Wiskundemeisjes

Gisteren stond in de speciale WK-bijlage van de Volkskrant een stukje van mij over (hoe kan het ook anders) voetbal. Het idee van de kansen voor het beste team is (met vriendelijke toestemming) overgenomen van fijne schrijver en amateurwiskundige Jan Paul Schutten. Zijn oorspronkelijke stukje vind je op zijn blog onder de titel Voorspellingsonzin.

In 1988 stelde de juf onze klas een weddenschap voor. Als Nederland Europees Kampioen werd, dan zou zij de hele klas op ijsjes trakteren. Als Nederland géén kampioen werd, dan moesten wij taart voor haar kopen. Als achtjarige vond ik dit een erg oneerlijk voorstel, de juf had een veel grotere kans om te winnen dan wij. Maar de rest van de klas juichte in hun oranje shirtjes en ging de weddenschap aan. Het ongelooflijke gebeurde: Nederland werd kampioen en wij kregen ijsjes.

Een paar weken geleden zag ik een reclame “Koop nu een plasmascherm en krijg het aankoopbedrag terug als Nederland wereldkampioen wordt.” Ook toen dacht ik dat dit wel een makkelijke manier was om wat extra tv’s te verkopen. Nu heb ik een beetje spijt dat ik de aanbieding niet heb gebruikt. Misschien moet ik eens wat meer vertrouwen hebben in Oranje.

Deel van het beste team ter wereld?

Maar zelfs als je aanneemt dat Nederland het beste team ter wereld is (en ik denk dat er niemand op dit moment bezwaar heeft tegen deze aanname), dan is het nog niet vanzelfsprekend dat Nederland wereldkampioen wordt. Je hebt gelukstreffers van de tegenstander, kippige grensrechters en (ook nog) kansrekening.

Stel dat het beste team na de groepsfase bij elke wedstrijd een kans van 80% heeft om te winnen (dit is een wat grove aanname, in werkelijkheid zal de kans bij de achtste finale natuurlijk hoger zijn dan bij de grote finale), dan is de kans dat dit team wereldkampioen wordt een verrassend lage 41%. Elke wedstrijd vermindert de kans om te winnen met een factor 0,8 en dat tikt met vier wedstrijden aardig aan.

De slimste manier om nu nog te wedden op de finale is om twee weddenschappen af te sluiten. Gokwinkeltjes in Madrid betalen je inleg driemaal uit als Nederland wint - de Spanjaarden zijn er natuurlijk van overtuigd dat Spanje kampioen wordt. Daar zet je duizend euro in op Nederland. Vervolgens zoek je een Nederlander die de omgekeerde weddenschap wil aangaan. Daar zet je duizend euro in op Spanje. Dat kost je in totaal tweeduizend euro, maar je krijgt bij elke uitslag drieduizend euro. Zo win je altijd duizend euro. Daar kun je een mooi plasmascherm van kopen. Of ijsjes voor een heleboel schoolklassen.

Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant. Op deze blog heb ik trouwens al vaker over kettingbreuken geschreven

“Waarom schrijf je nooit eens een column over je eigen onderzoek?”, vroeg mijn promotor de week voor de verdediging van mijn proefschrift. De afgelopen jaren stond een groot deel van mijn leven in het teken van kettingbreuken, het onderwerp van mijn promotie-onderzoek. Dat onderzoek viel me soms zwaar, het was traag en eenzaam werk. En als ik dan eindelijk een nieuw resultaat bewezen had, dan kon ik aan bijna niemand uitleggen wat ik had bereikt. Daarom schreef ik hier liever over andere, meer toegankelijke onderwerpen.

Inmiddels heb ik mijn proefschrift met succes verdedigd en de komende jaren zal ik waarschijnlijk geen zwaar theoretisch wiskundig onderzoek meer doen. En nu besef ik ineens wat ik ga missen: samen met enthousiaste collega’s voor een schoolbord een nieuw idee uitwerken, op de fiets naar huis ineens begrijpen hoe het bewijs moet lopen en het gevoel van ultieme triomf als alle details keurig op hun plaats schuiven. Daarom deze week een stukje over die kettingbreuken waar ik jaren aan werkte. Omdat ik ze stiekem nu al een beetje mis.

