Wiskundemeisjes
Internetbureau Rotterdam 
Archief voor maart 2010
Een tip voor de historisch geïnteresseerden onder jullie: uitgeverij Nieuwezijds biedt het boek Een cultuurgeschiedenis van de wiskunde gratis aan als e-book, in pdf-formaat!
De bijdragen in het boek zijn van Machiel Keestra, Albert Grootendorst, Jan Hogendijk, Henk Bos, Jan van Maanen, Danny Beckers, Teun Koetsier en Tom Koornwinder. Elk hoofdstuk gaat over een bepaald tijdvak en de wiskunde daarin. Het boek laat zien dat er wel degelijk verbanden bestaan tussen culturele ontwikkelingen en wiskunde.
Klik hier voor meer informatie over het boek en een link naar de file. Ook enkele andere boeken van Nieuwezijds zijn nu gratis te downloaden, zie hier.
Dit stuk staat vandaag in de Kennisbijlage van De Volkskrant. Helaas werkt de link in dat artikel niet meer, onderaan dit stuk staat de goede link naar meer informatie.
Morgen wordt wereldwijd pi-dag gevierd. Elk jaar verzamelen pi-liefhebbers zich in de derde maand op de veertiende dag (oftewel: 3,14) voor een feestje. Tijd om de grootste misverstanden over deze wiskundige constante recht te zetten.
1. Pi heeft iets te maken met de stelling van Pythagoras.
In de kerstuitzending van Bananasplit kwam pi ter sprake. Danny de Munck gaf onmiddellijk toe dat hij niets wist van wiskunde. Naast hem zat Nance, zij had ook geen wiskundeknobbel, maar “wist nog wel dat pi de stelling van Pythagoras is”. Helaas, pi en de stelling van Pythagoras zijn de twee dingen die de meeste mensen onthouden hebben van wiskunde, maar ze hebben niets met elkaar te maken. De stelling van Pythagoras gaat over driehoeken, terwijl pi van cirkels komt. Pi is de omtrek van een cirkel gedeeld door de diameter: ongeveer 3,14. Het maakt niet uit hoe groot of klein de cirkel is, de verhouding tussen omtrek en diameter is altijd precies pi. Daarnaast verschijnt pi ook op allerlei andere plaatsen: bijvoorbeeld in de verdeling van schoenmaten.
2. Pi is precies 3,14.
Pi begint als 3,14159 en daarna volgen nog oneindig veel cijfers. In die cijfers zit geen regelmaat. In de praktijk wordt daarom altijd een benadering van pi gebruikt. In de bijbel laat Solomo voor een tempel een bekken maken: “vijf el hoog, met een middellijn van tien el en een omtrek van dertig el”. Volgens deze tekst is pi dus gelijk aan 30/10 = 3, een eenvoudige benadering. Hoe nauwkeuriger de berekening, hoe meer decimalen er nodig zijn. Pi is niet te schrijven als een breuk, maar kan wel goed benaderd worden met breuken. Op school wordt vaak 22/7 (ongeveer 3,14285) gebruikt voor pi.
3. In de Amerikaanse wet staat dat pi gelijk is aan 3.
Het is een vaak voorkomend misverstand dat een bijbelvaste Amerikaanse staat in de wet heeft vastgelegd dat pi drie is. Zoiets is nooit gebeurd of zelfs maar voorgesteld. Wel is in 1897 in Indiana een merkwaardig wetsvoorstel ingediend door een amateurwiskundige. Hij wilde pi anders definiëren om berekeningen makkelijker te maken. In zijn voorstel waren allerlei verschillende waarden voor pi te vinden, variërend van 3,2 tot 4(!). Het voorstel werd in eerste instantie unaniem aangenomen, maar het sneuvelde alsnog in de senaat. Niet omdat de senaatsleden vonden dat er iets mis was met de theorie, maar omdat ze dachten dat pi geen zaak van wetgeving was.
