Wiskundemeisjes

Gordijnen en chaos

Deze column verschijnt vandaag in de Volkskrant.

Toen ik de gordijnen voor de babykamer bestelde, vroeg de dame achter de balie wel drie keer of ik alles écht goed gemeten had. Ik begon me een beetje zorgen te maken, ik had de lengte van de rails tot op de millimeter nauwkeurig gemeten, dat zou toch genoeg moeten zijn?

We zijn gewend dat kleine meetfouten nauwelijks een effect hebben. Een millimeter meer of minder maakt voor gordijnen echt niet uit. En als je in een recept 301 gram rijst gebruikt in plaats van 300 gram, dan zal de risotto heus niet ineens mislukken. Maar in sommige situaties kunnen heel kleine meetfouten grote gevolgen hebben. Dit verschijnsel, oftewel chaos, is door verschillende mensen herontdekt. Het mooiste vind ik het verhaal van Edward Lorenz.

Rond 1961 maakte Lorenz modellen om het weer te voorspellen. Met een (nogal primitieve) computer tekende hij (nog primitievere) grafiekjes van hoe variabelen als luchtdruk of luchtstromen in de loop der tijd veranderden. Op een gegeven moment wilde hij een bepaalde simulatie eens wat verder doorrekenen. Om tijd te besparen liet Lorenz de computer niet weer alles vanaf het begin uitrekenen. Hij nam de uitdraai van de vorige simulatie en gebruikte de gegevens die hij daar halverwege had gekregen als beginwaarden, dan kon de computer vanaf daar verder gaan.

Tot zijn grote verbazing zag hij (nadat de computer een uur flink had staan rekenen) dat er na enkele stappen een compleet ander patroon ontstond dan in de vorige simulatie. Lorenz had verwacht dat zijn programma vanaf dezelfde invoergegevens precies hetzelfde resultaat zou geven. Hij snapte er niets van: was zijn computer soms stuk?

Edward Lorenz net voordat hij chaostheorie ontdekte

Na een tijdje besefte hij dat de invoergegevens de tweede keer níet precies hetzelfde waren als tijdens de eerste simulatie. De computer rekende met zes cijfers achter de komma, maar op de uitdraai stonden alleen de eerste drie cijfers na de komma afgedrukt. Lorenz had bij de tweede simulatie daardoor in plaats van 0,506127 de waarde 0,506 ingevoerd. Een verschil zo klein dat je niet verwacht dat het iets uitmaakt.

Maar in de vergelijkingen die het weer beschrijven speelt zo’n verschil wél een belangrijke rol: een heel kleine verstoring aan het begin kan grote gevolgen hebben. Dit verschijnsel heet chaos en het komt voor bij allerlei systemen, met het weer als bekendste voorbeeld. Het gedrag van dit soort systemen is compleet vastgelegd door een aantal vergelijkingen en tóch zijn ze onvoorspelbaar, doordat ze zo gevoelig zijn voor kleine veranderingen in de beginwaarden. Lorenz suggereerde de metafoor van het vlindereffect (the butterfly effect): een vlinder in Stadskanaal die zijn met zijn vleugel slaat, kan een orkaan veroorzaken in Brazilië. Chaos verklaart waarom we het weer niet verder dan een week vooruit kunnen voorspellen: zelfs de meest nauwkeurige meetapparatuur zal afrondfouten maken.

De gordijnen hangen er zoals te zien keurig bij.

Gelukkig treedt er geen chaos-effect op bij het meten van gordijnen.  Ondanks eventuele meetfouten ziet de babykamer er nu prachtig uit. Nu maar rustig wachten op de chaos die de baby zelf straks gaat veroorzaken.