Wiskundemeisjes

Enige tijd geleden kondigden we de prijsvraag van Ars et Mathesis aan: maak een anamorfose. Een anamorfose is een vervormde afbeelding die er slechts vanuit één punt gezien realistisch uitziet.

Nico Laan heeft de prijsvraag gewonnen met zijn heel mooie en knap gemaakte Poort naar de zee:

De jury schrijft: "Nico Laan heeft met zijn inzending de jury op een aantal punten verrast: De locatiekeuze voor zijn anamorfose en daarmee samenhangend de materiaalkeuze. De anamorfose is op het strand gemaakt. Nico tekent niet met kleur, maar met reliëf. Zijn lijnen zijn gevormd door een in het strand gegraven geul en vlak daarnaast een dijkje gevormd door het zojuist uit de geul vrijgekomen zand, en verder door het effect van licht en schaduw. Ook de schaal van de anamorfose is een verrassing. Nico gebruikt voor zijn "Poort naar de zee" ongeveer een half voetbalveld. Bij deze afmetingen is ook de benodigde ooghoogte niet van een menselijke maat. Nico gebruikt een birds-eye-view op 18,5 meter. Ook hoe hij de foto van de anamorfose maakte is een verrassing: Niet vanaf een duintop. Nee, zijn camera wordt opgelaten aan een vlieger en wordt in positie gehouden door een speciale ophangconstructie. Hij bereidde zijn object gedegen voor. Als een landmeter berekende hij de exacte plaats voor zijn lijnen. Het beoogde beeld en het gerealiseerde beeld is perfect. Een klein stipje op het strand blijkt in werkelijkheid een paard met koets. Hiermee wordt meteen duidelijk dat de omvang van de anamorfose bijzonder groot is. De gemaakte foto is “een plaatje”: De anamorfose harmonieert volstrekt met de omgeving van strand, zee en lucht."

De tweede prijs ging naar een groep van vier studenten van wiskundeopleiding van de HAN in Arnhem en de derde prijs is gewonnen door de Belgische student Matthew May. Helaas zijn hun inzendingen niet te vinden op de site van Ars et Mathesis.

Hans de Rijk, alias Bruno Ernst, bekend en gelauwerd popularisator van de wetenschap, oprichter van Pythagoras en een van de initiatiefnemers van de stichting Ars et Mathesis is weer in het zonnetje gezet. Tijdens de viering van het 25-jarig bestaan van Ars et Mathesis afgelopen zaterdag werd Hans de Rijk geridderd door burgemeester Aleid Wolfsen van Utrecht. Van harte gefeliciteerd!

Vanmiddag zijn op de TU/e in Eindhoven de prijswinnaars van de Nederlandse Wiskunde Olympiade bekendgemaakt! Voor de derde keer op rij heeft Wouter Berkelmans uit Amstelveen de eerste prijs (500 euro) in de wacht gesleept. Hij behaalde het maximale aantal punten. De tweede (400 euro) en derde prijs (300 euro) zijn gewonnen door Maarten Roelofsma uit Apeldoorn en Jelle van den Hooff uit Amstelveen. Opmerkelijk is dat een derdeklasser doorgedrongen is tot de prijswinnaars: Guus Berkelmans (de broer van Wouter) behaalde de tiende plaats.

Wouter Berkelmans

De eerste ronde werd in januari georganiseerd op ruim 200 middelbare scholen in het hele land. De beste 130 deelnemers werden uitgenodigd om mee te doen aan de tweede ronde, in september. Uiteindelijk deden 123 leerlingen mee en vandaag werd de ranglijst dus bekendgemaakt!

Dertig deelnemers van de tweede ronde zijn nu uitgenodigd om mee te doen aan een intensief trainingsprogramma voor de Internationale Wiskunde Olympiade in Duitsland van 13 tot 22 juli 2009. Uiteindelijk zullen hieruit zes leerlingen geselecteerd worden voor het team dat ons land daar vertegenwoordigt.

De top 10 van de Nederlandse Wiskunde Olympiade 2008 ziet er zo uit:
1. Wouter Berkelmans (17, Barlaeus Gymnasium, Amsterdam)
2. Maarten Roelofsma (17, Gymnasium Apeldoorn)
3. Jelle van den Hooff (17, Vossius Gymnasium, Amsterdam)
4. Raymond van Bommel (17, College Hageveld, Heemstede)
5. Harm Campmans (16, SG De Grundel, Hengelo)
5. Wadim Sharshov (17, Stedelijk Gymnasium Leiden)
7. Tim den Dulk (18, Montessori Lyceum Herman Jordan, Zeist)
8. Vlad Sandu Dragu (17, Fioretti College, Lisse)
9. Leendert Los (17, Gomarus College, Groningen)
10. Guus Berkelmans (14, Barlaeus Gymnasium, Amsterdam)

Van harte gefeliciteerd allemaal, en succes bij de training!