4. In pi zitten geheime boodschappen verstopt.
Het zoeken naar gecodeerde boodschappen in de oneindige reeks decimalen van pi is een populaire hobby. Door de cijfers om te zetten naar letters kun je zinnen als “God bestaat” in de decimalen ontdekken. Het probleem is dat wiskundigen vermoeden dat elk rijtje cijfers uiteindelijk een keer in de decimalen van pi voorkomt, dus dan zou ook de zin “God bestaat niet” vanzelf een keer in de decimalen opduiken, net als de integrale tekst van Hamlet of de Volkskrant van vandaag. Voor wie het moeilijk te geloven vindt dat in één getal alle mogelijke teksten zijn gecodeerd: er is een getal waarvan we dit zeker weten dat alle mogelijke codes er instaan. Dat is de contante van Champernowne: 0,12345678910111213141516... enzovoorts. Niets magisch aan dus.
5. Het is belangrijk om pi zo ver mogelijk uit te rekenen.
Al eeuwenlang is het een sport om zoveel mogelijk decimalen van pi uit te rekenen. Omdat het er oneindig veel zijn, valt het record steeds weer te verbeteren. Zhu Chongzi berekende bijvoorbeeld rond het jaar 500 al dat pi tussen 3,1415926 en 3,1415927 ligt. Op dit moment staat het record op 2,7 biljoen cijfers. Om een indruk te geven hoe belachelijk veel cijfers dit zijn: als je deze 2,7 biljoen cijfers gaat opzeggen (zeg één per seconde), dan duurt dat 85.616 jaar. Voor de meeste berekeningen zijn echter een stuk of tien cijfers na de komma ruim voldoende en niemand heeft meer dan duizend cijfers nodig.
Dat de records toch steeds sneuvelen heeft twee redenen. Allereerst hebben snelle rekenmethodes allerlei andere toepassingen, het uitrekenen van pi is niet meer dan een mooie test. Bovendien raakt het uitrekenen van zoveel mogelijk decimalen voor sommige mensen een obsessie. Zelfs Isaac Newton raakte in de ban van pi en schreef in 1666: “Ik schaam me om te vertellen tot hoeveel cijfers ik deze berekeningen heb uitgevoerd, toen ik niets anders te doen had.”
Tot en met 28 maart hangen de eerste miljoen decimalen van pi in de Centrale Bibiliotheek Rotterdam als onderdeel van een expositie over de geschiedenis van pi. Morgen wordt tussen 13.00 en 17.00 uur pi-dag gevierd met lezingen, wiskundige puzzels en pi-koekjes. De toegang is vrij. Adres: Bibliotheek Rotterdam, Hoogstraat 110, Rotterdam. Meer informatie op de site van de bibliotheek.
Ik houd van plaatjesbewijzen: plaatjes die zo duidelijk het idee van het bewijs weergeven dat er nauwelijks of geen woorden meer nodig zijn. Op deze lijst op mathoverflow.net staan er een heleboel. Ik licht er voor jullie één mooi idee uit.
Een vierkant van 8x8 kun je precies bedekken met dominosteentjes van 1x2 veldjes. Kan dat nog steeds als je het veldje in de linkerbovenhoek en het veldje in de rechteronderhoek verwijdert? Het antwoord is nee, en het argument is als volgt (als spoiler voor de mensen die er eerst zelf over willen nadenken). Stel je het 8x8-vierkant voor als een schaakbord. Hoe je een dominosteentje ook op het schaakbord legt zodat het precies twee vakjes bedekt, je bedekt altijd een wit én een zwart vakje.
De twee vakjes die zijn verwijderd van het schaakbord hadden allebei dezelfde kleur (wit), dus nu zijn er meer zwarte dan witte vakjes over. Als het schaakbord nog gevuld zou kunnen worden met dominosteentjes, dan zouden er evenveel witte als zwarte velden bedekt zijn, maar er zijn niet evenveel witte als zwarte velden. Dus dat kan niet.
Een opvolgende vraag is nu: als je nou niet twee vakjes van dezelfde kleur weghaalt, maar willekeurig één wit en één zwart vakje, kun je het bord dan wèl altijd vullen met dominosteentjes? Het antwoord ligt niet meteen voor de hand, maar onderstaand plaatje laat zien dat dat inderdaad kan. Dit bewijs is van Ralph E. Gomory, en het plaatje komt van deze site.
