Wiskundemeisjes

Op vrouwenjacht met wiskundigen

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Ongetwijfeld wordt deze kerstvakantie A beautiful mind weer eens herhaald op televisie. Deze Oscarwinnende film beschrijft het leven van wiskundige John Nash. Hij deed op jonge leeftijd briljant werk, maar kreeg paranoïde schizofrenie en was tientallen jaren in de ban van waanideeën. Hij herstelde na dertig jaar van zijn ziekte en ontving op 66-jarige leeftijd de Nobelprijs voor Economie voor zijn jeugdwerk. Een prachtig verhaal voor een feel-good-movie natuurlijk. Alleen jammer dat A beautiful mind soms wat weinig lijkt te begrijpen van wiskunde.

Zo probeert de film in een barscène Nash’s belangrijkste idee uit te leggen. Wie de film heeft gezien, herinnert zich het vast: Nash zit met een groepje vrienden in de kroeg en ze zien een groepje vrouwen. Eén vrouw (een blondine) is het mooiste, haar vriendinnen (brunettes) zijn iets minder aantrekkelijk. De vraag is nu wat de beste strategie is voor de vrienden om deze vrouwen te versieren, onder de aanname dat elke man het liefste de blondine wil, maar dat een brunette beter is dan geen vrouw.

De kroegtijgers uit A beautiful mind

De vrienden van Nash willen in eerste instantie allemaal tegelijk op de blondine afgaan om haar te versieren. Maar Nash werpt tegen dat dit een domme strategie is: de blondine zal arrogant worden en hen stuk voor stuk afwijzen. Daarna hebben de brunettes geen zin om tweede keus te zijn, dus uiteindelijk gaat iedereen alleen naar huis. Nash heeft een beter idee. Als nu eens niemand op de blondine afgaat, maar alle mannen gelijk op een brunette afstappen. Dan zijn hun kansen op succes veel groter! En een brunette is immers beter dan niets.

De film probeert hiermee het Nash-evenwicht te illustreren, een begrip uit de speltheorie. Kort door de bocht heb je in speltheorie een aantal spelers die elk een doel hebben (in dit voorbeeld is dat een zo mooi mogelijke vrouw versieren). Elke speler kan kiezen uit verschillende strategieën en weet niet wat de anderen doen. Hij moet met beperkte informatie een zo goed mogelijke strategie kiezen.

Nash bewees dat er (onder bepaalde voorwaarden) een evenwichtssituatie bestaat, waarbij elke speler zijn strategie niet meer kan verbeteren - ook niet als hij wél zou weten wat de anderen doen. Deze situatie wordt het Nash-evenwicht genoemd en dit is precies het werk waarvoor hij zijn Nobelprijs kreeg.

Waar gaat A beautiful mind nu de fout in? Het probleem bij de strategie die Nash in de film voorstelt, is dat het helemaal geen evenwicht is: elke man kan zijn strategie verbeteren door als enige op de blondine af te stappen. Een strategie die wel een Nash-evenwicht is, is bijvoorbeeld dat één man op de blondine afstapt en de anderen op de brunettes. En wie de mooiste vrouw dan krijgt? Dat ligt nogal voor de hand: de aantrekkelijkste man.

Aan het einde van de kroegscène lijkt Nash trouwens sjans te hebben met de blondine. Maar hij rent terug naar zijn kamer omdat hij liever verder wil werken aan zijn wiskunde. Dat hebben de filmmakers dan weer wel goed begrepen van wiskundigen.