Komende dinsdag komt bètaminnend Nederland bij elkaar op Vliegende Hollanders 2008, Science & Technology Summit in Amsterdam. Er komen allerlei grote namen spreken: minister Plasterk, Robbert Dijkgraaf en Prins Johan Friso bijvoorbeeld. Wij zijn er de hele dag bij! Je kunt je nog steeds (gratis) aanmelden.

Alleen de onderstaande lezing van de onvolprezen Hendrik Lenstra maakt het volgens mij al de moeite waard.

Wat kost een priemgetal?

Een priemgetal is een getal groter dan 1 dat geen factoren behalve 1 en zichzelf heeft. Priemgetallen spelen al duizenden jaren een belangrijke rol in de zuivere wiskunde, maar sinds enkele tientallen jaren zijn priemgetallen van zo tussen de 50 en 500 cijfers ook commercieel interessant.

Men kan zich de vraag stellen wat een redelijke prijs is die men voor een priemgetal van een gegeven aantal cijfers zou moeten betalen. Is deze prijs, in eerste benadering, evenredig met dat aantal cijfers, of juist met het priemgetal zelf?

Met andere woorden, zou men voor een priemgetal van 105 cijfers ongeveer 5% meer moeten betalen dan voor een priemgetal van 100 cijfers, of juist 100000 keer zoveel?

Onderstaand artikel staat vandaag in Technisch Weekblad. Het is mijn reportage over het bezoek aan Princeton en de ontmoeting met Nash en Maskin. Een langer artikel over Nash volgt zodra het gepubliceerd is...

Negen getalenteerde scholieren wonnen een reis naar New York. Op 18 oktober hadden zij een ontmoeting met twee Nobelprijswinnaars in Princeton.

De scholieren wonnen op 19 september het Nijmeegse Wiskundetoernooi, een jaarlijkse wedstrijd tussen ongeveer honderd teams met elk vier of vijf leerlingen uit de bovenbouw van het vwo. Dion Coumans en Mirte Dekkers, promovendus respectievelijk student bij wiskunde in Nijmegen, organiseerden dit jaar het toernooi. Coumans: ‘Het toernooi is niet alleen gericht op de slimsten van de klas, we willen alle scholieren een leuke dag bezorgen. We hopen dat ze daarna aan anderen vertellen hoe leuk wiskunde kan zijn.’

Dit jaar stond het toernooi gedeeltelijk in het teken van speltheorie. De teams moesten niet alleen sommen oplossen, ze onderhandelden ook met tegenstanders om zoveel mogelijk punten te halen. Als toepasselijke hoofdprijs mochten de twee winnende teams naar Princeton om twee grote namen uit de speltheorie te ontmoeten: John Nash en Eric Maskin.

John Nash (geboren in 1928) werd bij een groter publiek bekend als het genie uit de film A beautiful mind: (2001). Hij deed op jonge leeftijd briljant werk, maar kreeg paranoïde schizofrenie en was tientallen jaren in de ban van waanideeën. Hij herstelde na dertig jaar van zijn ziekte en ontving op 66-jarige leeftijd de Nobelprijs voor economie voor zijn jeugdwerk in de speltheorie. Inmiddels is hij tachtig en komt hij nog bijna iedere dag op het Institute for Advanced Studies om te werken en collega’s te ontmoeten.

Princeton
Het is nog vroeg als de scholieren op zaterdag 20 oktober in de trein een ontbijt van bagels en muffins wegwerken. Na drie dagen in New York zijn ze op weg naar Princeton, zo’n negentig kilometer onder New York. Ze weten van tevoren niet zo goed wat ze moeten verwachten van de ontmoeting met Nash. De één hoopt stiekem dat Nash iets heel raars zal doen, zodat hij tegen zijn vrienden kan zeggen: ‘Ken je Nash, dat genie uit A Beautiful Mind? Weet je wat hij deed?’ Een ander ziet het bezoek naar Princeton sowieso als het hoogtepunt van de vijfdaagse reis naar New York.

De winnende scholieren tussen Nobelprijswinnaars John 'A Beautiful Mind' Nash (midden) en Eric Maskin (rechts van Nash).