Op 24 maart wordt bekend gemaakt wie dit jaar de Abelprijs krijgt. Wie zal dit jaar bijgeschreven worden in de lijst grote namen die deze prijs wonnen? Eerder winnaars waren (in chronologische volgorde) Jean-Pierre Serre, Michael Atiyah & Isodore Singer, Peter Lax, Lennart Carleson, S. R. Srinivasa Varadhan, John G. Thompson & Jacques Tits en Michail Gromov.
Voorspel in je reactie op dit stukje de naam van de winnaar en win een prrrrrachtige prijs uit Oslo. Want...de wiskundemeisjes zijn uitgenodigd om tijdens de feestelijkheden rond de uitreiking van de Abelprijs een wiskundeshow te geven (hoe cool is dat?). We beloven plechtig dat we iets moois zullen uitzoeken voor de winnaar.
Als niemand de juiste persoon raadt, dan kiezen wij als winnaar degene die er het dichtste bij zat (hoe we dat meten houden we strikt geheim) of degene met de beste argumenten. Je mag best iemand kiezen die al genoemd is, dan geven de argumenten de doorslag.
Tip voor niet-wiskundigen: kies een willekeurige naam uit de lijst winnaars van de Fieldsmedaille.
Wie kan er raden wat er zo gaaf is aan deze formule?
(Klik voor een vergroting)
Als jullie er niet uitkomen, dan zal ik later deze week het antwoord geven. Maar ik hoop dat het niet nodig is.
Komende zondag is pi het stralend middenpunt van de Centrale Bibliotheek Rotterdam.
Kom dus ook naar deze feestelijke pi-dag!
Harry Hoek maakte een grote pi-tentoonstelling over de geschiedenis van pi, de eerste miljoen decimalen van pi hangen in hun volle glorie in de hal, het schoolmuseum leende wiskundige leermaterialen uit en Arabesk verkoopt prachtige wiskundige puzzels en kunstobjecten. Je kunt ook de cultfilm Pi kijken.
En voor de wiskundemeisjesfans: Om 13.30 uur en 15.00 uur doe ik leuke pi-experimenten met het publiek. De toegang is gratis en ik hoorde dat er zelfs pi-koekjes komen, dus als je zondag in de buurt bent, kom dan vooral even langs! Meer informatie vind je op de site van de Bibliotheek Rotterdam.
Als je zondag niet kunt, dan kun je de pi-tentoonstelling van 8 tot en met 28 maart bewonderen.
Deze column verscheen vandaag in de Volkskrant.
Als je wil weten hoe de decimalen van het getal pi (de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel, ongeveer gelijk aan 3,14159265…) er uitzien, hoef je tegenwoordig alleen maar je rekenmachine te pakken of je computer aan te zetten. Dat was in de zeventiende eeuw wel anders. Ook toen was men geïnteresseerd in pi.
Ludolph van Ceulen
Het rekenwerk in die tijd lijkt mij geen pretje, maar scherm- en rekenmeester Ludolph van Ceulen (1540 – 1610) dacht daar heel anders over. Hij berekende pi tot maar liefst 35 decimalen. Zijn methode, naar een idee van Archimedes, komt neer op het volgende principe. Een cirkel met diameter 1 heeft een omtrek van lengte pi. Je kunt nooit een cirkel zó precies tekenen en meten dat je op die manier pi redelijk kunt benaderen.
Teken nu in een cirkel met diameter 1 een vierkant dat nog nèt in de cirkel past, en teken om die cirkel heen een vierkant zodat de cirkel precies aan de vier zijden raakt. Dan zit de omtrek van de cirkel tussen de omtrek van het kleine en die van het grote vierkant in. En omtrekken van vierkanten kun je makkelijk uitrekenen.
