voor jullie. Het is een bekende wiskundige instinker.

Op dezelfde dag jarig

Probeer op de volgende vraag zo snel mogelijk een antwoord te geven, zonder pen en papier te gebruiken.

Hoeveel mensen moeten er samen in een kamer zijn om de kans dat minstens twee van hen op dezelfde dag jarig zijn groter dan 50 % te maken?

Om jullie op weg te helpen: als er 1 iemand in de kamer is, dan is deze kans 0%. Als er 366 mensen in de kamer zijn, dan is de kans 100% (we nemen de schrikkeldag 29 februari niet mee). Vanaf hoeveel mensen is de kans groter dan 50%?

(Ionica)

Hierbij twee filmpjes, die stiekem niet heel wiskundig zijn, maar wel heel grappig! Vaste lezer Michiel stuurde ons de volgende tip: de clip White & Nerdy van Weird Al Yankovic met mooie zinnen als MC Escher that's my favorite MC.

Zelf was ik laatst oude filmpjes van Stephen Fry en Hugh Laurie aan het kijken, toen ik deze "blooper" tegenkwam...

(Ionica)

Van 18 t/m 25 oktober is het WetenWeek. In heel Nederland openen allerlei wetenschappelijke instellingen hun deuren, zodat iedereen kennis kan maken met wetenschap en techniek.

Ook de universiteit Leiden organiseert een boel leuke dingen op de Wetenschapsdag op zondag 22 oktober. Je kunt lezingen bezoeken, deelnemen aan grote experimenten en je kunt je onderzoekershart ophalen op de wetenschapsmarkt van de faculteit Wiskunde en Natuurwetenschappen, van 12 tot 17 uur in de Gorlaeus Laboratoria. Daar kun je bijvoorbeeld een logisch labyrint vinden, je kunt meedoen aan de Möbiusworkshop en je vindt er stands met puzzels van stichting Vierkant voor wiskunde en tijdschrift Pythagoras.

(Jeanine)

Omdat er geen Nobelprijs is voor wiskunde, worden allerlei andere prijzen als de Fields medaille of Abelprijs "de Nobelprijs van de wiskunde" genoemd. Gelukkig is er wel een Ig Nobel prijs voor wiskunde. Elk jaar worden deze prijzen uitgereikt aan wetenschappers die onderzoek doen waar je eerst om moet lachen, maar waar je later over gaat nadenken. Kijk op de website Improbable Research voor talloze amusante voorbeelden.

De Ig Nobel prijs voor wiskunde ging dit jaar naar Dr Piers Barnes en Nic Svenson voor het beantwoorden van de vraag:

Hoeveel foto's moet je nemen van een groep om er behoorlijk zeker van te zijn dat niemand op de foto zijn ogen dicht heeft?

Dit is een bekend probleem, dat de wiskundemeisjes niet zullen illustreren met een foto van zichzelf, maar met een gezellige galafoto van vier mensen die wij niet kennen.

Laten we de bovenstaande vraag eens iets wiskundiger formuleren:

Hoeveel foto's maken moet je maken van een groep van n mensen om 99 % kans te hebben op een foto waarop niemand zijn ogen dicht heeft?

Gemiddeld knippert iemand die op de foto gezet wordt tien keer per minuut met zijn ogen. Elke knippering duurt zo'n 250 milliseconden. Een camera heeft bij goed licht ongeveer 8 milliseconden nodig om de foto te belichten. Barnes maakte verder de aannames dat knipperingen onafhankelijk van elkaar zijn (als jij met je ogen knippert, dan heeft dat geen invloed op de persoon naast je) en dat ze willekeurig in tijd optreden (niemand knippert precies om de zes seconden met zijn ogen).

Noem nu x de verwachting van het aantal knipperingen per seconde per persoon en t de tijd dat de camera open is (en de foto verpest kan worden). De kans dat iemand de foto verpest door met zijn ogen te knipperen is dan xt. Hierbij gebruiken we trouwens dat de verwachte tijd tussen twee knipperingen langer is dan de tijd die nodig is om een goede foto te maken.