Ceci n'est pas une kettingbreuk

Allereerst: een kettingbreuk heeft niets te maken met gestrande wielrenners of vastgelopen machines. Het is in feite een ketting van breuken: een breuk in een breuk in een breuk (enzovoorts), zie het plaatje hieronder voor de kettingbreuk van pi. Elk getal kun je schrijven als een kettingbreuk. Voor breuken krijg je een eindige kettingbreuk. Voor getallen die zelf geen breuk zijn, zoals pi, is de bijbehorende kettingbreuk oneindig lang.

Als je zo’n oneindige kettingbreuk afkapt door het onderste stuk vanaf een zeker punt weg te laten, krijg je een gewone breuk. Op die manier kun je oneindige reeks benaderingsbreuken voor je oorspronkelijke getal vinden. Neem bijvoorbeeld de kettingbreuk van pi. Als je alles onder de 7 vergeet, dan krijg je 3 + 1/7, oftewel 22/7, een benadering van pi die vroeger vaak op school werd gebruikt. De volgende benadering krijg je door alles na 15 te vergeten: dit geeft 333/106. En door nog één term verder te gaan, vind je 355/113. Die laatste breuk is ongeveer 3,14159292 en benadert pi tot op maar liefst zes decimalen. Deze benadering is zo goed, dat geen enkele breuk met noemer kleiner dan 16604 dichter bij π ligt. De Chinese wiskundige Chong Zhi berekende deze goede benadering voor pi trouwens al rond 480 na Christus, maar hij deed dat zonder kettingbreuken.

Goede benaderingen zijn breuken met een kleine noemer die heel dicht bij het oorspronkelijke getal liggen. En zulke benaderingen worden precies gevonden met kettingbreuken. Kettingbreuken hebben allerlei toepassingen, maar dat is niet de reden dat ik ze jarenlang bestudeerd heb. Ik werkte aan een generalisatie van de kettingbreuken en probeerde daarmee heel algemene eigenschappen te bewijzen. Ik wilde bijvoorbeeld weten hoeveel benaderingen je achter elkaar moet nemen om zeker te weten dat er een heel goede tussen zit. Als zo’n algemeen bewijs na lang zwoegen lukte, dan vielen een heleboel puzzelstukjes op hun plaats en was ik even het gelukkigste wiskundemeisje op aarde.

Vandaag moest ik voor het eerst in tijden weer eens grinniken om XKCD.

Tot vanmorgen stond er op de wikipagina van de taal Pirahã deze flauwe, maar leuke grap:

The controversy is compounded by the sheer difficulty of learning the language; the number of linguists with field experience in Pirahã can be counted on one hand, albeit not by the Pirahã themselves.

Vandaag begint een nieuw polymath project (als ik het goed begrijp om 18.00 uur onze tijd). Op initiatief van de onvolprezen Terence Tao kan iedereen meedoen aan het oplossen van de moeilijkste opgave van de Internationale wiskunde-olympiade.

Het is voor onderzoekers vooral interessant om eens te hoe zo'n polymath-probleem werkt en of de opzet bevalt (polymath wordt inmiddels ook voor serieuzere onderzoeksvragen gebruikt). En het is natuurlijk reuzeleuk om met een grote groep wiskundigen van over de hele wereld te discussiëren over de vraag of volledige inductie voor dit probleem wel een goed idee is.

Op Terences blog vind je meer informatie.

Componist Philip Glass componeerde in 1979 muziek voor Sesamstraat bij deze animatie vol met mooie meetkundige patronen, gevormd in en met zes gekleurde cirkels.

Het einde van het filmpje hierboven is een beetje vaag, hier kun je het laatste stukje beter zien.

Dat lang niet iedereen van wiskunde houdt blijkt maar weer eens uit onderstaande foto + bijschrift.

Petra Visser won met deze foto de derde prijs in de wedstrijd Maak meer dan een foto, maak een verhaal, georganiseerd door Canon en de Volkskrant.

Camiel stuurde me een link naar dit mooie visuele bewijs (een van de vele die er zijn!) van de stelling van Pythagoras. "Dit had ik graag in een wiskundeles gezien," mailt hij erbij. Dus hier is het, voor alle mensen die dat ook vinden!