Wiskundemeisjes

Verjaardagen

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Toen ik laatst jarig was, trakteerde ik in de koffiepauze op koekjes. Naast mijn schaal stond nóg een traktatie: er was dus een collega op dezelfde dag jarig als ik. Wat is de kans dat dat gebeurt?

Eerst nog even een andere vraag: hoe groot moet een groep zijn om zeker te weten dat er twee mensen op dezelfde dag jarig zijn? Pas in een groep van 366 mensen weten we dat echt zeker: er zijn 365 mogelijke verjaardagen (we vergeten schrikkeldagen voor het gemak even voor de rest van deze column) en meer mensen dan dat, dus er zijn minstens twee mensen die een verjaardag delen.

Maar ook in veel kleinere groepen zijn vaak twee mensen op dezelfde dag jarig. Al vanaf 23 mensen is de kans dat twee mensen in de groep dezelfde verjaardag hebben meer dan 50%. Om een gevoel te krijgen of die orde van grootte klopt: denk maar eens aan een klas waar u in gezeten heeft, waren daarin twee mensen op dezelfde dag jarig? In mijn basisschoolklas wel (en nee, dat was geen tweeling). Zijn er in uw familie twee mensen op dezelfde dag jarig? In mijn familie is dat zo: mijn vriend is op dezelfde dag jarig als mijn tante.

Hoe kunnen we die kans uitrekenen? We beginnen eenvoudig met een groepje van twee mensen, Alice en Bob. De kans dat in dat groepje twee mensen op dezelfde dag jarig zijn is 1/365. Het maakt namelijk niet uit wanneer Alice jarig is, de kans dat Bob dezelfde verjaardag heeft is 1/365.

Voor drie personen (Alice, Bob en Claire) is een andere manier handiger. De kans dat alle drie de verjaardagen verschillend zijn is eenvoudiger uit te rekenen dan de kans dat twee of drie verjaardagen op dezelfde datum vallen. Voor Alice zijn alle 365 verjaardagen toegestaan. De kans dat Alice en Bob op verschillende dagen jarig zijn, is 364/365, want voor Bob mag alleen de verjaardag van Alice niet. De kans dat Claire’s verjaardag ook nog verschilt van die twee gegeven dagen is dan gelijk aan 363/365. De kans dat ze alle drie verschillende verjaardagen hebben is dus gelijk aan: , ruim 99%. De kans dat minstens twee van de drie dezelfde verjaardag hebben, is dus maar klein, minder dan 1%.

Die kans wordt snel groter wanneer de groep groter wordt. Bij 23 personen is de kans dat alle verjaardagen verschillen volgens bovenstaande redenering gelijk aan , dus dan is de kans dat minstens twee van hen dezelfde verjaardag hebben inderdaad iets meer dan 50%.

En wat is de kans dat een collega specifiek mijn verjaardag deelt? Ik heb ongeveer 140 collega’s. De kans dat ze allemaal niet op mijn verjaardag jarig zijn is: . De kans op nog een jarige is dus ongeveer 32%.

Wie graag onverdeelde aandacht krijgt, kan zijn verjaardag dus maar beter in relatief kleine kring vieren, anders is de kans aanwezig dat er gezongen wordt: “Er zijn er twee jarig, hoera, hoera!”