Bij een cirkel met diameter 1 vind je zo de volgende benadering van pi: 2√2 < pi < 4. Het getal 2√2 is ongeveer 2.82842712, dus dit geeft geen goede benadering. Maar als je in plaats van vierkanten regelmatige veelhoeken met veel meer hoeken in en om de cirkel past, en daar de omtrekken van uitrekent, krijg je steeds betere onder- en bovengrenzen voor pi.
Archimedes gebruikte regelmatige 96-hoeken en vond dat 3.140909654 < pi < 3,142826575. Van Ceulen ging veel verder en gebruikte regelmatige 32.212.254.720-hoeken. Daarmee vond hij 20 decimalen. Hij moet een veelhoek met nog meer hoeken gebruikt hebben voor zijn 35 decimalen, maar we weten niet welke. Een hele prestatie, als je bedenkt dat hij daarvoor talloze wortels moest trekken, met ook extreem veel decimalen om nauwkeurig genoeg verder te kunnen rekenen, en dat met de hand… Met zijn benaderingen kon Van Ceulen en passant een aantal geleerde tijdgenoten die claimden oplossingen van de cirkelkwadratuur gevonden te hebben, op hun nummer zetten. De vraag daarbij is om, gegeven een cirkel van een bepaalde grootte, een vierkant te construeren dat dezelfde oppervlakte heeft. Dat is een onmogelijke opdracht, en de crux zit in het woord “construeren”: je mag alleen een passer en een latje (een liniaal zonder schaalverdeling) gebruiken. In 1882 werd definitief bewezen dat het probleem onoplosbaar is, maar in de zeventiende eeuw wist men dat nog niet zeker. Van Ceulen kon met zijn benaderingen van pi wel laten zien dat de geclaimde oplossingen allemaal fout waren!
Hij was erg trots op zijn prestatie, en daarom kwamen de 35 decimalen op zijn grafsteen terecht. Dat was de eerste keer dat al die decimalen gepubliceerd werden. In de Leidse Pieterskerk is een replica te zien. Dit jaar is Van Ceulen vierhonderd jaar dood, dus laten we op pi-dag (14 maart, naar 3,14) maar eens aan zijn gereken denken!
Edit: neem ook eens een kijkje op www.ludolphvanceulen.nl.
Erik Johansson maakt prachtige Escherachtige foto's.
Foto: Erik Johansson
Het grappige is dat ik ineens in zijn andere foto's ook wiskundige thema's zag terugkomen. Bij deze foto dacht ik gelijk aan de Banach-Tarski paradox.
Foto: Erik Johansson
Een tijdje terug schreef ik een stukje over wat er gebeurt als je een touw strak om de aarde spant, er een meter touw bij doet en vervolgens het touw overal evenver optilt. Zie ook dit filmpje.
In de reacties op dat stukje stelde Koen als verdiepingsvraag: "En als je dat touwtje nou aan een kant aantrekt, zodat er een punt ontstaat en aan de andere kant van de aarde het touw weer strak om de aarde zit, hoe hoog wordt die punt dan?"
Lezers Robert Groenewold en Lon Boonen brachten een lange avond in de kroeg door om deze vraag op te lossen. Ze stuurden onderstaande oplossing in. Wij vertellen ze maar niet dat dit alles al lang op de site van KP Hart te vinden was...
Onlangs spanden de wiskundemeisjes een touw strak om de aarde om het vervolgens een meter langer te maken en aan te tonen dat zelfs een lineair verband (tussen straal en omtrek) contra-intuïtief kan zijn. Aangezien allle moeite reeds gedaan is om genoemd touw te spannen wilden wij, twee natuurkundejongens, dat touw een alternatieve bestemming geven.
Wanneer we een touw strak rond de aarde spannen, één meter touw toevoegen en het geheel aan een spijkertje ophangen, wat is dan de afstand tussen de aarde en het spijkertje? Past de Domtoren er onder?
De oplossing kostte ons een avond in (het helaas ter ziele gegane) Ledig Erf in Utrecht. En ettelijke bierviltjes. Deels was dit te wijten aan het feit dat we (schaam, schaam) de Taylor-reeks opnieuw moesten ontdekken.