De kans dat iemand NIET met zijn ogen knippert als de foto wordt genomen is dus 1 - xt. Voor twee personen is de kans (1 - xt) x (1 - xt) en voor n personen (1 - xt)ⁿ. Voor een groep van n personen is de kans op een goede foto dus (1 - xt)ⁿ. Barnes berekende hiermee hoeveel foto's je moet maken om 99% kans te hebben dat er een goede tussen zit, zie de onderstaande grafiek.

Zoals je kan zien heeft Barnes ook nog onderscheid gemaakt tussen goed en slecht licht. Bij slecht licht heb je voor een groep van 30 mensen zo'n 30 foto's nodig. Als je een goede foto wilt maken van 50 mensen, dan is dat zelfs bij goed licht tamelijk hopeloos.

Barnes maakt het niet-wiskundigen nog makkelijker door een vuistregel te geven voor groepen kleiner dan 20 mensen: Deel het aantal mensen door drie bij goed licht en door twee bij slecht licht om te vinden hoeveel foto's je moet maken.

(Ionica)

Het Pythagorasjournaal vertelde ons dat het boek Flatland - A romance of many dimensions van Abbott (waarover wij hier ook schreven) verfilmd wordt. De animatiefilm zal een half uur duren en bevat actie, drama en meetkundefeiten, wat wil een mens nog meer! Aan het eind van dit jaar zal de film af zijn. Alle informatie die tot nu toe bekend is, inclusief de trailer, is te vinden op www.flatlandthemovie.com.

(Jeanine)

Dit mooie plaatje is gemaakt door Richard Palais.

Palais won dit jaar de Science and Engineering Visualization Challenge die het bekende blad Science had georganiseerd. Zijn programma 3D-XplorMath is speciaal ontwikkeld om wiskunde te visualiseren. Als je zelf zulke plaatjes wil maken, dan kun je het programma hier downloaden. Je moet wel een Apple hebben, want het programma is alleen geschikt voor Mac OS X. De wiskundemeisjes hebben het al op hun iBooks staan!

Nog meer mooie plaatjes

Frank Redig tipte ons over een ander soort mooie plaatjes. Op de website van Vincent Beffara staan verschillende mooie illustraties van random krommen die heel populair geworden zijn na de uitreiking van de Fields medaille aan Wendelin Werner in augustus. Hieronder zie je van links naar rechts Diffusion Limited Aggregation, Site-Percolation en Ising Configuration. Als je meer wilt weten over de wiskunde achter deze plaatjes, klik dan op de namen.

(Ionica)

Gisteren verbrak de Japanner Akira Haraguchi zijn eigen wereldrecord door pi tot op 100.000 decimalen uit zijn hoofd op te zeggen. De wiskundemeisjes feliciteren hem van harte. Dit is gelijk een mooie aanleiding om een liedje over pi te posten dat Arjen ons stuurde. Antoni Chan en Ken Ferrier maakten samen een parodie op de klassieker American pie. Luister naar hun Mathematical Pi. We zullen nog een keer een apart stukje schrijven over andere liedjes waar pi in voorkomt. Om de titel waar te maken: kijk eens op de website met de mooiste url ter wereld: http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com.

(Ionica)

Vandaag promoveert Merlijn Sevenster aan de UvA. Zijn onderzoek gaat over spelletjes en puzzels: kun je de moeilijkheidsgraad van een spelletje of puzzel meten? Kun je de moeilijkheid van twee verschillende soorten spelletjes vergelijken? Zijn puzzels als sudoku of Zeeslag moeilijker dan spellen voor twee spelers zoals schaken en Stratego?

Sevenster maakt onderscheid tussen spellen of puzzels met volledige informatie en met onvolledige informatie. Een spel of puzzel heeft onvolledige informatie als de speler op een bepaald moment niet van de gehele situatie op de hoogte is: hij weet niet alles dat nuttig is om te weten om een strategie te bepalen. Zeeslag, Mastermind, kwartetten en Memory zijn bijvoorbeeld spellen met onvolledige informatie, terwijl bijvoorbeeld schaken en sudoku's volledige informatie hebben. Zijn spellen met onvolledige informatie moeilijker dan spellen met volledige informatie?
Sevenster gebruikt technieken uit de theoretische informatica om te bepalen wat de moeilijkheid van een spel is. De moeilijkheid is de complexiteit van het beste computerprogramma dat een "pad naar succes" vindt, dus bij een sudoku moet zo'n programma de oplossing vinden, bij een spel een winnende strategie (een strategie die er altijd voor zorgt dat jij wint, ook als de tegenspeler steeds de slimste zet doet).