Nash geeft een korte voordracht over de geschiedenis van zijn werk. Hij kreeg de Nobelprijs voor het introduceren van het naar hem genoemde Nash-evenwicht. Dit evenwicht treedt op in een spel met verschillende spelers waarbij samenwerking tussen de spelers niet kan worden opgelegd. Elke speler heeft een doel en kiest een strategie om dat doel te bereiken. Er is sprake van een Nash-evenwicht als een speler niet van strategie zou veranderen als hij zou weten wat de andere spelers doen. De scholieren vragen Nash of hij nog steeds actief is als onderzoeker. Hij begint een enthousiast verhaal over zijn nieuwe werk aan ideaal geld. De scholieren zijn achteraf onder de indruk. ‘Hij is echt anders dan anderen. Ik zie nooit iemand van tachtig die nog zo scherp is.’

Eric Maskin werkte verder aan de ideeën van Nash en ontving zelf vorig jaar de Nobelprijs voor economie. Hij geeft een glasheldere lezing over hoe speltheorie gebruikt kan worden om keuzeprocessen zo eerlijk mogelijk op te zetten. Bijvoorbeeld bij een gesloten bod veiling: verschillende partijen bieden op een object zonder elkaars bedragen te zien. Hoe zorg je nu dat degene wint, die het object het meeste waard vindt? Dit is bijvoorbeeld belangrijk bij het veilen van gsm-frequenties, dan moet de winnaar na de veiling ook iets gaan doen met zijn verkregen frequentie.

Maskin: ‘Laat degene met het hoogste bod winnen, maar laat hem het een-na-hoogste bod betalen. Niemand zal nu minder bieden dan hij het object waard vindt. Maar ook niemand zal meer bieden dan dat: stel dat jij denkt dat het object 10.000 euro waard is, als je dan 12.000 biedt en iemand anders biedt 11.000, dan betaal je uiteindelijk 1000 euro te veel. Met deze opzet biedt iedereen eerlijk en wint precies degene die het object het hoogste waardeert.’

Na de voordrachten volgt een wandeling door Princeton. Is het beeld dat de scholieren hebben van wiskunde veranderd door deze dag? Niet echt, al zijn ze aangenaam verrast dat wat Maskin vertelde óók wiskunde is. ‘En mijn beeld van Princeton is echt enorm gestegen’, voegt een jongen toe. Dat was ook een beetje de bedoeling van de reis. Dekkers: ‘We hopen deze scholieren extra te motiveren door ze een topuniversiteit te laten zien. Princeton is misschien haalbaar voor hen als ze hard hun best doen.’

Steven mailde ons het heuglijke nieuws dat er een nieuwe optimale Golomb-liniaal is gevonden. ``Wat voor liniaal?'', hoor ik jullie vragen. Een Golomb-liniaal is een reeks positieve gehele getallen waarbij geen twee getallen uit deze reeks hetzelfde verschil hebben. Een voorbeeldje maakt het volgens mij veel duidelijker dan woorden.

De reeks 0,1,4,6 vormt een Golomb-liniaal: elke twee getallen uit de reeks hebben een ander verschil.

Golomb-linialen kunnen verschillende eigenschappen hebben. Een perfecte liniaal bevat alle verschillen tussen 1 en zijn eigen lengte. Een optimale liniaal is de kortste liniaal met n getallen (waarbij kortste betekent dat het laatste getal uit de reeks zo klein mogelijk is). Het voorbeeld hierboven is zowel optimaal als perfect.

Het zoeken van optimale linialen is niet eenvoudig, sterker nog, er wordt vermoed dat dit een NP-volledig probleem is. Distributed.net maakte zaterdag bekend dat ze een optimale Golomb-liniaal met 25 getallen hebben gevonden. Hier is hij:

0 12 29 39 72 91 146 157 160 161 166 191 207 214 258 290 316 354 372 394 396 431 459 467 480.

Het duurde jaren rekenen met duizenden computers om te bewijzen dat deze Golomb-liniaal inderdaad de kortste is voor 25 getallen. De reeks zelf was overigens al in 1984 gevonden [1]. Op naar een liniaal met 26 getallen!

Het zoeken naar grote perfecte Golomb-linialen is trouwens nóg moeilijker. Vooral omdat bewezen is dat ze niet kunnen bestaan voor meer dan vijf getallen.

[1] M. D. Atkinson and A. Hassenklover, "Sets of Integers with Distinct Differences", School of Computer Science, Carlton University, Ottawa Ontario, Canada, Report SCS-TR-63, August 1984.

p.s. Vinden jullie ook niet dat zo'n voetnoot heel wetenschappelijk staat?

