Wiskundemeisjes

Franse bakkers zijn niet te vertrouwen

Deze column staat vandaag in de Volkskrant.

Bill Bryson beschrijft in één van zijn briljante reisverhalen hoe een typisch bezoek aan een Franse bakker verloopt. Je vraagt in je beste Frans om een klein brood. De vrouw achter de toonbank staart je koeltjes aan en legt dan een dode bever voor je neer. Als je probeert uit te leggen dat je een brood wilde en geen dode bever, kijkt de vrouw je vol ongeloof aan. Jij, die vervelende toerist, had toch duidelijk een dode bever besteld en nu wil je ineens een stuk brood.

Bryson overdrijft hier natuurlijk, maar iedereen die wel eens nietsvermoedend een bakker in Parijs is binnengestapt herkent een kern van waarheid in dit verhaal. Wiskundigen hebben een eigen (waarschijnlijk sterk aangedikte) anekdote over Franse bakkers.

Ceci n'est pas un castor mort

De Franse wiskundige Henri Poincaré werkte aan het eind van de 19de eeuw aan de Sorbonne in Parijs. Het verhaal gaat dat hij vermoedde dat de bakker in zijn straat de boel belazerde. De bakker verkocht broden van één kilo, maar Poincaré had het idee dat de broden meestal lichter waren. Een jaar lang kocht Poincaré elke dag een brood, legde dat thuis op een weegschaal en noteerde het gewicht. Aan het eind van het jaar tekende hij in een grafiek hoe vaak elk gewicht voorkwam. Het resultaat was een symmetrische grafiek met het hoogste punt bij 950 gram. De meeste broden die hij bakte waren ongeveer 950 gram, sommige wat lichter, andere iets zwaarder. In wiskundige termen: wat Poincaré zag leek sterk op de grafiek van een normale verdeling met een gemiddelde van 950 gram en een standaardafwijking van 50 gram. In lekentermen: de bakker belazerde de boel, verreweg de meeste broden waren lichter dan een kilo.

Een normale verdeling met een gemiddelde van 950 gram en een standaardafwijking van 50 gram

Poincaré ging met zijn bewijsmateriaal naar de politie en de bakker kreeg een waarschuwing. Het volgende jaar kocht Poincaré weer trouw elke dag een brood. Elk brood dat Poincaré in dat tweede jaar kocht was zwaarder dan een kilo.Toch ging hij terug naar de politie om te klagen dat de bakker nog steeds de boel belazerde. Hoe wist hij dat?

Als de bakker eerlijk was gaan bakken, dan zouden de meeste broden ongeveer één kilo wegen, sommige iets meer, andere iets minder. De grafiek van verdeling van de gewichten zou dan symmetrisch zijn met een piek bij één kilo. Maar de grafiek die Poincaré kreeg in dat tweede jaar was helemaal niet symmetrisch, hij begon met een hoge piek bij één kilo en liep daarna schuin af tot zo’n 1100 gram. Het was precies het stuk uit de oude grafiek dat rechts van één kilo lag.

Zo kon Poincaré concluderen dat de bakker nog steeds broden van gemiddeld 950 gram bakte, ook al had de sluwe bakker ervoor gezorgd dat Poincaré zelf altijd een brood van minstens een kilo meekreeg. De andere klanten hadden al die tijd pech en kregen meestal te weinig brood voor hun geld.

Daarom is het handig om iets van wiskunde te weten: je voorkomt dat je belazerd wordt. Aan de andere kant is het misschien beter om je mond te houden. Een brood van 950 gram is nog altijd beter dan een dode bever.