Wiskundemeisjes

Filosofie, geiten en auto’s

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

In deze maand van de filosofie gaat het zelden over wiskunde. Vroeger waren veel filosofen wiskundigen (en andersom), maar tegenwoordig lijkt er een strikte scheiding te zijn tussen de vakgebieden. Dat is jammer, want wiskunde kan nog steeds helpen om anders en beter tegen dingen aan te kijken.

Het drie-deuren-probleem is een berucht voorbeeld onder wiskundigen. In een spelshow mag een kandidate kiezen uit drie deuren. Achter één deur staat een prachtige auto, achter de twee andere deuren staan mottige geiten. De kandidate wil graag de auto winnen en wijst één van de deuren aan. De presentator, die precies weet waar de auto staat, opent één van de andere twee deuren en laat zien dat daar een geit staat. De presentator vraagt de kandidate hoe zeker zij is van haar keus. Wil ze misschien nog van deur wisselen? Ze mag nu nog de andere gesloten deur kiezen! Heeft het op dit moment zin om te wisselen?

Stel dat deze situatie niet hypothetisch is. Bijvoorbeeld in de Amerikaanse quiz Let's make a deal.

Bijna iedereen denkt hier hetzelfde: “Natuurlijk maakt het niet uit of ze wisselt. Er zijn nu nog twee deuren en elke deur heeft een kans van 1/2 op de auto.” Intuïtief lijkt volkomen duidelijk dat er geen verschil is tussen die twee deuren. De kandidate zal waarschijnlijk bij haar eerste deur blijven, omdat ze daar in eerste instantie een goed gevoel bij had.

En dat is jammer, want de menselijke intuïtie zit er in dit geval behoorlijk naast. Als de kandidate van deur wisselt heeft ze namelijk 2/3 kans om te winnen. Als ze bij haar eerste deur blijft, is de kans om te winnen maar 1/3. Ze verdubbelt dus haar winkans als ze wisselt.

Toen dit probleem voor het eerst in de krant stond, werd de redactie bedolven onder grote stapels brieven. Lezers, waaronder grappig genoeg diverse wiskundigen, beweerden op hoge toon dat er niets van het antwoord klopte. Maar het klopt echt. De kandidate heeft als ze níet wisselt een kans van 1/3 om te winnen. Ze wint dan alleen als ze gelijk aan het begin die ene deur aanwijst waar de auto achter staat. Als ze wel wisselt, dan wint ze juist als ze oorspronkelijk een deur met een geit had aangewezen. En die kans is 2/3.

Wie het niet gelooft moet het thuis maar eens een paar keer naspelen. Het helpt ook om aan een variant met duizend deuren te denken. Als de presentator na de keuze 998 deuren opent (met een hele kudde geiten erachter), is het een stuk duidelijker dat de kandidate maar beter kan wisselen.

Dit voorbeeld laat zien hoe menselijke intuïtie het mis kan hebben. Wel zo handig om te weten voor filosofen. Een hoogleraar vertelde ooit dat hij dit probleem al jaren bij zijn college statistiek behandelde. Wiskundigen, economen, artsen, juristen, ze hadden het allemaal in eerste instantie fout. Aan het eind van zijn college was altijd iedereen overtuigd van het juiste antwoord. Behalve de juristen, die bleven erover in discussie gaan. Wat dat over hen zegt, is dan weer meer iets voor filosofen dan wiskundigen.