Vandaag een echt wiskundig nieuwtje over cryptologie! Op nu.nl las ik dat Tanja Lange (TUe) het McEliece cryptosysteem gekraakt heeft, met een ietwat overdreven kop erboven ("TUE kraakt internetbeveiliging van de toekomst"). Lange heeft met Dan Bernstein en promovenda Christiane Peters een bestaande aanval op het systeem verbeterd, zodat het inderdaad binnen een week gekraakt kan worden met 200 processoren.

De public-key-cryptosystemen die in omloop zijn, zijn erop gebaseerd dat sommige dingen extreem moeilijk uit te rekenen zijn. Zo is het moeilijk om grote getallen te factoriseren, waarop het RSA-cryptosysteem gebaseerd is, en er zijn ook systemen die gebaseerd zijn op de moeilijkheid van het uitrekenen van zogenaamde discrete logaritmen. Zodra er echter ooit een quantumcomputer gebouwd wordt, zijn deze systemen niet meer veilig, want zo'n hypothetische quantumcomputer kan zowel snel factoriseren als discrete logaritmen uitrekenen.

Het McEliece cryptosysteem, dat ook een public-key-cryptosysteem is, is gebaseerd op een heel ander principe, zodat het een van de mogelijke kandidaten is om een opvolger van de huidige systemen te worden op het moment dat de quantumcomputer dichterbij lijkt te komen. Het systeem maakt gebruik van coderingstheorie: het gebruikt de zogenaamde Goppa-codes. Het algoritme vermomt een Goppa-code als een algemene lineaire code. Goppa-codes zijn makkelijk te decoderen, maar ze zijn heel moeilijk te onderscheiden van een algemene lineaire code. Dat is het moeilijke probleem waarop het McEliece-systeem gebaseerd is.

Bernstein heeft bovendien bepaalde parameters van het systeem aangepast, waardoor het nu beter bestand is tegen nieuwe aanvallen. Klik hier voor het artikel van Lange e.a..

Een tijdje geleden schreven we een stukje over de Riemann-hypothese. Daarin noemden we ook de succesvolle webklas over dit onderwerp van de UvA. En nu is er goed nieuws voor geïnteresseerde scholieren: de UvA-webklas De Riemann-hypothese: een miljoenenprobleem, onder leiding van Jan van de Craats, gaat weer van start! De webklas is geschikt voor leerlingen uit 5 en 6 vwo met wiskunde B1,2 en duurt van 3 november tot 1 december.

Er is nog meer leuks, want in het voorjaar van 2009 begeleidt Jan Brandts nog een wiskunde-webklas: Pagerank: de Wiskunde die Google groot maakte. Daarin leer je meer over hoe Google bepaalt of een website belangrijk is of niet. En je leert hoe je ervoor kan zorgen dat je eigen website wat verder bovenaan verschijnt in de zoekresultaten!

Je kunt de webklassen vaak gebruiken voor een profielwerkstuk, en meedoen kan helpen om uit te vinden of de studie wiskunde iets voor jou is. Je volgt de cursus thuis of op school, en online of via e-mail onderhoud je contact met de docent en je medestudenten. Een webklas duurt ongeveer tien uur, verdeeld over vier weken.

Meer informatie over de UvA-webklassen vind je hier, informatie over de webklas over de Riemann-hypothese staat hier en aanmelden kan daar ook.

De Amerikaanse verkiezingen naderen en de ene na de andere poll probeert te voorspellen wie de nieuwe president zal worden. Wordt het Obama of McCain?

Terence Tao schreef op zijn blog een mooi artikel over de wiskunde achter polls: Small samples, and the margin of error. Hoe kan een steekproef van slechts duizend Amerikanen nou voorspellen wat er gebeurt als miljoenen Amerikanen naar de stembus gaan? Tao legt het uit - zowel met woorden als formules.

Google kwam deze week met een nieuwe feature: Mail Goggles ter voorkoming van de volgende situatie. Je komt 's nachts terug uit de kroeg en zet nog even je laptop aan. Met je dronken hoofd besluit je dat het een prima idee is om gelijk een email te sturen naar all@waarjewerkt.nl, je ex-verloofde, je baas of Scarlett Johansson.

Om jezelf te beschermen tegen het versturen dit soort genante emails, kun je Mail Goggles instellen op bepaalde risicovolle tijden. Voor je een email kunt versturen moet je dan eerst een testje doen. En daar komt de wiskunde kijken, want op de officiële Google Blog staat:

And what better way to check than by making you solve a few simple math problems after you click send to verify you're in the right state of mind?

Je kunt pas een email versturen als het je lukt om binnen een minuut vijf van dit soort sommetje te maken.

Ik voorzie een probleem: waarschijnlijk ben ik na een paar martini's nog steeds in staat om vijf sommen in een minuut te maken. Ik zal het vanavond eens testen...