Als spellen op deze manier met elkaar vergeleken worden, blijken sudoku en Zeeslag even moeilijk te zijn. Ook heeft Sevenster laten zien dat de onvolledige informatie bij het spel Scotland Yard dat spel niet moeilijker maakt dan de meeste spellen voor twee spelers met volledige informatie.

(Jeanine)

Wiskundigen geven vaak gewone woorden een heel andere betekenis. In het geval van kussen lijkt die betekenis echter wel een klein beetje op de normale betekenis van het woord. (En om de reacties voor te zijn: ja, de etymologie van deze term ligt in het biljarten, waar "kiss" ook een gebruikelijke term schijnt te zijn.)

Het kusgetal is het aantal eenheidsbollen (dat zijn bollen met straal 1) die een eenheidsbol die het midden ligt tegelijk kunnen aanraken, zonder te overlappen. In dimensie 2 zijn bollen cirkels, en dan is het kusgetal 6, zoals je kunt zien in het volgende plaatje.

In drie dimensies is het niet zo gemakkelijk het kusgetal te bepalen. In 1694 leidde deze vraag tot een discussie tussen Isaac Newton en David Gregory: Newton dacht dat het 12 was en hij wist een manier om 12 bollen rond een centrale bol te rangschikken, maar Gregory dacht dat het met 13 ook zou kunnen. Newton bleek uiteindelijk gelijk te hebben. Het duurde tot de negentiende eeuw voor sommige wiskundigen een bewijs vonden, maar het eerste gedetailleerde bewijs is van Schütte en Van der Waerden uit 1953. Het elementairste bewijs dat er is, is echter niet heel makkelijk. Dat komt vooral doordat er oneindig veel verschillende manieren zijn om 12 bollen op een dergelijk manier rond een centrale bol te rangschikken. De buitenste 12 bollen raken elkaar niet allemaal precies, en ze kunnen dus allemaal een beetje vrij verschuiven, terwijl ze de bol in het midden blijven raken.

Het begrip kusgetal bestaat ook in hogere dimensies, maar het is nog maar voor weinig dimensies bekend. In dimensies 8 en 24 weten we het kusgetal wel: het is 240 in dimensie 8 en 196560 in dimensie 24. In feite is het bepalen van deze twee getallen makkelijker dan het bepalen van het kusgetal in dimensie 3, omdat in dimensies 8 en 24 de rangschikking van de bollen om de middelste bol uniek is, er is maar één manier om ze te laten raken aan de middelste bol (hierbij noemen we twee configuraties hetzelfde als ze in elkaar kunnen worden overgevoerd door draaien of spiegelen). Pas in 2003 werd het kusgetal in dimensie 4 bepaald door Musin, het is 24.

In andere dimensies dan 2, 3, 4, 8 en 24 weten we het kusgetal nog niet. Wel zijn er bovengrenzen bepaald: getallen waarvan we weten dat het kusgetal voor die bepaalde dimensie eronder ligt. Delsarte vond in 1970 een manier om dat te doen.

Maar nu hebben twee onderzoekers een manier gevonden die betere bovengrenzen geeft dan de methode die er al was! Frank Vallentin (van het CWI in Amsterdam) en Christine Bachoc (van de Université Bordeaux) hebben de kusgetallen voor dimensies 2, 3, 4, 8 en 24 opnieuw gevonden. Voor dimensie 5 hebben ze de bovengrens van 45 naar 44 teruggebracht, terwijl bijvoorbeeld in dimensie 10 de bovengrens met wel 27 bollen teruggebracht is. Ze hebben resultaten gebruikt van Spinozaprijswinnaar Lex Schrijver, die ook op het CWI werkt.

Zie ook het persbericht van het CWI en het artikel op kennislink. Voor de wiskundigen onder jullie: een beetje meer informatie en vooral literatuurverwijzingen naar de oudere bewijzen over dit onderwerp kun je vinden in het boek Sphere Packings, Lattices and Groups van Conway en Sloane.

(Jeanine)